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Mathematik » Finanzmathematik » Komonotone Risikomaße und Choquet-Integral
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Universität/Hochschule Komonotone Risikomaße und Choquet-Integral
April13
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Mitteilungen: 21
  Themenstart: 2015-07-03

Hallo zusammen, ich befasse mich gerade mit dem Kapitel 4.7 "Comonotonic Risk Measures" aus: Föllmer, Hans und Schied, Alexander (2008): Stochastic finance. An introduction in discrete time. Leider stehe ich komplett auf dem Schlauch und verzwifel total an den ersten beiden Beweisen. (1) Lemma Falls $\rho$ ein komonotones, monetäres Risikomaß aus $\mathcal X$ (Vektorraum der beschränkten, messbaren Funktionen) ist, dann ist $\rho$ positiv homogen. Beweis: $(X, X)$ ist ein komonotones Tupel, da $X$ für $X$ keine Hegemöglichkeit beinhaltet. Daher gilt: $\rho(2X) = \rho(X+X) = \rho(X) + \rho(X) = 2 \rho(X)$. Durch Iteration folgt für alle $r \in \mathbb Q, r \ge 0: \rho(rX) = r \rho(X)$. Soweit so gut. Jetzt soll die positive Homogenität durch die Lipschitz-Stetigkeit von $\rho$ bzgl. der Supremumsnorm (Gültigkeit bereits gezeigt) folgen, d.h. $|\rho(X) - \rho(Y)| \le \norm{X - Y}$. Das ist ja jetzt nur noch für alle irrationalen Zahlen, also $t \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$, zu zeigen. Ich hab es versucht mit Dreiecksungleichung und Dichtheitsargument von $\mathbb Q$ in $\mathbb R$, aber ich komme leider nicht weiter. Hat hier evtl jemand eine Idee? (2) Mein zweites Problem liegt in der folgenden Proposition: Das Choquet Integral des Verlusts $\rho(X) = \int (-X) dc$ ist ein monetäres Risikomaß auf $\mathcal X$, das positiv homogen ist. Dabei ist das Choquet Integral wie folgt definiert: $\int X dc = \int_{-\infty} ^0 (c(X >x) - 1) dx + \int_0 ^{\infty} c(X>x) dx$, wobei $c$ eine normalisierte und monotone, festgelegte Funktion ist. Hier habe ich keine Idee, wie ich die positive Homogenität zeigen kann, weil Probleme mit dem Verständnis des Choquet Integrals und daher den anzuwenden "Rechenregeln" habe. Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar! April13

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