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 Superpositionsprinzip, Knoten- und Maschenanalyse |
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okocha90
Neu 
Dabei seit: 05.12.2014
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2014-12-05
|
Hallo liebe User,
ich habe diese Schaltung gegeben:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_1m.JPG
Uq1= 15V
Uq2= -15V
R1= 4,7kOhm
R2= 1kOhm
R3= 10kOhm
R4= 22kOhm
R5= 47kOhm
\hideon
Ich wollte es erst direkt errechnen, ohne jeweils eine Spannungsquelle kurzzuschließen, aber ich stehe jetzt schon auf dem Schlauch :-D
Deswegen habe ich erst einmal für Uq1 und Uq2 eine Ersatzschaltung gebaut, um sie später zu überlagern.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m3.JPG
( das ganze jetzt nicht noch einmal für Uq2 gezeichnet )
Als nächstes wollte ich mir die Struktur anschauen.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m2.JPG
Also muss ich 2 Knotengleichungen aufstellen und 3 Maschengleichungen.
Wenn ich es richtig verstanden habe, darf ich mir jetzt 2 Knoten aussuchen für die ich das machen möchte.
Ich nehme einfach mal A und B
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m4.JPG
Hier tat sich nämlich für mich schon das erste Problem auf mit zwei Spannungsquellen. Ich wusste beim aufstellen der Knotengleichungen nicht wie jetzt die Ströme fließen.
So aber jetzt meine Gleichungen für Knotenpunkt A und B:
A: Ir1 - Ir2 - Ir4 = 0 <=> Ir1 = Ir2 + Ir4
B: Ir2 - Ir3 - Ir5 = 0 <=> Ir2 = Ir3 + Ir5
Und meine Maschengleichungen:
I: Ur1 + Ur4 - Uq1 = 0
<=> Ir1*R1 + Ir4*R4 - Uq1 = 0
Frage: Dadurch das R4 direkt zum Zweig meines Baumes gehört, wird er ja auch noch durch den Maschenstrom von II durchflossen oder?
Also wäre die richtige Gleichung dann wie oben geschrieben, oder
I: Ir1*R1 + Ir4*R4 - Ir2*R4 - Uq1 = 0
Ich glaube es wäre vielleicht besser, wenn ich das erst einmal mit den Maschengleichungen verstehe. Damit ich das mit dem Superpositionsprinzip wenigstens hinkriege.
\hideoff
Danke schoneinmal
LG Okocha
*EDIT:
Okay ich habe nochmal ein bisschen geforscht.
Ich ersetze also die Ströme durch Maschenströme.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m5.JPG
Meine Gleichungen:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m6.JPG
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m7.JPG
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m8.JPG
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41624_m9.JPG
Wenn ich die Schaltung mit PSpice aufbaue bekomme ich leider andere Werte raus, ich habe die Schaltung auch mal durchgemessen und die Decken sich mit PSpice. Finde den Fehler nicht.
Gemessene Werte:
I1: 2,11mA
I2: 1,87mA
I3: 1,81mA
I4: 0.25mA
I5: 0.08mA
Mit meinen Gleichungen:
I1: 2.22mA
I2: 2.01mA
I3: 2,16mA
I4: 0.20mA
I5: -0,15mA
Danke, hoffe das mit dem Hide Bereich ist ok.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Pankow89
Neu 
Dabei seit: 21.12.2014
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-21
|
Sali Okocha90,
Hast Du schon mal was von Inzidenzmatrizen gehört? Denn diese erweisen sich zur Berechnung mittels Knotenpotenzial und Maschenstrom Analyse als sehr nützlich.
Die Inzidenzmatrix gibt an aus welchen Anteilen der Maschenströme ein Strom zustande kommt (I = A * Im). Im gegebenen Fall wäre dies die folgende:
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 -1 0
0 1 -1
desweiteren kannst du dir eine Widerstandsmatrix mit selbigen Dimensionen definieren:
R =
R1 R1 R1
R2 R2 R2
R3 R3 R3
R4 R4 R4
R5 R5 R5
wobei mit Ri der Ersatzwiderstand im jeweiligen Ast i bezeichnet wird.
Die Impedanzmatrix (dein Gleichungssystem) kann man dann einfach berechnen:
Z = A' * (A .* R)
wobei .* die Elementweise multiplikation und ' die transponierte bezeichnet.
bei mir habe ich im TR dazumals
Z = (A.*R)^(H)*A
einprogrammiert, entweder weil ich bedacht habe dass komplexe Impedanzen die Hermitisch Transponierte bedingt oder einfach aus Dummheit. Ich überlasse dir dies zu überprüfen.
dann ergibt sich in deinem Fall Z zu:
Z =
R1+R4 -R4 0
-R4 R2+R4+R5 -R5
0 -R5 R3+R5
Hier hat sich vorher tatsächlich ein Tippfehler eingeschlichen, vielen Dank an StefanVogel.
Die numerischen Werte stimmen aber.
dann kannst du das Gleichungssystem lösen:
(TI89)
simult(z,"deine rechte Seite") -> Im
im selbigen Beispiel entspricht deine Rechte Seite:
b =
15 V
0 V
15 V
und du erhälst die Maschenströme zu:
Im =
2.115 mA
1.885 mA
1.8175 mA
Die effektiven Ströme erhälst du dann folgendermassen:
I = A*Im =
2.115 mA
1.885 mA
1.8175 mA
229.98 uA
67.544 uA
was hoffentlich genügend nahe an deine simulierten Werte tritt.
Desweitern kannst du alle Spannungen erhalten in dem du die erste Spalte der Widerstandsmatrix R nimmst, im folgenden wird dieser Vektor als r bezeichnet:
U = r.*I =
9.9404 V
1.885 V
18.175 V
5.0596 V
3.1746 V
Dieses Verfahren lässt sich wunderbar auf dem Taschenrechner programmieren sodass du dir in der Prüfung einen erheblichen Zeitvorteil erarbeiten kannst und vorallem in der Gewissheit bist keine Vorzeichenfehler zu machen.
Schöne Grüsse und bis ein anderes Mal
Pankow89
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4330
Wohnort: Raun
| Beitrag No.2, eingetragen 2014-12-21
|
Hallo Okocha,
herzlich willkommen im Forum!
Für meine Antwort verwende ich http://de.wikipedia.org/wiki/Netzwerkanalyse_(Elektrotechnik)#Allgemein, da ist ganz am Ende des Abschnittes "Allgemein" ein Maschenumlauf M2 berechnet.
\
Übertragen auf deine Schaltung würde das für Maschenumlauf M3 folgendes ergeben:
M3: U_q2 + U_R3 - U_R5 = 0
Die Vorzeichen von U_R3 und U_R5 habe ich deshalb so gewählt, weil neben jedem R3 und R5 ein unbeschrifteter Pfeil eingezeichnet ist, den ich als Richtung interpretiert habe, in der ein angeschlossenes Meßgerät positive Spannungen messen soll.
Nun ist U_R3 = I_III*R_3 übereinstimmend mit deiner Berechnung, aber bei U_R5 müsste man doch bei I_III Vorzeichen Minus einsetzen, weil I_III der vorgegebenen Spannungsrichtung entgegenläuft. Also
U_R5 = -I_III*R_5 + I_II * R_5
Eingesetzt in M3 ist das
M3: U_q2 + I_III*R_3 - (-I_III*R_5 + I_II * R_5) = 0
Ebenso bei Maschendurchlauf M2. Es entsteht eine andere Matrix \(die gleiche wie Matrix Z im Beitrag von Pankow89 bis auf den vermutlichen Tippfehler R4 statt R3 in der letzten Zeile) und auch das Ergebnis stimmt wesentlich besser mit den Messwerten überein.
Viele Grüße,
Stefan
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