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  Widerstandsberechnung zwischen Leiterenden eines halben Hohlzylinders |
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Linus92
Neu 
Dabei seit: 24.12.2014
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2014-12-24
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/3830_Unbenannt.png
Hi Leute,
ich versuche hier, eine Aufgabe zu lösen und bin etwas verwirrt. Ich würde mich sehr über Tipps freuen, wie ich die Aufgabe lösen könnte.
Aufgabe:
Diese Skizze (nicht original) soll einen elektrischen Leiter zeigen, der die Form eines halben Hohlzylinders hat. Das Material hat einen eigenen spezifischen Widerstand.
Nun ist gefragt, was der Widerstand zwischen den Leiterenden K und L ist.
Ich habe zwei mögliche Ansätze:
Erstmal: Wir sind im Zylinderkoordinatensystem.
allgemein gilt: Widerstand R = (Spezifischer Widerstand * Länge zwischen den Enden) / Querschnittsfläche
Was die Querschnittsfläche ist, ist mir klar, und zwar (b-a)*c.
Der Spezifische Widerstand ist gegeben.
Was ist aber die Länge, worüber integriert werden muss?
Also meine Vorschläge waren:
1.) Länge = Pi * (0,5(a+b))
Also der Hohlzylinder wird sozusagen geradegebogen. Darf ich das überhaupt in dieser Weise machen oder wäre das nur eine Näherungsrechnung?
2.) deltaLänge = deltaPhi * deltaRoh
=> Länge = Pi * (b-a)
Bei diesem Vorschlag muss ich aber feststellen, dass der Widerstand dann völlig unabhängig von a bzw. b ist, da die Querschnittsfläche = c * (b-a), sodass sich (b-a) im Zähler und Nenner kürzen lässt.
Könnte es sein, dass der Widerstand unabhängig der Radien a, b ist?
Ich bitte wirklich um eure Hilfe! :)
Vielen Dank im Voraus!!!
MfG
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-24
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Hallo Linus92,
und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten
Noch ein frohes Fest !
In der Skizze ist ein differentielles Volumenstück in Polarkoordinaten dargestellt, nur in einem solchen Stück kann der Strom als konstant angenommen werden.
\
Sei \sigma die spezifische Leitfähigkeit des Materials, also der Kehrwert des spez. Widerstandes \rho. U sei die Potenzialdifferenz zwischen K und L, auch eine Konstante \(idealisiert Ohm'sches Gesetz\).
i=(\sigma*U*dA)/(\pi*r) mit dA=c*dr
=> I=(\sigma*U*c)/(\pi)*int(1/r,r,a,b)
Mit diesem Ergebnis kann über U=I*R, R ausgerechnet werden.
Anmerkung: Das der obere Halbkreisbogen die Länge \pi*r hat und nicht der untere, hängt damit zusammen, dass bei (differentieller Betrachtung)__, der obere und der untere Bogen gedanklich förmlich verschmelzen und dann kein Unterschied in der Länge mehr da ist.
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/34975_HohlzylinderWid200.png
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Linus92
Neu
Dabei seit: 24.12.2014
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-25
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Danke für deine Antwort! :)
Wie kann es sein, dass die Längen miteinander verschmelzen? Wieso nehme ich nicht den Mittelwert, das wäre doch die optimale Verschmelzung, ansonsten betrachte ich ja nur den oberen Radius? Wie kann ich das begründen, dass ich nur den oberen Radius für die Länge zwischen K und L nehme?
Korrektur: Ach Moment mal... bei der Länge wird doch Pi*r (allgemein) genommen. Dieses r ist noch vor der Integration völlig unabhängig von den Radien... Jetzt habe ich verstanden, was du mit der Verschmelzung meinst.
Vielen vielen Dank!
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vGvC
Senior 
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1334
| Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-25
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Hallo Linus,
Deine Skizze ähnelt so ein bisschen den unmöglichen Konstruktionen von M.C. Escher, z.B. dem Wasserfall.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/28370_Escher_Wasserfall.jpg
Die hintere Kante des Bügels, die in Deinem Bild hinten rechts beginnt, endet plötzlich als vordere Kante vorne links. Irgendetwas kann da nicht stimmen.
Ich habe mal versucht, den Bügel so zu zeichen, wie er tatsächlich aussehen könnte, und habe dabei gleich auch ein infinitesimal kleines Volumenelement mit Radius r und Dicke dr rot eingezeichnet.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/28370_Buegelwiderstand.jpg
Bezüglich eines Stromflusses von K nach L liegen unendlich viele dieser Elemente wie die Schichten einer halbierten Porreestange parallel. Wenn Du davon den Gesamtwiderstand bestimmen willst, musst Du, wie bei einer Parallelschaltung üblich, zunächst die Leitwerte all dieser Elemente addieren. Die Addition von infinitesimal kleinen Elementen nennt man auch Integration. Der Gesamtleitwert des Bügels bestimmt sich also zu
$ G=\int_a^b dG$
mit
$dG=\frac{dA}{\rho\cdot l}=\frac{c\cdot dr}{\rho\cdot\pi\cdot r}$
Also
$G=\int_a^b\frac{c}{\rho\cdot\pi\cdot r}\, dr$
$G=\frac{c}{\rho\cdot\pi}\cdot\ln{\frac{b}{a}}$
Der Widerstand ist der Kehrwert davon:
$R=\frac{1}{G}=\frac{\rho\cdot\pi}{c\cdot\ln{\frac{b}{a}}}$
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Linus92
Neu
Dabei seit: 24.12.2014
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-26
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Genau so habe ich es auch dank fermat63.
Auch an dich großen Dank für die Bestätigung! :)
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Linus92 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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