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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Hinreichende Bedingung für Transitivität einer Gruppenoperation
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Autor
Universität/Hochschule J Hinreichende Bedingung für Transitivität einer Gruppenoperation
th1908
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.10.2003
Mitteilungen: 377
Aus: Gießen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-06-29


Liebe Matheplanetarier,

ich saß gerade ziemlich lange an folgender Aufgabe:



Das Problem dabei war Teil (b), den ich mittlerweile folgendermaßen gelöst habe:
Die Operation hat keine Fixpunkte, denn: Für ein <math>x\in \Omega</math> und zwei andere Elemente <math>y,z\in \Omega</math> gibt es ein <math>g\in G</math>, sodass <math>\{x,y\}^{g}=\{y,z\}</math>, womit <math>gx\neq x</math>. Nehme nun an, dass Operation nicht transitiv ist. Dann gibt es <math>x,y\in \Omega</math> mit <math>gx\neq y</math> für alle <math>g\in G</math>. Wähle nun ein <math>h\in G</math> mit <math>hy\neq y</math> (existiert, da y kein Fixpunkt). Dann gilt für alle <math>g\in G</math>, dass <math>\{x,y\}^{g}\neq\{y,hy\}</math>, da <math>gx\neq y</math> und <math>gx\neq hy</math> (sonst <math>h^{-1}gx=y</math>). Dies steht aber im Widerspruch zu (*).

Geht das auch irgendwie eleganter bzw. kürzer? Oder gibt es nur diesen indirekten Weg mit dem "Fixpunktlemma"?

Liebe Grüße!



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Curufin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.08.2006
Mitteilungen: 1689
Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-07-01


Hallo,

das geht direkt. Seien <math>x,y\in \Omega</math>. Zu zeigen ist, dass ein <math>g\in G</math> existiert, so dass <math>gx=y</math>.
Da <math>|\Omega|\geq 3</math> existiert ein <math>z\in\Omega</math> mit <math>x\neq z\neq y</math>. Nach Voraussetzung existiert nun ein <math>g\in G</math>, so dass <math>\{x,z\}^g=\{y,z\}</math>.
Das heißt also: Entweder <math>x^g=y</math> und <math>z^g=z</math> (und wir sind schon fertig) oder aber <math>x^g=z</math> und <math>z^g=y</math>. Dann ist jedoch <math>x^{g^2}=z^g=y</math> (und wir sind ebenfalls fertig).

Viele Grüße



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th1908
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.10.2003
Mitteilungen: 377
Aus: Gießen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-01


Ah ja, vielen Dank!

Dachte mir schon, dass ich zu kompliziert gedacht hatte...



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