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Schulmathematik » Integralrechnung » Analysis Klasse 13 Produktintegration
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Schule J Analysis Klasse 13 Produktintegration
nebula74656
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.10.2002
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-10-19


ich brauche Hilfe bei Aufgabe c. Kann das jemand mit Rechenweg. Ich schreibe Montag Klausur.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=xe^1-x.

a) Zeichne das Schubild von f für 0,5£x£

b) Das Schubild von f teilt das Quadrat O (0/0), A (1/0), B (1/1), C (0/1), in zwei Teilflächen. In welchem Verhältnis stehen die Inhalte dieser Teilflächen?

c) Das Schubild von f, die y-Achse und die Wendetangente begrenzen eine Fläche. Berechen ihren Inhalt.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-19


Hallo!
Ich bearbeite die Integration:

Produktintegration:
ò g' · h = g · h - ò g · h'.

Man setze (hier):
h = x => h' = 1
und
g' = e1 - x
zur Integration dieser Fkt. verwenden wir die Int.-Regel:
òf(ax+b) dx = 1/a · F(ax+b).
(eine "spezielle" Subtitutionsregel)
=> g = 1/(-1) · e1 - x.
=> g = -e1 - x
Also:
g' = e1 - x => g = -e1 - x
h = x => h' = 1
Nun zur Integration:
ò g' · h = g · h - ò g · h'
òe1 - x · x dx = -e1 - x · x - ò-e1 - x · 1 dx
òe1 - x · x dx= -e1 -x · x - (-e1 - x).
Zusammengefaßt:
òe1 - x · x dx = (1 - x) · e1 - x
 
M f G



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-19



PS: Was ist ein "Schubild" ?



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matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
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Aus: Solingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2002-10-19


Hi nebula,

für c.:

berechne die zweite Ableitung und suche die Wendestelle. Du findest x=2.
Berechne dann die Geradengleichung g für die Tangente im Wendepunkt (die Wendetangente). Du findest: g(x) = -1/e*x + 4/e

Die gesuchte Fläche ist die Fläche unter der Wendetangente minus der Fläche unter f(x) im Intervall [0,2].

Schaubild:
Schaubild Funktion mit Wendetangente

@cis: warum hast Du das denn gerechnet? Das braucht man doch nicht.

Gruß
Matroid



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nebula74656
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.10.2002
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-20


Also ich habe da jetzt für den wendepunkt (2/0,74) raus.
Aber wie soll ich denn da die genannte g(x) = -1/e*x + 4/e ,

also die Geradengleichung rausbekommen?

Ich kenne doch nur so Geradengleichnungen wie ax+bx+c und das kann ja nichts mit der, die du gennant hast zu tun haben. Muss ichda wieder die erste Ableitung nehmen, da das ja die Steigung der Tangente bestimmt?



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matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2002-10-20


Der Wendepunkt ist (2,2/e).

Das ist die genauest mögliche Angabe. e ist die Eulersche Zahl = e1.
Die Gerade geht durch (2,2/e) und hat die Steigung -1/e.
Die allg. Geradengleichung ist g(x) = mx+b. Die Steigung ist bekannt (m=-1/e) und ein weiterer Punkt ist bekannt (2,2/e).
Einsetzen von m=-1/e und g(x) = 2/e in die allg. Geradengleichung liefert:

  -1/e*x + b = 4/e.

Es folgt, daß b = 4/e.
Da ist also kein Geheimnis.
Auf diese Art, mit e statt einer (ungenauen) Näherung bekommst Du das genaueste Ergebnis für die Flächen.

Gruß
Matroid



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2002-10-20


> @cis: warum hast Du das denn gerechnet? Das braucht man doch nicht.

--> Oh, ich hab mich nicht durch den Aufgabentext gequält. Ich hatte nur die Überschrift gelesen.
Anwendung dieser Stammfkt. evtl. bei b) ? Falls man die einfachere Lsg. nicht sieht.
M f G



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nebula74656
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-20


Was war denn da falsch? Auch wenn es schon nervt. Du hast da 2,2 und e raus, war denn die Produkregel total daneben, oder was? Habe ich nur nen Rechenfehler.

f(x)= xe^1-x

u=x     u’=1
v=e^1-x    v’=-e^1-x

f’(x) = e^1-x (-x+1)

u = (-x+1)      u’ = -1
v = e^1-x         v’ = -e^1-x

f’’(x) = e^1-x (x-2)

f’’(x) = 0

e^1-x  ungleich 0

-2+x = 0
x = 2



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matroid
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Aus: Solingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2002-10-20


Hi nebula,

ich habe nicht gesagt, daß etwas 'falsch' ist, sondern daß Du 'ungenau' rechnest - also ungenaue Ergebnisse erhältst, wenn Du frühzeitig 1/e durch 2.71 (oder so) ersetzt.

Ja, der Wendepunkt liegt bei x=2.
Der Funktionswert der Funktion bei x=2 ist aber nicht 0.74 sondern genau 2/e = 0.7357588823....

Und dann: Ich schreibe (2,2/e) und verwende das Komma als Trennzeichen bei den Punktkoordinaten. Als Dezimaltrennzeichen verwende ich den Punkt.
(2,2/e) ist der Punkt mit der x-Koordinate 2 und der y-Koordinate 2/e.

Gruß
Matroid




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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2002-10-21


2002-10-20 21:56: matroid schreibt:
> Und dann: Ich schreibe (2,2/e) und verwende das Komma als Trennzeichen bei den Punktkoordinaten. Als Dezimaltrennzeichen verwende ich den Punkt.
> (2,2/e) ist der Punkt mit der x-Koordinate 2 und der y-Koordinate 2/e.


Und genau das ist bei uns nicht üblich! In Deutschland, Frankreich und diversen anderen Ländern verwendet man das Komma als "Dezimaltrennzeichen"!

Also wenn schon (2,2/e), dann wenigsten mit Leerstelle. "(2, 2/e)".
Eigentl. wird das Komma, bei der Trennung von Koordinaten, doch nur verwendet wenn ausschließlich ganze Zahlen vorkommen: (1, 3, 5, 7,...).   



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2002-10-21


Hi Fremder,

was meinst Du, wie oft ich schon (2/3,2) falsch verstanden habe. Der / als Trennzeichen ist an Schulen wohl gebräuchlich. Der . als Dezimaltrennzeichen ist dagegen in allen Programmiersprachen üblich.
Nimm's als Aufklärung, wie ich es jetzt und in Zukunft immer halten werde.

Gruß
Matroid



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nebula74656
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-21


Danke, es kam zum teil dran.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2002-10-23


Hallo!

Ich empfehle den "senkr. Strich ' | ' " zur Trennung von Koordinaten.
"  |  ":  Alt Gr. + < (letzteres Zeichen befindet sich links vom "y").

Also z. B. (x | y) usw.
( So kann " /  " stets "geteilt durch" heißen)

Weiterhin das Komma zur Trennung
-von Dezimalstellen z.B.  p= 3,14...
-u. von Buchstaben z.B. IM = {a, b, c, x, u, v, w}

Kommen in einer Auflistung mehere Kommazahlen vor, ist (neben den Leerstellen) das Semikolon hilfreich: 1,235; 4,5678; 9,1011; 12;... .

M f G 

[ Nachricht wurde editiert von cis am 2002-10-23 02:27 ]



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buh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2002-10-23


Hi@all,
da diverse Programme diverse Tastenbelegungen/-kombinationen unterschiedlich interpretieren (so sind z.B. verschiedene Word-Versionen inkompatibel miteinander (zueinander?)), verwende ich inzwischen durchgängig das Semikolon als Trennzeichen. Das hat sich bewährt.

Gruß von buh



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2002-10-24


Ja, warum nicht.

Für wesentlich halte ich den senkrechten Strich " | " (Alt Gr + <), zur Trennung von Koordinaten.

Anm.: Hierbei nicht zu verwechseln:
In seiner weiteren Bedeutung heißt " | ": "wofür gilt".

M f G



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buh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2002-10-24


"  | ": ...oder auch "Teiler von" bzw. "teilt".

Gruß von buh



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