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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Substitution exp(mx) und Diskriminante bei komplexen Koeffizienten
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Universität/Hochschule Substitution exp(mx) und Diskriminante bei komplexen Koeffizienten
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2015-05-03

$Standardform: ay'' + by' + cy = 0 $ $Substitution: e^{mx}$ Es gibt nun 3 Faelle, die ich mit einer Diskriminante unterscheiden kann: m1 und m2 real und unterschiedlich $b^2 - 4ac > 0$ m1 und m2 real und gleich $b^2 - 4ac = 0$ m1 und m2 konjugiert komplexe Zahlen $b^2 - 4ac < 0$ Jetzt habe ich jedoch folgende Helmholtz-Gleichung im Eindimensionalen: $-\frac{d^2 E(z)}{dz^2} + j\omega\mu\sigma E(z) = 0$ bei welcher $ a = -1 b = 0 c = j\omega\mu\sigma$ ist. Da man komplexe Zahlen ja nicht anordnen kann wuerde ich gerne wissen in welchen Grenzen die Diskriminante dann noch gilt, oder anwendbar ist?


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-05-03

Hi Starhowl, es handelt sich nicht um eine Substitution, sondern um einen Ansatz. Dieser wird in die DGL eingesetzt. Das Ziel ist, die möglichen Werte von m zu bestimmen. Du hast nicht angegeben, was deine Frage ist. Gruß Buri


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-03

Die Frage war unvollstaendig und ist nun editiert.


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-05-03

\quoteon(2015-05-03 10:39 - Starhowl im Themenstart) ... in welchen Grenzen die Diskriminante dann noch gilt, oder anwendbar ist? \quoteoff Hi Starhowl, die Diskriminante ist dann eine komplexe Zahl, die natürlich auch reell sein kann. Sie tritt in der p-q-Formel, die auch im Komplexen anwendbar ist, unter der Wurzel auf. m1 und m2 sind ebenfalls komplexe Zahlen. Eine Fallunterscheidung, die ähnlich zu der im Reellen ist, gibt es bei komplexen Koeffizienten nicht. Trotzdem kann es natürlich Spezialfälle geben, in denen die Lösung irgendwie einfacher aussieht als im allgemeinen Fall, dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Diskriminante reell ist. Gruß Buri


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-03

Und woher weiss ich dann wie ich meine allgemeine Loesung aufstelle wenn ich keine Diskriminante zur Beurteilung der Form habe im komplexen Fall der Helmholtz-Gleichung?


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Buri
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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-05-03

\quoteon(2015-05-03 11:33 - Starhowl in Beitrag No. 4) Und woher weiss ich dann wie ich meine allgemeine Loesung aufstelle ...? \quoteoff Hi Starhowl, die allgemeine Lösung wird genau so aufgestellt wie im Reellen. Im komplexen Fall gibt es nichts zu "beurteilen". Man rechnet m1 und m2 mit Hilfe der charakteristischen Gleichung aus, das ist eine quadratische Gleichung für m. Gruß Buri


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