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Physik » Schwingungen und Wellen » Federsystem
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Universität/Hochschule J Federsystem
Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-01-13


Ein Wagen der Masse m wird von zwei Federn der Federkonstanten <math>k_1</math> und <math>k_2</math> zwischen zwei Wänden gehalten.

a) Der Wagen wird um <math>x_0</math> nach rechts aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann losgelassen. Berechnen Sie <math>x(t)</math> unter Vernachlässigung der Reibung und geben Sie die Eigenfrequenz des Systems an.
b) Die gesamte Anordnung wird nun um einen Winkel \alpha geneigt. Wiederum wird der Wagen um <math>x_0</math> aus der alten Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Wie ändert sich die Bewegungsgleichung im Vergleich zu Aufgabenteil i)? Geben Sie die Lösung der Bewegungsgleichung an.

a)
Die Position ist eine Funktion der Zeit mit <math>x(t)=A\cos(\omega t+\phi)</math>
Ich dachte mir <math>A=x_0</math> und damit müsste die Funktion
<math>x(t)=x_0\cos(\omega t+\phi)</math> lauten. Die Eigenfrequenz erhält man dann durch <math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math>

b) Hier dachte ich mir ich stelle die Gleichung ersteinmal auf.

<math>F=-kx-mg\sin\theta</math>

<math>\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}x-g\sin\theta</math>

Das ist nun eine DGL zweiter Ordnung. Bevor ich anfange zu lösen auch hier die Frage, ist es soweit korrekt?

Besten Dank!  😄




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vGvC
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-13


Zu a)
Das ist so weit richtig. Jetzt musst Du nur noch die Richtgröße k bestimmen.

Zu b)
Was ist denn der Unterschied zu Aufgabenteil a)? Hast Du da nicht auch eine Dgl. zweiter Ordnung gelöst, die prinzipiell genauso aussieht? Suspekt ist mir allerdings der Term <math>g\sin{\theta}</math>. Der verändert doch nur die Nulllage. Es geht lediglich um das Hooke'sche Gesetz, oder nicht?

Im Übrigen würde ich nur die in der Aufgabenstellung verwendeten Bezeichnungen für die gegebenen Größen benutzen. Im Aufgabentext heißt der Neigungswinkel beispielsweise <math>\alpha</math>, Du nennst ihn aus unerfindlichen Gründen <math>\theta</math>. Warum?



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Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13


Zu der a)
Es muss <math>k_1=k_2</math> eigentlich gelten da sich das Auto in der Ruhelage befindet und beide Entfernungen von der Wand gleich sind.
Das heißt es würde reichen wenn ich ein System mit einer Feder betrachte? Also dann könnte man die Federkonstante mit <math>-kx=mg</math> also <math>k=\frac{mg}{-x}</math> bestimmen.

b) Ja, da habe ich mich verschrieben mit dem Winkel (Macht der Gewohnheit).
Ich dachte wenn das System gekippt wird erhält man quasi eine schiefe Ebene. Deshalb dachte ich wirkt auf die Feder noch zusätzlich die Hangabtriebskraft.



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vGvC
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2015-01-13


2015-01-13 15:40 - Cohen in Beitrag No. 2 schreibt:
Zu der a)
Es muss <math>k_1=k_2</math> eigentlich gelten da sich das Auto in der Ruhelage befindet und beide Entfernungen von der Wand gleich sind.

Nein, das ist keine Begründung. Das Auto befindet sich ohne Energiezufuhr auch bei <math>k_1\neq k_2</math> in Ruhe. Und die Länge der unbelasteten Federn kann durchaus so gewählt sein, dass sie im eingebauten Zustand bei Ruhelage des Autos gleich lang sind. Dann sind sie halt mehr oder weniger ausgelenkt und/oder gestaucht.


Das heißt es würde reichen wenn ich ein System mit einer Feder betrachte?

Ja, das würde es. Die Frage ist nur, wie groß die Federkonstante dieser Ersatzfeder ist, unabhängig davon ob <math>k_1=k_2</math> oder <math>k_1\neq k_2</math>


Also dann könnte man die Federkonstante mit <math>-kx=mg</math> also <math>k=\frac{mg}{-x}</math> bestimmen.

Was hat denn bei horizontaler reibungsfreier Anordnung die Gewichtskraft mit der Federkonstante zu tun? Die beiden Federkonstanten sind laut Aufgabenstellung gegeben. Du musst jetzt die Gesamt- oder Ersatzfederkonstante oder wie immer du sie nennen magst aus den gegebenen Federkonstanten bestimmen.



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Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13


Hast du auch einen Tipp wie man sowas macht?
Eventuell mit <math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> wobei <math>k=k_1+k_2}</math> ist und dann nach <math>k_1</math> oder <math>k_2</math> auflösen?

Oder irgendwie mit dem Energieerhaltungssatz?

<math>\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}kx^2</math> mit <math>k=k_1+k_2</math> oder sowas?




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vGvC
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2015-01-13


Nein, nicht sowas. Sondern durch einfache Überlegung. Welche Kraft musst Du aufwenden, um das Auto um eine Strecke x nach rechts oder links zu verschieben? Diese Kraft dividiert durch x ist laut Hookes'schem Gesetz die Federkonstante.



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Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13


Schonmal danke für deine Hilfe. Ist es eventuell <math>ma=-kx</math> mit <math>a=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)</math>

<math>-mA\omega^2\cos(\omega t+\phi)=-kx</math> wobei <math>A=x_0</math>

<math>m\omega^2\cos(\omega t+\phi)=k</math>



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vGvC
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2015-01-13


Nee, Du scheinst nicht zu verstehen, wie einfach ich es Dir mache. Du sollst mal die Frage beantworten, die ich in meinem vorigen Beitrag gestellt habe.

Hilfestellung:
Verschiebe den Wagen gedanklich mit Deiner Hand um x nach rechts, dann drückt die rechte Feder mit einer bestimmten Kraft (welcher?) nach links dagegen, und die linke Feder zieht mit einer bestimmten Kraft (welcher?) ebenfalls nach links. Zur Bestimmung dieser beiden Kräfte denke daran, dass die Federkonstanten gegeben und damit bekannt sind. Welche Gesamtkraft muss von Deiner Hand also aufgebracht werden. Dividiere diese Kraft durch x, dann hast du die Gesamtfederkonstante.



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Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13


Wenn ich die Feder nach rechts schiebe müsste die Kraft <math>F=-k_2x_0-2k_1x_0</math> wirken also <math>F=x_0(-k_2-2k_1)</math> und das nun dividiert durch <math>x_0</math> erhalte ich

<math>\frac{F}{x_0}=-k_2-2k_1</math>
Und das ist nun die Gesamtfederkonstante?



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vGvC
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2015-01-13


Nein, Du hast irgendwelche verqueren Vorstellungen vom Hookes'schem Gesetz.

Wenn ich die rechte Feder um x nach rechts zusammendrücke, benötige ich eine Kraft von F2=k2*x. Wenn ich gleichzeitig noch die linke Feder nach rechts ausdehne, benötige ich zusätzlich eine Kraft von F1=k1*x in dieselbe Richtung wie F2, insgesant also Fges=F1+F2=k1*x+k2*x=(k1+k2)*x. Daraus folgt

<math>k=\frac{F_{ges}}{x}=k_1+k_2</math>

Irgendwie scheint Dir das Verständnis für einfachste Zusammenhänge zu fehlen.



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Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13


Und damit habe ich nun <math>\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}</math> bestimmt. Also <math>x(t)=x_0\cos(\frac{k_1+k_2}{m}t+\phi)</math>

Das müsste die a) gewesen sein. Nun zu der b)
Wenn die Idee mit der schiefen Ebene falsch ist was soll ich dann machen?



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vGvC
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2015-01-14


2015-01-13 22:38 - Cohen in Beitrag No. 10 schreibt:
Und damit habe ich nun <math>\omega=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}</math> bestimmt. Also <math>x(t)=x_0\cos(\frac{k_1+k_2}{m}t+\phi)</math>

Da fehlt 'n Wurzelzeichen. Wie groß ist denn <math>\phi</math>?


Das müsste die a) gewesen sein. Nun zu der b)
Wenn die Idee mit der schiefen Ebene falsch ist was soll ich dann machen?

Ich dachte, das hatte ich schon gesagt: Gar nix. Der Fall unterscheidet sich doch um nichts von dem gerade betrachteten. Zum Vergleich: Wie würde die Schwingungsgleichung lauten, wenn der Wagen an einer vertikalen Feder mit der Federkonstanten k hängen würde (<math>\alpha=90^\circ</math>)?



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Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-16


Hi vGvC, die Schwingungsgleichung würde immer noch <math>x(t)=A\cos(\omega t+\phi)</math> lauten.  😄
Sehr schön, das ist schonmal klar.
Allerdings nochmal zu der a) Da hapert es noch etwas am Verständnis.
Den Phasenwinkel <math>\phi</math> kann ich Null setzen?

Die Herleitung ist mir noch nicht ganz klar. Ich dachte eigentlich das Hooksche Gesetz lautet <math>F=-kx</math> mit dem Minus um die Richtung der Kraft anzugeben. In deiner Herleitung taucht das allerdings garnicht auf?

Wenn ich das Auto nach rechts um <math>x_0</math> auslenke wird die Feder rechts gestaucht und die linke Feder gedehnt. Nun ist die rechte Feder um <math>x_0</math> aus der Ruhelage entfernt und die linke Feder auch um <math>x_0</math> von der Ruhelage entfernt. Demnach müsste es doch <math>F=-k_1x_0-k_2x_0</math> Also dann <math>k_{Ges}=\frac{F}{x_0}=-k_1-k_2</math> Soweit ist alles klar. Was ist allerdings nun mit dem Minus passiert?
Ich hoffe das ich nun etwas deutlicher gemacht habe wo mein Verständnisproblem liegt.

Danke für deine Geduld mit mir.  😄 <math></math>



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vGvC
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Na ja, wenn Du unbedingt mit dem Minus arbeiten willst, bitteschön ...

Für die Ersatzfeder würde gelten

<math>F=-k_{ges}\cdot x_0</math>

Für das gegebene Federsystem gilt

<math>F=-k_1\cdot x_0-k_2\cdot x_0=-(k_1+k_2)\cdot x_0</math>

Aus Koeffizientenvergleich folgt

<math>k_{ges}=k_1+k_2</math>

Um also Deine Frage zu beantworten, was mit dem Minus passiert ist, lässt sich nur sagen, dass es entsprechend Deiner eigenen Vorgabe, das Hookes'sche Gesetz mit Minuszeichen zu benutzen, ausgeklammert wurde.



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Cohen
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Alles klar, vielen Dank für die Hilfe. 😄



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