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Analysis » Differentialgeometrie » Isometrien als Untermannigfaltigkeit von U(n)
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Universität/Hochschule J Isometrien als Untermannigfaltigkeit von U(n)
physicus_ralf
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.06.2015
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2015-06-08

Hallo zusammen! Ich möchte gerne zeigen, dass die Menge aller (linearen) Isometrien von $ \mathbb{C}^m$ nach $ \mathbb{C}^n $, wobei $ n\geqslant m $, die Struktur einer glatten Manigfaltigkeit über $ \mathbb{R}$ hat mit (reeller) Dimension $2nm-m^2$. Hat jemand eine Idee, wie man das elegant beweisen kann? Die Cayley Transformation, welche man benutzen kann, um zu zeigen, dass U(n) eine glatte Manigfaltigkeit ist, scheint mir in dem Fall $ n> m $ nicht hilfreich zu sein. Und der Beweis über den "Satz über implizite Funktionen" scheint mir auch recht umständlich zu sein. Deshalb wäre ich sehr froh, falls ihr mir einen Tipp geben könntet! Schon mal ganz herzlichen Dank im Voraus! Beste Grüsse, Ralf PS: Ich hoffe, dass die Frage in der richtigen Kategorie gelandet ist...

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Martin_Infinite
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Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
  Beitrag No.1, eingetragen 2015-06-09

Hallo. Das ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit $V_m(\mathds{C}^n)$. Die Struktur einer Mannigfaltigkeit bekommt man zum Beispiel mit $V_m(\mathds{C}^n) \cong U(n) / U(n-m)$ und Theorem 2.1.1 hier. Alternativ kann man $V_m(\mathds{C}^m)$ als Untermannigfaltigkeit von $\mathds{C}^{m \times n}$ mit dem Satz vom regulären Wert realisieren, siehe Abschnitt 3.2 hier. [Verschoben aus Forum 'Vektorräume' in Forum 'Differentialtopo/-geometrie' von Martin_Infinite]

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physicus_ralf
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.06.2015
Mitteilungen: 2
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-10

Hallo Martin Ganz herzlichen Dank für deine hilfreiche und ausführliche Antwort! Das hat mir viel geholfen! Beste Grüsse, Ralf

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physicus_ralf hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
physicus_ralf hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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