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Analysis » Differentialgeometrie » Für geodätisch vollständige kompakte Fläche ist exp_p kein Diffeomorphismus
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Universität/Hochschule J Für geodätisch vollständige kompakte Fläche ist exp_p kein Diffeomorphismus
traveller
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  Themenstart: 2015-07-09

Hallo, Folgende Aufgabe: Eine Fläche M heisst geodätisch vollständig, wenn für jedes p\in\ M die Exponentialabbildung exp_p auf dem ganzen Tangentialraum T_p definiert ist. Beweisen Sie bitte, dass für eine geodätisch vollständige kompakte Fläche die \(auf ganz T_p M definierte) Exponentialabbildung exp_p für kein p\in\ M ein Diffeomorphismus ist. Mein Weg: Angenommen, es existiert ein p\in\ M, für welches exp_p: T_p M->M ein Diffeomorphismus ist. Dann existiert die Umkehrabbildung exp_p ^(-1): M->T_p M und ist ebenfalls stetig. Es ist mit U_0=menge(exp_p (X)|abs(X)<2) U_i=menge(exp_p (X)|2i-1 M ist insbesondere surjektiv, und die U_i sind als Urbilder offener Mengen unter der stetigen Abbildung exp_p ^(-1) ebenfalls offen). Da exp_p: T_p M-> M auch injektiv ist, ist die Einschränkung von exp_p auf T_p M\\ menge(X\in\ T_p M|2i-1

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traveller
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-28

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Gockel
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  Beitrag No.2, eingetragen 2015-07-28

Hi. Es geht doch viel einfacher: $T_p M$ ist homöomorph zu $\IR^n$ und somit nichtkompakt, aber $M$ ist kompakt, also können die beiden nicht homöomorph sein und erst recht nicht diffeomorph, weder durch $\exp_p$ noch irgendeine andere Abbildung. mfg Gockel. [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialtopo/-geometrie' von Gockel]

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