| |
| Autor |
 Zahl gleich Quadrat der Quersumme |
|
Ankh
Junior 
Dabei seit: 28.02.2004
Mitteilungen: 13
Wohnort: Wollershausen
 |  Themenstart: 2004-05-17
|
Moin.
Ich wuste nicht genau wohin damit, deshalb schreib ich es mal hier rein.
#a) Man bestimme alle positiven ganzen Dezimalzahlen, die gleich dem Quadrat ihrer Quersumme sind.
#b) Ergebnisse und Beweise von a) sind auf g-adische Darstellungen zu übertragen.
#zu a) habe ich schon mal folgendes.
#eine Zahl (n) im Dezimalsystem ist ja definiert durch :
sum(a_\nue*10,\nue=0,\inf) #und die Quersumme (Q_n)durch
sum(a_\nue,\nue=0,\inf)
#also ist gesuch
sum(a_\nue*10,\nue=0,\inf) = sum(a_\nue,\nue=0,\inf)^2
#Da ich für o.a. Formel keine Lösungsansatz habe, habe ich ersteinmal eine Abschätzung gemacht.
#Die Zahl ist k-stellig.
=> Q_n <=9*k und n<10^k
=> Q_n^2 <= (9*k)^2
#Da diese Ungleichung nur für k<=3 erfüllt ist, kann man alle Zahlen die mehr als 5 Stellen haben ja ausschließen.
#Also ist n <= 729
#Weiter habe ich mir folgendes Überlegt :
\boxon\light\Größtest Q_n für n<= 729 ist Q_n(699)=24; 24^2 = 576
\boxon\light\Größtest Q_n für n<= 576 ist Q_n(499)=22; 22^2 = 484
\boxon\light\Größtest Q_n für n<= 484 ist Q_n(399)=24; 21^2 = 441
\boxon\light\Größtest Q_n für n<= 399 ist Q_n(399)=21; 21^2 = 441
=> Größtmögliche Q_n = 21 => n<= 441
\boxoff
#Für den Fall das obige Überlegung nicht funktionieren sollte ist die weitere Vorgehensweise gleich, außer das man bis 36 gehen muß.
#Ich habe von den Zahlen 1 - 21 das Quadrat gebildet und dann geguckt bei welchen die Quersumme des Quadrates gleich der Zahl ist, und dies ist nur bei 9 der Fall.
#=> Nur bei n=81 ist Das Quadrat der Quersumme gleich der Zahl. Und natürlich bei 1
#Für den Fall das mein Lösungsweg richtig sein sollte, wäre ich natürlich froh, nur leider bringt mich das bei Aufgabe b), der Übertragung auf die g-adische Darstellung nciht würklich weiter.
#Bin für jeden Tip dankbar.
\breakalign
Gruß
Ankh
[ Nachricht wurde editiert von Ankh am 2004-05-17 08:19 ]
[ Nachricht wurde editiert von Ankh am 2004-05-17 08:20 ]
[ Nachricht wurde editiert von Ankh am 2004-05-17 14:23 ]
[ Nachricht wurde editiert von Ankh am 2004-05-17 14:23 ]
|
 Profil
|
Rebecca
Senior 
Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6459
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-05-17
|
Hi Ankh,
In deinem 1. Ansatz hast du einen Fehler drin:
Eine k-stellige Zahl n im Dezimalsystem ist definiert durch :
sum(a_\nue*10^\nue,\nue=0,k-1)
Und in deinem 2. Ansatz ist die Abschätzung nicht scharf genug.
Ich mach das mal für das Dezimalsystem:
Ist n eine k-stellige natürliche Zahlund Q_n die Quersumme von n, dann gilt die Abschätzung
10^(k-1)<=n=Q_n^2<=(9*k)^2
Bereits für k>=5 ist das nicht mehr erfüllt.
Für k=4 ist Q_n^2<=36^2=1296
Wegen der Forderung n=Q_n^2 müssen nur alle Quadratzahlen von 0 bis 36 untersucht werden.
Und da bleiben nur 0, 1 und 81 übrig.
Diese Abschätzung kann man doch auch auf g-adische Systeme übertragen: aus 10 wird g und aus 9 wird g-1
Gruß
Rebecca
|
Profil
|
Ankh
Junior
Dabei seit: 28.02.2004
Mitteilungen: 13
Wohnort: Wollershausen
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-18
|
Das hilft mir schon mal weiter. Danke.
Hatte auch nen kleinen Fehler, das sollte eigentlich k statt Eunendlich heißen, aber k-1 ist natürlich richtig, ich fange ja bei 0 an ;)
Gruß
Ankh
|
Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Dipol1912
Neu 
Dabei seit: 13.05.2023
Mitteilungen: 1
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-10
|
In jedem Zahlensystem zur Basis p entspricht das Quadrat der Quersumme der Zahl mit den Ziffern p-2,1 der Zahl selbst. Im Dezimalsystem ist es die einzig Zahl, die diese Bedingung erfüllt. Ich gehe davon aus, dass das auch in allen anderen Zahlensystem der Fall ist, hab das aber noch nicht beweisen können.
Grüße
Dipol1912
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-10
|
Hallo Dipol1912,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Auf jeden Fall ist in jedem Stellenwertsystem zur Basis g das Quadrat der Quersumme von 1 gleich 1.
Außerdem ist, wie du erwähntest, das Quadrat der Quersumme von \(n = [g-2,1]_g\) gleich \((g-2 + 1)^2 = g(g - 2) + 1 = n\).
Hast du den Beitrag von Rebecca gelesen? Damit das Quadrat der Quersumme von n im Stellenwertsystem zur Basis g gleich n ist, muss
\[g^{k-1}\leq ((g-1)k)^2\]
gelten.
Die Fälle, wo dieses erfüllt ist (das sind nicht allzu viele), müssen nun wohl gesondert betrachtet werden.
|
Profil
|
Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7234
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-13
|
Für zweistellige Zahlen gibt es eine Lösungsfamilien.
Sei $g$ die Basis des Stellenwertsystems und $[a,b]_g$ eine zweistellige Zahl in diesem System.
Es gilt unter anderem(!) $[a,b]_g=(a+b)^2$, wenn
1) $a=1$, $g=b^2+b+1$
2) $a=2$, $g=\frac{b^2+3b+4}{2}$
3) $a=b-1$, $g=4b-1$
4) $a=b$, $g=4b-1$
5) $a=\frac{b^2-b}{2}$, $g=\frac{b^2+3b+4}{2}$
6) $a=b^2-b$, $g=b^2+b+1$.
_Alle_ zweistelligen Lösungen lassen sich folgendermaßen finden:
Entweder ist $b=1$, $a\in\IN^+$ - beliebig und $g=a+2$ (bekannt aus #3).
Oder man kann folgendermaßen vorgehen
1) Wähle $b\in\IN, b\geq 2$ beliebig.
2) Wähle für $a$ einen beliebigen natürlichen Teiler von $b^2-b$. Die oberen sechs Beispiele sind die (nicht unbedingt verschiedenene) Teiler, die $b^2-b$ auf jeden Fall hat.
3) Setze $g=\frac{b^2-b}{a}+a+2b$.
Damit ist gesichert, dass $a>0$ und $g>a,b$ gilt.
Man rechnet leicht nach, dass $ag+b = \frac{b^2-b}{a}\cdot a+a^2+2ab +b = b^2-b+a^2+2ab +b =(a+b)^2$ gilt.
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
2023-09-23 02:00 U P <
2023-09-22 22:09 U ?
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
