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Strukturen und Algebra » Gruppen » transitiv
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Ausbildung J transitiv
juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-12-12


moin,
Ich merke grade dass ich unsicher bin über den Begriff ein Körperautomorphismus oder eine Abbildung, Permutation oder was auch immer (a) "operiert transitiv" und (b) "operiert treu" auf einer Menge, Gruppe oder was eigentlich?
Was passt da überhaupt?

Finds auch nicht in Wikipedia. Kann da ein "Cognescenter" oder "Connoiseur" oder sonstwer, einer der es besser weiss, helfen confused
Transitivität ist doch an sich eine Eigenschaft von Aquivalenzklassen und nicht Abbildungen?
Thx



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Max_Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-12


Hi,

2014-12-12 03:23 - juergen007 im Themenstart schreibt:
Finds auch nicht in Wikipedia.

Doch: lmgtfy.com/?q=operiert+transitiv



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-12


danke,
ich weiss was eine Bahn und ein Stabilisator ist. Aber den Satz: "Folgt aus <math>g \triangleright x = x </math> für alle <math>x \in X</math>, dass g = e gilt, so heißt die Operation treu bzw. effektiv. Dies ist äquivalent dazu, dass der zugehörige Homomorphismus <math>G\to\operatorname{Sym}(X) </math> injektiv ist."
versteh ich leider üerhaupt nicht.
X muss eine endliche Menge sein? Der Satz bzw. die Definition gilt also nur für Permutationsgruppen? Nicht für Körperhomomorphismen?






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KidinK
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-12


Zu jeder Operation <math> \rho\colon G\times X\longrightarrow X </math> gibt es einen Homomorphismus <math> G\longrightarrow\operatorname {Sym} X </math>, <math> g\longmapsto (x\longmapsto gx) </math>. Allgemein lässt sich eine Gruppenoperation auf irgendein mathematisches Objekt als Homomorphismus in dessen Automorphismengruppe verstehen. Die Automorphismengruppe einer Menge ist nunmal die symmetrische Gruppe. Hierbei gibt es keinerlei Einschränkungen für die Gruppe <math> G </math> oder die Menge <math> X </math>.

Liebe Grüße,
KidinK



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-13


danke
ich muss sagen dass es mein Vorstellungsvermögen sprengt, wenn Abbildungen auf Abbildungen abgebildet werden...

Unter transitiv verstand ich die Eigenschaften von Relationen wie: ist kleiner, ist Untergruppe, Teilmenge etc. oder aus a|b und b|c folgt a|c.

Hat das wort transitive Operation bzw. treue Operation eines sagen wir Elements der Galoisgruppe G eine ganz andere Bedeutung? Diese g in G operieren auf Nullstellen und hinterlassen eine Bahn. Jedes g hat eine Bahn und evtl einen Stabilistaor. Eine Drehung hat keinen Stabilisator.

Ich beziehe mich auf LinkGaloisgruppe operiert transitiv auf Nullstellen => f irreduzibel

"Galoisgruppe operiert transitiv auf Nullstellen => f irreduzibel"
was mir sogar irgendwie einleuchtet , da zB <math>C_2 \times C_2</math> die Galoisgruppe von <math>(x^2-3)(x^2-2)</math> ist, was reduzibel ist und es gibt eben keine Abbildung aller in alle Nullstellen. Aber wahrscheinlich werfe ich alles durcheinander pardon.

Vielleicht ein gaanz einfaches Beispiel?? für treu und transitiv? auf Sym (M = Ecken aines Vierecks) ?

operieren nicht nur ELEMENTE der Galoisgruppe transitiv oder nicht oder treu? oder alle g aus G?
ist treu schärfer als transitiv, hat das was miteinander zu tuen, was hat das alles mit dem Relationenbegriff zu tun?


Thx






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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-13


Antworte mir mal selber...


Man  nennt  die  Operation  von  G  auf  X  transitiv falls  es  nur  eine  Bahn  gibt:
  X  = BahnG (a) ∀a ∈ G.

fand ich in www.mathematik.tu-dortmund.de/~swagner/alg13/alg1-10.pdf
Der Stabilisator einer Menge ist nicht ein Punkt sonder eine abbildung.

Was treu operieren ist hab ich noch nicht..
thx anyway, wäre auch froh wenn jemand zumindest kurz auf einen Beitrag eingeht, ist nur 1 Wunsch.. frown
Jürgen




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Galois_1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2014-12-14


Hallo? Wer kann hier helfen? ...



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-14


2014-12-12 14:57 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:
danke,
Folgt aus <math>g \triangleright x = x </math> für alle <math>x \in X</math>, dass g = e gilt, so heißt die Operation treu bzw. effektiv.

würde für mich heissen, selbsgespräche fortsetzend, dass nur  e, die Identität Stabilisator in G ist ??



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Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2014-12-14


2014-12-14 14:06 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
2014-12-12 14:57 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:
danke,
Folgt aus <math>g \triangleright x = x </math> für alle <math>x \in X</math>, dass g = e gilt, so heißt die Operation treu bzw. effektiv.

würde für mich heissen, selbsgespräche fortsetzend, dass nur  e, die Identität Stabilisator in G ist ??


Eine Gruppenoperation von <math>G</math> auf <math>M</math> ist treu, wenn aus <math>gx=x</math> für alle <math>x\in M</math>folgt, dass <math>g=e</math>. Hoffe das hilft?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-14


2014-12-14 14:22 - Dukkha in Beitrag No. 8 schreibt:
2014-12-14 14:06 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
2014-12-12 14:57 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:
danke,
Folgt aus <math>g \triangleright x = x </math> für alle <math>x \in X</math>, dass g = e gilt, so heißt die Operation treu bzw. effektiv.

würde für mich heissen, selbsgespräche fortsetzend, dass nur  e, die Identität Stabilisator in G ist ??


Eine Gruppenoperation von <math>G</math> auf <math>M</math> ist treu, wenn aus <math>gx=x</math> für alle <math>x\in M</math>folgt, dass <math>g=e</math>. Hoffe das hilft?

Nicht wirklich du wiederholst nur wikipedia.
Ist das richtig : Operation treu: Für alle Operationen <math>g\in G </math> ist nur  e, die Identität Stabilisator in G ?? und alle anderen veraendern ja zumindest eine <math>x \in X</math>.
edit:gewagte aussage: die permutation <math>(12)(34) \in S_4</math> hat 2 Bahnen {AB}{CD} und ist also weder treu noch transitiv??



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Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2014-12-14


2014-12-14 14:36 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
2014-12-14 14:22 - Dukkha in Beitrag No. 8 schreibt:
2014-12-14 14:06 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
2014-12-12 14:57 - juergen007 in Beitrag No. 2 schreibt:
danke,
Folgt aus <math>g \triangleright x = x </math> für alle <math>x \in X</math>, dass g = e gilt, so heißt die Operation treu bzw. effektiv.

würde für mich heissen, selbsgespräche fortsetzend, dass nur  e, die Identität Stabilisator in G ist ??


Eine Gruppenoperation von <math>G</math> auf <math>M</math> ist treu, wenn aus <math>gx=x</math> für alle <math>x\in M</math>folgt, dass <math>g=e</math>. Hoffe das hilft?

Nicht wirklich du wiederholst nur wikipedia.
Ist das richtig : Operation treu: Für alle Operationen <math>g\in G </math> ist nur  e, die Identität Stabilisator in G ?? und alle anderen veraendern ja zumindest eine <math>x \in X</math>.


Das Wort treu bedeutet soviel wie unterschiedliche Elemente von <math>G</math> operieren auf <math>X</math> auf unterschiedliche Art, d.h.  bei unterschiedlichen <math>g_1</math> und <math>g_2</math> dann existiert irgendein <math>x</math> so das: <math>g_1 x \ne g_2 x</math>.
Haben wir jetzt einen Stabilisator gefunden, so gilt der nur für ein <math>x_1</math> aber nicht für ganz<math>X</math>.

Konkret: Also wenn du überall nur die Identität als Stabilisator hast, dann ist es frei und somit treu. Wenn du ein <math>g \ne e</math> findest, der jedes <math>x</math> auf sich selber schickt, dann ist es nicht treu.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-14


2014-12-14 15:17 - Dukkha in Beitrag No. 10 schreibt:


Konkret: Also wenn du überall nur die Identität als Stabilisator hast, dann ist es frei und somit treu. Wenn du ein <math>g \ne e</math> findest, der jedes <math>x</math> auf sich selber schickt, dann ist es nicht treu.

oki es dämmert etwas ..
Aber in <math>S_n</math> sehe ich keine untreuen Operation , ausser man wendet z.B <math>S_3</math> auf 3 elemente {a,b,c} aus {a,b,c,d} an. Alle  <math> g \in S_3 </math> lassen d fest und sind sie damit untreu?
Wenn nicht nennst Du eine untreue Operation auf eine endliche Menge X?
thx! smile



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Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2014-12-15


2014-12-14 19:56 - juergen007 in Beitrag No. 11 schreibt:
2014-12-14 15:17 - Dukkha in Beitrag No. 10 schreibt:


Konkret: Also wenn du überall nur die Identität als Stabilisator hast, dann ist es frei und somit treu. Wenn du ein <math>g \ne e</math> findest, der jedes <math>x</math> auf sich selber schickt, dann ist es nicht treu.

oki es dämmert etwas ..
Aber in <math>S_n</math> sehe ich keine untreuen Operation , ausser man wendet z.B <math>S_3</math> auf 3 elemente {a,b,c} aus {a,b,c,d} an. Alle  <math> g \in S_3 </math> lassen d fest und sind sie damit untreu?
Wenn nicht nennst Du eine untreue Operation auf eine endliche Menge X?
thx! smile

Hallo nein!
Ein Gruppenoperation ist dann treu, wenn nur die Identität alle Element fix lässt. Was macht <math>S_3</math> auf <math>{1,2,3,4}</math> bzw. welches Element aus <math>S_3</math> lässt 1, 2, 3 und 4 fix?

Du kannst dir das ganze auch als Homomorphismus anschauen <math>G \rightarrow Sym(G)</math>. Ein injektiver Homomorphismus ist treu, und somit ist der Kern trivial. Das ist ja hier der Fall, weil jede Permutation "anderst" auf {1,2,3,4} operiert.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-15


Ja stimmt in meinem Fall ist der Stabilisator von d S_3.
Jedoch kann ich mir keine untreue Operation vorstellen.
Ist (12)(34) nun transitiv oder nicht?
Thx




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LaLe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2014-12-15


Hallo,

Transitivität ist keine Eigenschaft eines Gruppenelements, sondern der ganzen Wirkung einer Gruppe auf einer Menge ("eine Gruppe wirkt transitiv auf einer Menge, wenn...").

Löst dieses Missverständnis bereits dein Problem?

LG,
Leon



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Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2014-12-16


2014-12-15 20:39 - juergen007 in Beitrag No. 13 schreibt:
Ja stimmt in meinem Fall ist der Stabilisator von d S_3.

EDIT: Sorry habe das {<math>d</math>} überlesen bzw. dachte das sei ein Tippfehler. Vielleicht besser wenn du hier Klammern nützt oder LaTeX...

2014-12-15 20:39 - juergen007 in Beitrag No. 13 schreibt:
Jedoch kann ich mir keine untreue Operation vorstellen.

Wie vorher erwähnt, stell dir das ganze als Homomorphismus vor. Eine treue Operation ist ein injektiver Homomorphismus d.h. der Kern ist trivial ergo ist eine untreue Operation ein nicht injektiver Homomorphismus d.h. eine Wirkung dieser Operation "landet" im Kern.
Überleg dir was passiert wenn <math>S_3</math> auf {<math>12</math>} operiert.

Siehe LaLe für Transitivität



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-16


Ja ist alles fast ok.
Ich habe mit Injektivität von Homomorphismen keine Probs an sich,d.h. jedes Bild hat höchstens ein Urbild (rechtseindeutig) ist äquivalent : der <math>\ker (\sigma)</math> ist nur das Nullelement der Urmenge, hier die <id>.

Jedoch: es gibt
Operationen,
Permutationen.
Gruppen von was?
Sind nicht alle Operationen auf endl. Mengen X isomorph sym(X)?
(un)endliche Mengen von was?
Ein Element x von X.
mehrere Elemente a,b aus X.
Ein Orbit eines Punktes bez. einer Abbildung?
Eine Bahn ist eine Teilmenge ?
Sortiert?
Stabilistator ist klar.

Operationen auf Teilmengen?
Irgendwas definiert einen Äquivalenzrelationen zwischen x1 und x2 waren es jetzt Punkte oder Abbildungen?
(schädel brumm ..) Habe manchmal das Prob dass ich nicht mehr weiss wo ich es herhabe.

"Galoisgruppe operiert transitiv auf Nullstellen <=> f irreduzibel" leuchtet mir komischwerweise sofort ein,
aber wenn ich genauer hinsehe renne ich in Missverständnisse...

<math>H=<(1),(12)(34)></math> hat 2 disjunkte Bahnen und operiert nicht transitiv auf einer 4-elementigen Menge!
H kann also nicht Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms 4ten Grades sein!
Ein ja oder nein reicht. wink
H kann aber Element einer Subnormalreihe sein.

Die "Eigenschaft": "ist Galoisgruppe von" ist nicht transitiv.

Gutes Beispiel in hab ich vergessen wo frown

Das mit dem <math>S_3 </math> mache ich gleich mal, es geht ja wohl um Hintereinanderausführung von <math> S_3  \. (12)</math>
Die Frage ist wird jedes Bild nur einmal erreicht? dann folgt <math>S_3</math> operiert treu auf <math>(12)</math>, ja?

THX!!



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Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2014-12-17


2014-12-16 21:13 - juergen007 in Beitrag No. 16 schreibt:
Ja ist alles fast ok.
Ich habe mit Injektivität von Homomorphismen keine Probs an sich,d.h. jedes Bild hat höchstens ein Urbild (rechtseindeutig) ist äquivalent : der <math>\ker (\sigma)</math> ist nur das Nullelement der Urmenge, hier die <id>.

Jedoch: es gibt
Operationen,
Permutationen.
Gruppen von was?
Sind nicht alle Operationen auf endl. Mengen X isomorph sym(X)?
(un)endliche Mengen von was?
Ein Element x von X.
mehrere Elemente a,b aus X.
Ein Orbit eines Punktes bez. einer Abbildung?
Eine Bahn ist eine Teilmenge ?
Sortiert?
Stabilistator ist klar.

Operationen auf Teilmengen?
Irgendwas definiert einen Äquivalenzrelationen zwischen x1 und x2 waren es jetzt Punkte oder Abbildungen?
(schädel brumm ..) Habe manchmal das Prob dass ich nicht mehr weiss wo ich es herhabe.

"Galoisgruppe operiert transitiv auf Nullstellen <=> f irreduzibel" leuchtet mir komischwerweise sofort ein,
aber wenn ich genauer hinsehe renne ich in Missverständnisse...

<math>H=<(1),(12)(34)></math> hat 2 disjunkte Bahnen und operiert nicht transitiv auf einer 4-elementigen Menge!
H kann also nicht Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms 4ten Grades sein!
Ein ja oder nein reicht. wink
H kann aber Element einer Subnormalreihe sein.

Die "Eigenschaft": "ist Galoisgruppe von" ist nicht transitiv.

Gutes Beispiel in hab ich vergessen wo frown

Das mit dem <math>S_3 </math> mache ich gleich mal, es geht ja wohl um Hintereinanderausführung von <math> S_3  \. (12)</math>
Die Frage ist wird jedes Bild nur einmal erreicht? dann folgt <math>S_3</math> operiert treu auf <math>(12)</math>, ja?

THX!!


Meinst du vielleicht den Satz von Cayley?
("Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.")

Verstehe deinen Beitrag nicht ganz, werde vermutlich dir auch nicht überall helfen können. Aber zu <math>S_3 </math> auf  {<math>12</math>}. Schau dir mal das element <math>(123)</math> an. Liegt das im Kern oder nicht?



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-17


(2014-12-17 00:25 - Dukkha in <a Meinst du vielleicht den Satz von Cayley?
("Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.")
Verstehe deinen Beitrag nicht ganz, werde vermutlich dir auch nicht überall helfen können. Aber zu <math>S_3 </math> auf  {<math>12</math>}. Schau dir mal das element <math>(123)</math> an. Liegt das im Kern oder nicht?

(1)"Ein Gruppenoperation ist dann treu, wenn nur die Identität alle Element fix lässt."

Aus EINER Gruppenoperation einer gar nich definierten Gruppe auf eine gar nicht definierte Menge (oder was ) wird auf die Eigenschaft einer anderen Operation geschlossen , hmmm?

(2)"Eine Gruppenoperation von G auf M ist treu, wenn aus gx=x für alle <math>x\in M</math>folgt, dass g=e." Hier auch.

Sei <math>\phi = (12)</math>.
<math>X = \{12\}.</math>,
<math> \phi (X) = \{21\}</math>. Spielt Reihenfolge in der Partition X eine Rolle?
Dann laesst Diese EINE Gruppenoperation naemlich <math>\phi(X)</math> X fest. Nur diese und e! halten alle <math>x \in X</math> fest bis auf Reihenfolge.

Diese EINE Gruppenoperation ist also untreu bezüglich X?!

<math>(12)</math> angewandt auf <math>\{1,2\}</math>ist also im Kern von <math>S_3-> X</math>??
<math>(12)</math> angewandt auf <math>\{1\}</math> ist also nicht im Kern von <math>S_3-> X</math>??
<math>(123)</math> angewandt auf  <math>\{1,2,3\}</math> ist <math>\{1,2,3\}</math> also im Kern von <math>S_3 -> X</math>, weil <math>\{1,2,3\}</math> angewandt auf  <math>\{1,2,3\}</math> wieder <math>\{1,2,3\}</math> bis auf Reihenfolge ist?
was ist mit <math>(132)</math> ändert auch nur die Reihenfolge in X ist also im <math>\ker(S_3 -> X)</math>?

(ich weiss nicht "angewandt auf" in Latex)

Sind GruppenoOperationen nicht generell <math>\cong</math> einer Permutationsgruppe?  (ja /nein) biggrin
Ich glaube das ist Cayley.
Also Operation = Permutation ?

Sym(x) ist die Automorphismengruppe  von X. (wer hat dies Unwort Automorphismus erfunden? biggrin )

Wenn nicht, was gibt es für andere Operationen?
Ich habe immer probs was bezieht sich auf was.
Ich komm mir etwas bl.. vor aber ich will das jetzt klären (schlaflos wink )
Aussage (1) ist IMHO schleches deutsch.

Bitte zum 3ten Mal um ein Beispiel einer untreuen Operation!
Thx
Ich muesste das mal aufgemalt sehen suche in google-bilder auf treue Operation bringt nichts, nur Ärzte und Politiker  eek



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Dukkha
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2014-12-17


2014-12-17 03:16 - juergen007 in Beitrag No. 18 schreibt:

(1)"Ein Gruppenoperation ist dann treu, wenn nur die Identität alle Element fix lässt."

Aus EINER Gruppenoperation einer gar nich definierten Gruppe auf eine gar nicht definierte Menge (oder was ) wird auf die Eigenschaft einer anderen Operation geschlossen , hmmm?


?????? Was genau ist nicht definiert? Bitte konkretisiere deine Formulierung.
<math>S_3</math> ist definiert und <math>G:=\{1,2\}</math> auch. Vielleicht ist dir ja die Struktur von <math>S_3</math> nicht klar ( Struktur S3).

Ansonsten: Wir nehmen das Element <math>(12)</math> von <math>S_3</math>. Das operiert so auf <math>G</math> das <math>G</math> folgende Struktur kriegt: <math>G=\{2,1\}</math>.

Wir nehmen das Element <math>(123)</math> von <math>S_3</math>. Das lässt aber <math>G</math> invariant, weil es wegen der <math>3</math> im Kern landet ergo ist der Gruppenhomomorphismus nicht injektiv und somit nicht treu. Hast du's jetzt verstanden?

2014-12-17 03:16 - juergen007 in Beitrag No. 18 schreibt:
(2)"Eine Gruppenoperation von G auf M ist treu, wenn aus gx=x für alle <math>x\in M</math>folgt, dass g=e." Hier auch.

Sei <math>\phi = (12)</math>.
<math>X = \{12\}.</math>,
<math> \phi (X) = \{21\}</math>. Spielt Reihenfolge in der Partition X eine Rolle?

Ja natürlich, darum habe ich auch ein Komma dazwischen. Eine Permutation würde sonst keinen Sinn ergeben.
<math>\{2,1\} \ne \{1,2\}</math>
Kann es sein dass du die Cyclic-Notation nicht beherrscht?
<math>(123)</math> bedeutet soviel wie <math>f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1</math> und <math>(34)(123)</math> bedeutet von (rechts nach links) soviel wie
<math>f(1)=2,f(2)=4,f(3)=1,f(4)=3</math>.

2014-12-17 03:16 - juergen007 in Beitrag No. 18 schreibt:
Dann laesst Diese EINE Gruppenoperation naemlich <math>\phi(X)</math> X fest. Nur diese und e! halten alle <math>x \in X</math> fest bis auf Reihenfolge.
Diese EINE Gruppenoperation ist also untreu bezüglich X?!
<math>(12)</math> angewandt auf <math>\{1,2\}</math>ist also im Kern von <math>S_3-> X</math>??
<math>(12)</math> angewandt auf <math>\{1\}</math> ist also nicht im Kern von <math>S_3-> X</math>??
<math>(123)</math> angewandt auf  <math>\{1,2,3\}</math> ist <math>\{1,2,3\}</math> also im Kern von <math>S_3 -> X</math>, weil <math>\{1,2,3\}</math> angewandt auf  <math>\{1,2,3\}</math> wieder <math>\{1,2,3\}</math> bis auf Reihenfolge ist?
was ist mit <math>(132)</math> ändert auch nur die Reihenfolge in X ist also im <math>\ker(S_3 -> X)</math>?

(ich weiss nicht "angewandt auf" in Latex)

Siehe Beispiel oben.

2014-12-17 03:16 - juergen007 in Beitrag No. 18 schreibt:
Sind GruppenoOperationen nicht generell <math>\cong</math> einer Permutationsgruppe?  (ja /nein) biggrin
Ich glaube das ist Cayley.
Also Operation = Permutation ?

Sym(x) ist die Automorphismengruppe  von X. (wer hat dies Unwort Automorphismus erfunden? biggrin )

Wenn nicht, was gibt es für andere Operationen?
Ich habe immer probs was bezieht sich auf was.
Ich komm mir etwas bl.. vor aber ich will das jetzt klären (schlaflos wink )
Aussage (1) ist IMHO schleches deutsch.

Bitte zum 3ten Mal um ein Beispiel einer untreuen Operation!
Thx
Ich muesste das mal aufgemalt sehen suche in google-bilder auf treue Operation bringt nichts, nur Ärzte und Politiker  eek

Eine Gruppenoperation ist eine Gruppe. Wende den Satz von Cayley an. Permutation ist nur eine von unzähligen Operationen. Die Gruppe der Permutation <math>S_3</math> operiert durch Permutation, eine andere Gruppe operiert aber vielleicht anderst z.B. durch "quadrieren" oder durch "addition". Siehe Definition Gruppe.

Ich habe dir ein Beispiel einer untreuen Operation gegeben.



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juergen007
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2014-12-17 10:30 - Dukkha in Beitrag No. 19 schreibt:


Ansonsten: Wir nehmen das Element <math>(12)</math> von <math>S_3</math>. Das operiert so auf <math>G</math> das <math>G</math> folgende Struktur kriegt: <math>G=\{2,1\}</math>.

Wir nehmen das Element <math>(123)</math> von <math>S_3</math>. Das lässt aber <math>G</math> invariant, weil es wegen der <math>3</math> im Kern landet ergo ist der Gruppenhomomorphismus nicht injektiv und somit nicht treu. Hast du's jetzt verstanden?

Nein.
<math>G=\{2,1\}</math> ist eine Menge, unglücklicher Buchstabe ok.

<math>(123){G}</math> gibt <math>G´=\{3,2\}</math>
<math>(132){G}</math> gibt <math>G´=\{1,3\}</math>
<math>(12){G}</math> gibt <math>G´=\{1,2\}</math>
<math>(13){G}</math> gibt <math>G´=\{2,3\}</math>
<math>(23){G}</math> gibt <math>G´=\{3,1\}</math>
<math>(id){G}</math> gibt <math>G´=\{2,1\}</math>

also nur die ID hält G fest also operiert s3 treu auf G.

Wenn Du mit G die angeordnete Menge <math>\{2,1\}</math> meinst.

oder meintest Du (2,1) als Permutation?
Was landet im Kern von was?
Cyclen-notationen, Trägermengen, Bahnen, Spuren und Isotropiegruppen sind mir klar.

Thx
Jürgen



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juergen007
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Nochmal hochschieb..

2014-12-17 10:30 - Dukkha in Beitrag No. 19 schreibt:


Ansonsten: Wir nehmen das Element <math>(12)</math> von <math>S_3</math>. Das operiert so auf <math>G</math> das <math>G</math> folgende Struktur kriegt: <math>G=\{2,1\}</math>.

Wir nehmen das Element <math>(123)</math> von <math>S_3</math>. Das lässt aber <math>G</math> invariant, weil es wegen der <math>3</math> im Kern landet ergo ist der Gruppenhomomorphismus nicht injektiv und somit nicht treu. Hast du's jetzt verstanden?

Nein.
<math>G=\{2,1\}</math> ist eine Menge, unglücklicher Buchstabe ok.

<math>(123){G}</math> gibt <math>G´=\{3,2\}</math>
<math>(132){G}</math> gibt <math>G´=\{1,3\}</math>
<math> (12){G}</math> gibt <math>G´=\{1,2\}</math>
<math> (13){G}</math> gibt <math>G´=\{2,3\}</math>
<math> (23){G}</math> gibt <math>G´=\{3,1\}</math>
<math> (id){G}</math> gibt <math>G´=\{2,1\}</math>

also nur die ID hält G fest also operiert S3 treu auf G.

Wenn Du mit G die angeordnete Menge <math>\{2,1\}</math> meinst.

oder meintest Du (2,1) als Permutation?
Was landet im Kern von was?
Cyclen-notationen, Trägermengen, Bahnen, Spuren und Isotropiegruppen sind mir klar.

wikipedia:

Die Operation heißt ''treu'' bzw. ''effektiv'', falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus <math>G\to\operatorname{Sym}(X)</math> trivialen Kern  hat, also injektiv ist.

X={1,2,3}.
<math>{Sym}(X)</math> koennte wohl nur S_3 sein oder Isomorph nach Cayley.
Sry ich hab da n tiefes Missverständnis, dass ich gern geklärt hätte

Thx
Jürgen





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juergen007
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2014-12-15 21:18 - LaLe in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo,

Transitivität ist keine Eigenschaft eines Gruppenelements, sondern der ganzen Wirkung einer Gruppe auf einer Menge ("eine Gruppe wirkt transitiv auf einer Menge, wenn...").

Löst dieses Missverständnis bereits dein Problem?

LG,
Leon


eine Gruppe wirkt transitiv auf einer Menge, wenn... WAS?
ist mir noch nicht klar ..
was wäre denn aus der s4 eine NICHT Transitive operation auf (a,b,c,d)?



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Buri
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2018-02-23 18:42 - juergen007 in Beitrag No. 22 schreibt:
... was wäre denn aus der s4 eine NICHT Transitive operation auf (a,b,c,d)?
Hi jueergen007,
zum Beispiel die Operation a mapsto; c, b ↦ d.
Die Wirkung ist nicht transitiv, weil die Operation nicht a auf b abbildet.
Gruß Buri



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juergen007
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2018-02-23 18:58 - Buri in Beitrag No. 23 schreibt:
2018-02-23 18:42 - juergen007 in Beitrag No. 22 schreibt:
... was wäre denn aus der s4 eine NICHT Transitive operation auf (a,b,c,d)?
Hi jueergen007,
zum Beispiel die Operation a mapsto; c, b ↦ d.
Die Wirkung ist nicht transitiv, weil die Operation nicht a auf b abbildet.
Gruß Buri
versteh ich nicht a mapsto; c, b ↦ d. ???
die Notation ist mir unverständkich sag mal eine aus s4 die nicht transitiv ist zB (12)?



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juergen007
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\(\begingroup\)
Ich gehe mal davon aus dass alle Permutationen aus allen symmetrischen Gruppen treu und transitiv auf Ihren Grundmengen arbeiten, jedoch nicht auf Teilmengen dieser ?! Obwohl an sich die Untergruppe $1,(12)(34)$ 2 disjunkte Bahnen auf einer beliebiger Trägermenge $\{a,b,c,d\}$ hat.
J
Edit:

Ich verbesser mich die $1,(12)(34)$ operiert nicht transitiv auf Trägermenge $\{a,b,c,d\}$ und kann somit nicht Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms sein.

\(\endgroup\)


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