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Funktionentheorie » Holomorphie » Umkehrung des Satzes von Liouville
Autor
Universität/Hochschule Umkehrung des Satzes von Liouville
Marfl
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 07.02.2014
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2015-01-29

Hallo! Ich sitze gerade an folgendem Problem: Der Satz von Liouville besagt ja, dass jede beschränkte ganze Funktion konstant ist. Es gilt also auch, dass jede beschränkte Funktion, die auf $\mathbb C$ mit Ausnahme beliebig vieler isolierter Punkte holomorph ist, konstant sein muss. Dies zeigt man mittels des Hebbarkeitssatzes. Es sei nun umgekehrt jede beschränkte holomorphe Funktion auf $\mathbb C\backslash K$ konstant, wobei $K$ eine kompakte Menge ist. Wie zeige ich, dass $K$ total unzusammenhängen ist? Danke für eure Hilfe!

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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46549
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-29

Hi Marfl, die Frage ist interessant. Ich würde erstmal schauen, was im Fall K = [0,1] passiert, und eine beschränkte holomorphe Funktion auf C \ [0,1] konstruieren. Dann kommt man vielleicht auf eine Idee, was genau schiefgeht, wenn K nicht total unzusammenhängend ist. Ich habe solch eine Funktion vorläufig nicht, hast du vielleicht eine? Gruß Buri

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Gestath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 219
  Beitrag No.2, eingetragen 2015-01-30

Hallo Marfl und Buri, Sei log der Logarithmus auf der geschlitzten Ebene. f(z)=exp(i*log(-1/z+1)) sollte dann ein Beispiel sein.

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egndgf
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2006
Mitteilungen: 16018
Wohnort: Mindelheim
  Beitrag No.3, eingetragen 2015-01-30

Hallo, 1. Mit der Cantor-Bendixson-Zerlegung kann man das Problem leicht auf den Fall zurückführen, in dem K perfekt ist (und damit automatisch überabzählbar). 2. In welchem Kontext wurde die Aufgabe gestellt? Waren es vielleicht Hardy-Räume? Mein einziger Ansatz basiert nämlich darauf, die Faktorisierung von Funktionen aus $H^\infty$ anzuwenden (auf die Funktion $z\mapsto f(z^{-1})$ auf $D(0,r^{-1}$ für eine beschränkte holomorphe Funktion auf $\mathbb{C}\setminus K$; hierbei sei $r:=\sup\{|z|,z\in K\}$). Ich weiß nicht, ob das zum Ziel führt. MfG egndgf

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Marfl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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