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Physik » Relativitätstheorie » Lorentztransformation für Skalare, wie sieht sie aus?
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Universität/Hochschule Lorentztransformation für Skalare, wie sieht sie aus?
Torsten_W
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-05-18



Hi,
ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, es geht um die Lorentztransformation. Genauer um ihre Darstellung oder formale, stringente Anwendung auf ein Beispiel.

Ausgangspunkt ist meine Vorstellung von Transformationen aus der linearen Algebra. Wenn ich dort eine Basistransformation T mache, dann transformiere ich Matritzen/lineare Abbildungen wie folgt:
<math>M"=TMT^{-1}</math>
und Vektoren
<math>x"=Tx</math>.

Ich versuche die Vorstellung nun auf die Lorentztransformation im Minkowskiraum zu übertragen, bzw. eigentlich versuche ich die physikalische Konzeption einer allgemeinen Lorentztransformation (d.h. einer relativisch korrekten Transformation zwischen Inertialsystemen) formal aufzuschreiben. Hierbei scheitere ich aber bei den Skalaren.

zunächst mal gehe ich von folgendem aus: Vektoren des Minkowskiraumes werden, wie oben transformiert (wobei L jetzt die Lorentztransformation ist):
<math>x" = L x</math>,
beliebige Operatoren die auf Vektoren wirken werden auch wie oben transformiert:
<math>O" = L O L^{-1}</math>.

Es gibt nun aber auch die sogenannten Lorentzskalare, die tatsächlich skalare Größen sind und man sagt sie bleiben Invariant unter Lorentztransformationen. Typischerweise hat man irgendein Pseudoskalarprodukt und kann durch umformen Zeigen, dass die transformierten Vektoren das gleiche Skalar liefern wie die Untransformierten:
<math>a"^{\mu}b"_{\mu} = L^{\mu}_{\,\,\nu} a^{\nu} L_{\mu}^{\,\,\,\nu}b_{\nu} = L^{\mu}_{\,\,\nu} a^{\nu} (L^{-1})_{\,\,\mu}^{\nu}b_{\nu} = a^{\nu} b_{\nu}</math>

Das macht zwar plausibel, dass Lorentzskalare Invariant sind unter Lorentztransformationen, aber ich habe den Eindruck, dass das nicht die ganze Wahrheit ist. Kann ich hier nicht auch irgnedeinen Skalaroperator auf das Skalar anwenden? Also irgendwie sowas:

<math>L (a^{\nu} b_{\nu}) = a"^{\nu} b"_{\nu}</math>


Wie ich darauf komme sieht man bei folgendem Beispiel.
Es ist zu zeigen, dass die Klein-Gordon-Gleichung invariant unter Lorentztransformationen ist:

<math>(-\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2)\Psi(x,t) = m^2 \Psi(x,t)</math>

Es gibt noch eine andere Darstellung der Gleichung, in Viererschreibweise:
<math>-(\hat{p}^\mu \hat{p}_\mu - m^2c^2)\Psi(x,t)</math>

die typische Weise zu zeigen das die Gleichung Lorentzinvariant ist, ist zu Zeigen, dass <math>\hat{p}^{"\mu} \hat{p}_{"\mu} = \hat{p}^{\mu} \hat{p}_{\mu}</math> und zu fordern!, dass <math>\Psi"(x") = \Psi(x)</math>

Gerade die letzte Forderung macht mir Verständnisprobleme, anschauchlich ist klar was sie bedeutet, nämlich, dass die transformierte Wellenfunktion am transformiertem Ort (Ereignis im Minkowskiraum) identisch ist mit der Untransformierten Wellenfunktion am untransformiertem Ort.

Aber was genau ist denn die transformierte Wellenfunktion?

Wie muss ich mir das Vorstellen?

Die Wellenfunktion ist ja eine skalarwertige Funktion, jetzt einfach zu konstatieren, dass skalare Lorentzinvariant sind hilft mir nicht, ich will das direkt zeigen indem ich irgendeinen Operator oder sowas auf die untransformierte Funktion anwende und dann die transformierte erhalten:

<math>L\Psi = \Psi"</math>

ICh hoffe ich konnte mein Problem deutlich machen, falls hier ein Grundlegendes Verständnisproblem vorliegt würde ich dass natürlich auch gerne wissen.



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ElMachete
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-05-19


Die gesuchte Transformation für skalarwertige Funktionen ist definiert über <math>(\rho(L)\psi)(x)=\psi(L^{-1}x)</math>. Mathematisch gesehen ist das eine Darstellung der Lorentzgruppe. (Solche Transformationen solltest Du schon in der QM gesehen haben.)



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Torsten_W
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-05-19


Leider hatte ich so was in keiner Vorlesung. Was genau für eine Darstellung ist denn das? Kann ich mich dem Thema irgendwie nähern und mich irgendwo einlesen wo ich dieses konkrete Beispiel erst mal etwas erläutert bekomme oder muss ich dazu zwangsweise ein Skript zur Darstellungstheorie durcharbeiten?
Ich meine das Thema interessiert mich schon aber ich würde gerne erst mal diese Fragestellung klären um das etwas aufzulockern.



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Max_Cohen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2015-05-20


Viel zu erläutern gibt es da erstmal nicht; es ist das einzig natürliche, das man tun kann; du kannst dich natürlich noch davon überzeugen, dass es eine Darstellung ist. Gesehen hast du es im Zusammenhang mit Drehungen in der QM, denn wie sonst soll SO(3) auf Wellenfunktionen wirken?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2015-05-20


Hi Torsten_W,
zur Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe siehe hier.
Für die Lorentzgruppe sind die eindimensionalen Darstellungen, um die es hier geht, vom Typ (0,0).

Es gibt außer der trivialen Darstellung ρ(L) = 1 (Bezeichnung wie im Beitrag #1) noch die Darstellung ρ(L) = ±1, die für Lorentztransformationen mit Zeitumkehr den Wert -1 ergibt.

Die Skalare, die der trivialen Darstellung entsprechen, heißen einfach Skalare, das heißt, sie transformieren sich überhaupt nicht.
Die Skalare, die zu der anderen Darstellung gehören, heißen Pseudoskalare. Sie ändern sich bei eigentlichen Lorentztransformationen nicht, und ändern ihr Vorzeichen bei Lorentztransformationen mit Zeitumkehr.
Gruß Buri



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