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Funktionentheorie » Holomorphie » Zusammenhang harmonische und holomorphe Funktionen
Autor
Universität/Hochschule J Zusammenhang harmonische und holomorphe Funktionen
Fenistil
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.12.2013
Mitteilungen: 78
  Themenstart: 2015-01-02

Hallo zusammen, hat jemand eine Idee, in welchem Buch ich den Beweis zu folgendem Satz finde: "Falls h eine harmonische Funktion auf D (einfach zusammenhängend) ist, dann ist h = Re(f) für eine holomorphe Funktion f auf D."? Ich würde den Beweis gerne zitieren, finde aber kein Buch, in dem der Beweis gut ausgeführt ist. In Freitag-Busam beispielsweise finde ich es nur für Rechtecke... Danke!

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egndgf
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2006
Mitteilungen: 16018
Wohnort: Mindelheim
  Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-02

Hallo, schon einmal in den Anhang C zu Kapitel IV geschaut? Eigenschaft 7) ist genau das, was du willst. MfG egndgf

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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46582
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.2, eingetragen 2015-01-02

\quoteon(2015-01-02 10:35 - Fenistil im Themenstart) ... den Beweis zu folgendem Satz ... \quoteoff Hi Fenistil, es fehlt die Voraussetzung, dass die Funktion h reellwertig ist. Wenn das gilt, dann muss die gesuchte Funktion f = h + ig die Cauchy-Riemannschen DGLen erfüllen, also ist pdiff(g,x)=-pdiff(h,y) und pdiff(g,y)=pdiff(h,x), und man kann die Funktion g, abgesehen von einer Konstanten, durch Integration bestimmen: g(b)-g(a)=int((-pdiff(h,y)dx+pdiff(h,x)dy),,a,b), wobei das Integral wegen der Harmonizität von h pdiff(\void,x) pdiff(h,x)+pdiff(\void,y) pdiff(h,y)=0 und wegen des einfachen Zusammenhangs von D unabhängig von dem Weg ist, der von a nach b führt. Man kann die Aussage auf komplexwertige harmonische Funktionen verallgemeinern. Eine komplexwertige Funktion h ist genau dann harmonisch, wenn es holomorphe Funktionen f und g mit h(z)=f(z)+g(z)^- gibt. Ist h reellwertig, dann kann man f = g wählen. Gruß Buri

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