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Universität/Hochschule J Grundlegende Fragen zu Differentialgleichungen
Kobi
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.10.2013
Mitteilungen: 134
  Themenstart: 2015-05-01

Hallo zusammen, ich beschäftige mich seit kurzem mit dem Thema Differentialgleichungen. Ich bin mir noch recht unsicher in der Thematik, Daher möchte ich zu zwei Aufgaben meine Lösungen zur Diskussion stellen :) 1) Ein Tank fasst 1000 Liter Wasser. Anfänglich sind 50kg Salz darin gelöst. Pro Minute fließen 2 Liter der Salzlösung ab und 2 Liter reines Wasser laufen zu, die sich sofort und vollständig mit der vorhandenen Salzlösung vermischen. Wieviel Kilogramm Salz sind t Minuten nach Beginn noch im Tank? \ Meine Lösung: y' = -(50-t)/1000 * y, also dt/dy = -(50-t)/1000 * y <=> -1000/(50-t) dt = y dy Integrieren liefert: 1000 ln(50-t) = 1/2 y^2 + c => y = sqrt(2000*ln(50-t) + c) \ 2) Stellen Sie zu folgender gew. Diferentialgleichung das äquivalente System erster Ordnung auf: y'' = 1/2 y^2 + 7x Meine Lösung: (y; y')' = (y'; y'') = (y'; 1/2 * y^2 + 7x) Umbenennen liefert: (y_0; y_1)' = (y_1; 1/2 * y_0 + 7x) Ich hab das Thema mit diesen äquivalenten Systemen in der Vorlesung nicht verstanden. Habe mir dann ein Video auf Youtube angesehen, wo es sehr einfach erklärt wurde. Wie ich das dort verstanden habe: Bei einer Diffgleichung n-ten Grades nehme ich einen Vektor mit n Komponenten bestehend aus y, y', ..., y^(n-1) und leite diesen ab. Damit werden die Einträge zu y', y'', ... , y^(n) . Für den letzten Eintrag setze ich dann meine gegebene Diffgleichung (ggf. nach y^(n) umgestellt) ein. Und damit es hübscher aussieht und ich nur n Funktionen und deren erste Ableitungen habe nenne ich die Sachen noch um. Quasi wie ein einfaches Backrezept immer gleich. Habe ich das richtig verstanden und damit die Aufgabe richtig gelöst? Viele Grüße, Kobi


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2015-05-01

Hallo Die erste kann so nicht stimmen. Was würde bei deiner Lösung nach 50 min passieren? mfgMrBean


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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9658
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.2, eingetragen 2015-05-01

Hallo, das zweite ist im Prinzip richtig, es fehlt aber das Quadrat. Wally


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Kobi
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.10.2013
Mitteilungen: 134
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-01

Hallo, vielen Dank für eure Antworten! Ja das stimmt. Bei der 2) habe ich das Quadrat vergessen hinzuschreiben. Bei der 1) macht meine Lösung in der Tat keine Sinn, da dann das ganze Salz nach 50 min raus wäre, was natürlich nie passiert. Eigentlich müsste das ganze einen exponentiellen Abfall haben. Sowas wie \ y = 50*e^(at), a < 0 Ich grübel aber noch über das a, hier habe ich keine Idee. Außerdem müsste ich das ganze auch irgednwie als Differentialgleichung formulieren und dann durch lösen dahin kommen - sonst passt es ja nicht zur Vorlesung :) Aber ich sehe irgednwie keinen Ansatz. Kann jemand helfen? MfG Kobi


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Ex_Senior
  Beitrag No.4, eingetragen 2015-05-01

Hallo Ich hätte es angesetzt y'=-2*y/1000 mfgMrBean


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Kobi
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.10.2013
Mitteilungen: 134
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-02

Ok, das klingt logisch! Vielen Dank :)


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Kobi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kobi hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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