Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Umkehrung des Satzes von Liouville
Autor
Universität/Hochschule Umkehrung des Satzes von Liouville
Marfl
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.02.2014
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2015-01-29

Hallo! Ich sitze gerade an folgendem Problem: Der Satz von Liouville besagt ja, dass jede beschränkte ganze Funktion konstant ist. Es gilt also auch, dass jede beschränkte Funktion, die auf $\mathbb C$ mit Ausnahme beliebig vieler isolierter Punkte holomorph ist, konstant sein muss. Dies zeigt man mittels des Hebbarkeitssatzes. Es sei nun umgekehrt jede beschränkte holomorphe Funktion auf $\mathbb C\backslash K$ konstant, wobei $K$ eine kompakte Menge ist. Wie zeige ich, dass $K$ total unzusammenhängen ist? Danke für eure Hilfe!


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46549
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-29

Hi Marfl, die Frage ist interessant. Ich würde erstmal schauen, was im Fall K = [0,1] passiert, und eine beschränkte holomorphe Funktion auf C \ [0,1] konstruieren. Dann kommt man vielleicht auf eine Idee, was genau schiefgeht, wenn K nicht total unzusammenhängend ist. Ich habe solch eine Funktion vorläufig nicht, hast du vielleicht eine? Gruß Buri


   Profil
Gestath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 219
  Beitrag No.2, eingetragen 2015-01-30

Hallo Marfl und Buri, Sei log der Logarithmus auf der geschlitzten Ebene. f(z)=exp(i*log(-1/z+1)) sollte dann ein Beispiel sein.


   Profil
egndgf
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2006
Mitteilungen: 16018
Wohnort: Mindelheim
  Beitrag No.3, eingetragen 2015-01-30

Hallo, 1. Mit der Cantor-Bendixson-Zerlegung kann man das Problem leicht auf den Fall zurückführen, in dem K perfekt ist (und damit automatisch überabzählbar). 2. In welchem Kontext wurde die Aufgabe gestellt? Waren es vielleicht Hardy-Räume? Mein einziger Ansatz basiert nämlich darauf, die Faktorisierung von Funktionen aus $H^\infty$ anzuwenden (auf die Funktion $z\mapsto f(z^{-1})$ auf $D(0,r^{-1}$ für eine beschränkte holomorphe Funktion auf $\mathbb{C}\setminus K$; hierbei sei $r:=\sup\{|z|,z\in K\}$). Ich weiß nicht, ob das zum Ziel führt. MfG egndgf


   Profil
Marfl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]