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| Autor |
 Rentenwert berechnen |
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questionable
Junior 
Dabei seit: 30.01.2015
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2015-02-11
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Hallo,
bei mir hat sich noch ein weiteres Problem aufgetan, Aufgabenstellung wie folgt:
Frau Maier ist am 01.01.2015 30 Jahre alt und möchte eine Wohnung verkaufen. Es gehen die dreifolgenden Angebote ein.
1. Anzahlung von 60.000€ am 01.01.2015. Dann ab dem 01.01.2018 zwanzig jährliche Zahlungen. Zunächst 12 mal 20.000€/Jahr und anschließend 8 mal 16.000€/Jahr.
2. Am 01.01.2016 eine Zahlung von 80.000€, am 01.01.2018 weitere 100.000€ und am 01.01.2021 eine dritte Zahlung von weiteren 100.000€.
3. Anzahlung von 50.000€ am 01.01.2015 und ab dem 01.01.2017 eine jährliche Rente von 15.000€/Jahr, die bis an Ihr Lebensende ausgezahlt wird.
Wie alt muss Frau Maier mindestens werden, damit für Sie das Angebot 3 am besten ist? Es gelte ein durchgängiger Kalkulationszinssatz von 8% p.a. Zinszuschlagstermin ist jeweils der 01.01. um 0 Uhr.
Die ersten beiden Varianten habe ich jeweils auf den 1.1.2038 aufgezinst, aber bei Variante drei verzweifle ich. Ich habe nur die Lösung für die Aufgabe und dort steht lediglich das Ergebnis und das es keine ewige Rente sei. Kann mir hier vielleicht weiterhelfen?
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7144
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.1, eingetragen 2015-02-12
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Kennst Du die Summenformel für endliche geometrische Reihen?
Mit dieser Formel kannst Du den Wert der Rente in Abhängigkeit von ihrer Restlaufzeit berechnen.
Eine Berechnung der Werte zum 1.1.2017 könnte die Rechnung etwas vereinfachen, weil Du dann nicht überlegen musst, wie das Ergebnis der Summenformel auf-/abgezinst werden muss.
Kitaktus
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questionable
Junior
Dabei seit: 30.01.2015
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-02-12
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Vielen Dank für den Tipp, aber die kenne ich leider nicht.
Habe aus deiner Antwort aber vielleicht eine andere Möglichkeit herauslesen können. Wenn ich die Werte für Variante 1 und 2 auf den 1.1.2017 beziehe und dann die 50000.00€ aus Variante 3 auf den 1.1.2017 aufzinse könnte ich doch den höheren Wert aus Variante 1 oder eben 2 gegenrechnen und damit dann die Laufzeit der Rente für den sich ergebenen Wert (quasi Barwert der Rente) bei 15.000€ berechnen. So würde ich ja irgendwann den fiktiven Rentenbarwert aufgebraucht haben und wenn ich den Zeitpunkt dann überschreite, lohnt sich Variante 3 oder nicht?
Ich probiere mal, ob ich so auf die richtige Lösung komme. Danke nochmal! :-D
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7144
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-02-12
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Ja, so müsste man auch ans Ziel kommen. Man muss halt für alle Zwischenjahre den "Restwert" berechnen.
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questionable
Junior
Dabei seit: 30.01.2015
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-02-12
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Also ich komme hier nicht richtig weiter, aber vom Gedanken her hätte ich den höheren Wert von Variante 1 oder 2 zum 1.1.17 minus den aufgezinsten Wert von 50.000 aus Variante 3 in diese Formel eingesetzt:
R=r*q^-(n-1)*(q^n-1)/(q-1)
Das ist die Formel für den vorschüssigen Rentenbarwert, da sich ja die Werte auf den 1.1.17 beziehen und dort auch die erste Zahlung erfolgen soll. Wenn man alle Werte bis auf n einsetzt, kann der TR ja den Rest übernehmen, aber ich bin dennoch nicht annähernd aufs richtige Ergebnis gekommen. Die Rechnung ist leider sehr sehr lang und ich schreibe schon morgen Klausur, daher weiß ich nicht, inwiefern es sinnvoll ist, dass hier noch alles aufzuschreiben und ob sich noch jemand damit befasst.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7144
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.5, eingetragen 2015-02-13
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Ich arbeite mal nur mit Vorschlag 2, den Wert von Vorschlag 1 auszurechnen, spare ich mir.
Mit q=1,08 beträgt der Barwert von Vorschlag 2 zum 1.1.2017:
80.000*q^(+1)+100.000*q^(-1)+100.000*q^(-4) = 252.495,58.
Der Barwert von Vorschlag 3 beträgt zum 1.1.2017:
50.000*q^(+2)+15.000*(q^(0)+q^(-1)+q^(-2)+...+q^(-(N-1))),
wenn die Rente über N Jahre ausbezahlt wird (also bis zum Jahr 2016+N). Der Term in der Klammer ist eine geometrische Reihe und hat die Summe S=(q-q^(-(N-1)))/(q-1). Bei näherer Betrachtung ist das genau der Faktor, der bei Dir hinter r steht. Wir sind also beide auf dem richtigen Weg.
Jetzt vergleichen wir Vorschlag 2 und 3 und fragen uns, für welche N ist Vorschlag 3 mehr wert als Vorschlag 2:
50.000*q^(+2)+15.000*(q-q^(-(N-1)))/(q-1) > 252.495,58
58.320+15.000*(q-q^(-(N-1)))/(q-1) > 252.495,58
15.000*(q-q^(-(N-1)))/(q-1) > 194.175,58 \(\*\)
(q-q^(-(N-1)))/(q-1) > 12.94503867
(q-q^(-(N-1)))/0,08 > 12.94503867
q-q^(-(N-1)) > 1.035603093
1.08-q^(-(N-1)) > 1.035603093
0.04439690667 > q^(-(N-1))
log(0.04439690667) > -(N-1)*log(q)
log(0.04439690667)/log(q) > -(N-1)
-40.47>-(N-1)
(N-1)>40.47
N>41.47
N>=42 \(da Auszahlungen nur nach vollen Jahren stattfinden\).
Frau Maier muss den 1.1.2058 erleben, damit Vorschlag 3 besser ist. Sie ist dann 73 Jahre alt.
Statt die Umformungen durchzuführen, kann man in \(\*\) auch einfach so lange immer größere N einsetzen, bis die linke Seite größer ist, als die rechte.
Kitaktus
PS: Wenn ich mich nicht vertan habe, überholt Vorschlag 3 nach weiteren 11 Jahren auch Vorschlag 1. Frau Maier ist dann 84.
PPS: Der Kalkulationszins erscheint mir doch ziemlich hoch gegriffen. Ich wage doch sehr zu bezweifeln, dass Frau Maier in der Lage wäre, ihren Ertrag aus Vorschlag 2 über 40 Jahre hinweg so hoch verzinst zu bekommen (zumal auf diese Erträge auch Steuern anfallen).
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