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| Autor |
  n^13 kongruent zu n mod p |
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asdJani
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.11.2003
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Wohnort: Rheinland-Pfalz
 |  Themenstart: 2004-05-23
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Hallo,
bei folgender Aufgabe finde ich keine Lösung:
Zeige, dass für alle n\el\ \IZ die Kongruenz (n^13 kongruent zu n mod p) für p = 2, 3, 5, 7 und 13 erfüllt ist.
Folgere daraus, dass n^13 den selben Rest modulo 2730 hat wie n.
Hoffe mir kann jemand dabei helfen...
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-05-23
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Hallo, es soll n^13=n mod p sein, d.h. n^13-n= 0 mod p.
Betrachte mal dazu den Term T(n)=n^13-n=n*(n^12-1) und faktorisiere ihn.
Viele Grüße, Sonnhard.
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asdJani
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.11.2003
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-23
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Auf den Term T(n) bin ich auch schon gekommen, aber ich weiß nicht, wie ich das dann faktorisieren soll. Weil diese Zahlen doch für jedes n anders aussehen...
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2004-05-23
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Hallo , n*(n^12-1)=n*((n^3)^4-1)=n*((n^3)^2+1)*((n^3)^2-1).
Kommst du nun weiter?
Viele Grüße, Sonnhard.
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asdJani
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-23
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Das kann ich dann analog umformen zu:
n*((n^3)^2+1)*((n^3)^2-1)= n*((n^3)^2+1)*(n^3+1)*(n^3-1)
Aber das einzige was ich daran erkennen kann ist, dass der Term durch 3 teilbar sein muss.
Viele Grüße, Jani
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2004-05-23
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Hallo, ja, aber die einzelnen Faktoren lassen sich weiter zerlegen:
n^3-1=(n-1)*(n^2+n+1)
n^3+1=(n+1)*(n^2-n+1)
n^6+1=(n^2+1)*(n^4-n^2+1)
Damit müßtest du nun weiterkommen.
Viele Grüße, Sonnhard.
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asdJani
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-23
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Ok, dann erhalte ich für T(n):
T(n) = n*(n^2+1)*(n^4-n^2+1)*(n+1)*(n^2-n+1)*(n-1)*(n^2+n+1) und dann ist immer einer dieser Faktoren durch p teilbar.
Hab das jetzt für 2, 3, 5 und 7 gemacht. Gibt es da einen kürzeren Weg, das zu zeigen, als jeden Fall zu betrachten? Dann müsste ich ja für p=13 13 Fälle unterscheiden (n mod 13 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 10, 11, 12 und 13)
Der zweite Teil der Aufgabe ist klar, da 2730 = 2*3*5*7*13 ist.
Danke auf jeden Fall schon einmal.
Viele Grüße, Janina
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JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
Mitteilungen: 2146
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 |  Beitrag No.7, eingetragen 2004-05-23
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Hi Janina,
darfst du den Kleinen Fermat verwenden?
Gruß, Heinz
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asdJani
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-23
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Hallo John Doe,
den kleinen Fermat hatten wir letztes Mal in der Vorlesung.
Er lautet doch:
a^(p-1) = 1 mod p für alle a mit ggT(a,p) = 1
Bewiesen haben wir den jedoch (noch?) nicht. War das letzte was wir gemacht haben.
Was hilft mir das denn bei dieser Aufgabe?
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JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
Mitteilungen: 2146
Wohnort: Tirol
| Beitrag No.9, eingetragen 2004-05-24
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Hi Janina,
z.B. für p=5 ist dann n^4=1 mod 5 , also
n^13=(n^4)^3*n=1*n mod 5 falls ggT(n,5)=1.
Im Fall n=0 mod 5 gilt natürlich auch n^13=0=n mod 5.
Analog kannst du für p=2,3,7,13 argumentieren.
Gruß, Heinz
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asdJani
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-25
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stimmt, so geht es schneller.
Danke:-)
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asdJani hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
asdJani hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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