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| Autor |
 Analytische Lösbarkeit bei Ähnlichkeit von Differentialgleichungen |
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Abstrakto
Junior 
Dabei seit: 15.11.2014
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2014-11-15
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Hallo liebes Forum,
aus einer Aufgabe der Physik mit der ich mich gerade befasse folgt diese gewöhnliche Differentialgleichung
c^2(x)*f''(x)+1/2*c(x)*c'(x)*f'(x)-1/4*c(x)*c''(x)*f(x)+1/16*c'^2(x)*f(x)=0
mir fiel auf dass sie in ihrer Gestalt dieser Differentialgleichung
c^2(x)*f''(x)+4*c(x)*c'(x)*f'(x)+2*c(x)*c''(x)*f(x)+2*c'^2(x)*f(x)=0
ähnelt, aber in ihren linken Termen andere Zahlenkoeffizienten hat.
Das bedauerte ich sehr, denn aus dieser letzten Gleichung folgt, wie man erkennen kann, diese Differentialgleichung
diff(diff((c^2(x)*f(x)),x),x)=0
aus welcher die Lösung f(x)=(a*x+b)/(c^2 (x)) mit den Konstanten a und b folgt.
Nun meine Frage:
Können 2 gewöhnliche Differentialgleichung, die sich nur in Zahlenkoeffizienten unterscheiden ein vollkommen anderes Lösungsverhalten besitzen und kann die eine einen analytischen Lösungsausdruck besitzen, während die andere einen solchen nicht besitzt?
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4175
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-11-16
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Hallo Abstracto,
aus der Physik fällt mir da das Beispiel der gedämpften Schwingung ein, also die DGL der Form
\
m*x^** + d*x^* +kx =0
Diese hat, je nach Wahl der Koeffizienten, entweder eine exponential abklingende sinusförmige Schwingung als Lösung ("Schwingungsfall") oder andererseits wenn die Dämpfung überwiegt Lösungen ohne Schwingung ("Kriechfall"). Diese Lösungen unterscheiden sich nicht nur in Parametern der Zeitfunktion, sondern es ergeben sich ganz andere Funktionen als Lösungen.
Ein Beispiel, in dem für einen Teilbereich der Parameter gar keine analytische Lösung existiert, lässt sich bestimmt auch finden (allerdings ist mir grad keins in den Sinn gekommen).
Vielleicht hilft dir bei deinem konkreten Problem ein Ansatz mit den Methoden der "Störungsrechung" weiter?
Grüsse
und einen schönen Sonntag wünscht
gonz
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Abstrakto
Junior
Dabei seit: 15.11.2014
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-16
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Hallo Gonz,
danke für Deine Antwort. Das könnte ein guter Hinweis sein.
Im Beispiel des gedämpften Oszillators sind die Funktionen zwar qualitativ verschieden (was ein mathematisch etwas schwer zu fassender Begriff ist, ich weiß), aber rein mathematisch sind die Lösungen alle Exponentialfunktionen, nur dass das Argument und die parameter komplex sind, was dann entweder zum exponentiellen Abklingen oder zum gedämpftem Schwingen führt.
Das ist ein guter Hinweis. Vielleicht muss die Gleichung für komplexe Funktionen betrachtet werden, um die mathematische Ähnlichkeit der Lösung, wie im Fall des ged. Oszillators, zu erkennen.
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