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| Autor |
  Anpassung bei belastetem Spannungsteiler |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2015-09-23
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Hallo,
es geht um einen belasteten Spannungsteiler, bei dem wir den Lastwiderstand so bestimmen sollen, dass die an ihm abgegebene Leistung maximal wird. Wir haben eine entsprechende Platine selbst gelötet und sollen den richtigen Wert für die Anpassung durch Messung des Spannungsfalls am Lastwiderstand und des Stroms, der diesen durchfließt, und anschließender Berechnung der Leistung ermitteln. Die ermittelten Wertepaare sollen dann in ein Diagramm eingetragen werden. Unser Lehrer hat den zu erwartenden Verlauf der Graphen skizziert und dabei für den Graphen der Spannung in Abhängigkeit vom Lastwiderstand und für den Graphen der Stromstärke in Abhängigkeit vom Lastwiderstand lineare Funktionen skizziert.
Nun gilt aber für den belasteten Spannungsteiler mit üblichen Bezeichnungen:
\
U_2 = U_L = U (R_2 \cdot R_L)/(R_1 R_2 + R_1 R_L + R_2 R_L)
D.h. die Funktion \U_2(R_L) ist keine lineare, sondern eine gebrochenrationale Funktion, weswegen bei den Messungen kein linearer Verlauf zu erwarten ist, oder liege ich da falsch?
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11650
Wohnort: Wien
| Beitrag No.1, eingetragen 2015-09-23
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\
Hallo Lux93,
Deine Überlegung ist richtig, Strom und Spannung durch den Lastwiderstand sind nicht linear vom Lastwiderstand abhängig. Das ist ja auch notwendig, um die Randbedingungen
U_2(R_L=0)=0
und
lim(R_L->\inf,U_2(R_L))=U*R_2/(R_1+R_2)
zu erfüllen.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-24
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Hallo,
ja, vielen Dank schonmal dafür. Ich habe jetzt auch mal die Funktion der Stromstärke in Abhängigkeit vom Lastwiderstand ermittelt und daraus dann die Funktion der Leistung berechnet. Mit einem GTR konnte ich allerdings keine lokale Extremstelle ermitteln. Kann das sein oder habe ich da irgendwo einen Fehler gemacht?
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rlk
Senior
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11650
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-09-24
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Hallo Lux93,
die Leistung hat ein globales Maximum, dass Du auch ohne GTR bestimmen kannst. Habt ihr schon Ersatzspannungsquellen besprochen?
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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vGvC
Senior 
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1334
| Beitrag No.4, eingetragen 2015-09-25
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\quoteon(2015-09-24 21:31 - Lux93 in Beitrag No. 2)
...
Ich habe jetzt auch mal die Funktion der Stromstärke in Abhängigkeit vom Lastwiderstand ermittelt und daraus dann die Funktion der Leistung berechnet.
...
\quoteoff
Möglicherweise hast Du dabei einen Fehler gemacht. Du kannst das aber einfacher haben, auch ohne GTR und ohne Ersatzquelle:
$\displaystyle P=\frac{U_L^2}{R_L}$
Nach $R_L$ ableiten (Quotientenregel), Nullsetzen und nach $R_L$ auflösen.
Sofern das Ersatzquellenverfahren schon bekannt ist, ist es damit zwar nicht unbedingt einfacher, aber übersichtlicher.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-25
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Okay, also kann ich dieses globale Maximum trotzdem über die beiden Funktionen bestimmen. Ich werde das am Wochenende nur aus Interesse nochmal nachrechnen. Auf den Ansatz von vGvC hätte ich natürlich auch kommen können. Vielen Dank dafür.
Das angesprochene Ersatzquellenverfahren basiert auf dem Thévenin-Theorem, oder? Ich glaube, dass wir das im Grunde heute gemacht haben..
Ich sollte an dieser Stelle erwähnen, dass das ganze Teil einer Ausbildung ist. Ich werde leider das Gefühl nicht los, dass unser Ausbilder entsprechende Hintergründe selbst nicht so kennt, weil wir noch gar nicht über ideale und reale Spannungsquellen gesprochen haben. Ansonsten kann man das Thévenin-Äquivalent doch nicht wirklich ermitteln und es auch verstehen, oder?
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11650
Wohnort: Wien
| Beitrag No.6, eingetragen 2015-09-25
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Hallo Lux93,
ja, mit der Ersatzspannungsquelle ist gemeint, dass Du die Kombination aus idealer Spannungsquelle und Spannungsteiler durch eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand ersetzen kannst. Das Theorem von Thévenin sagt ja aus, dass diese Umwandlung möglich ist.
Habt ihr die Bedingung für die Leistungsanpassung schon gelernt?
Servus,
Roland
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-25
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Nicht wirklich, wir haben die Messungen an der Platine durchgeführt und hatten dann einen Näherungswert, für den die an der Last umgesetzte Leistung maximal war.. Es hieß dann irgendwie, dass der Lastwiderstand den optimalen Wert hätte, wenn er so groß wäre, wenn der Ersatzwiderstand denselben Wert hätte wie bei Parallelschaltung von den beiden anderen Widerständen. Eine wirkliche Begründung fehlte. Dann kamen auf einmal Leerlaufspannung und Innenwiderstand ohne Erklärung ins Spiel.
Ich habe mir jetzt selber schonmal etwas durchgelesen und will mal prüfen, ob ich das soweit richtig verstanden habe.
Man unterscheidet also ideale und reale Spannungsquellen. Die ideale Spannungsquelle ist eine Modellvorstellung, die unabhängig von ihrer Belastung (dem fließenden Strom) eine konstante Ausgangsspannung liefert. In der Wirklichkeit bestehen Spannungsquellen im Innern jedoch selbst aus widerstandsbehafteten Leitern, weswegen es immer einen Innenwiderstand gibt, der nun zum Begriff der realen Spannungsquelle führt. Wird an eine solche reale Spannungsquelle eine Last angeschlossen, wird diese in Reihe zum Innenwiderstand geschaltet und es fällt nicht nur Spannung am Innenwiderstand ab, was ja der Leerlaufspannung entspricht, sondern auch am Lastwiderstand, was zur Folge hat, dass die Spannung unterhalb des Werts der Leerlaufspannung sinkt. Dieses nichtideale Verhalten kann jedoch durch eine Ersatzschaltung bestehend aus idealer Spannungsquelle und in Reihe geschaltetem Innenwiderstand nachgebildet werden. Nach der Spannungsteilerregel ergibt sich dann für den Spannungsabfall am Lastwiderstand:
\
U_L = U_0 (R_L)/(R_i+R_L)
Für die Bedingung zur Leistungsanpassung, die du ansprichst, gilt:
Für die am Lastwiderstand umgesetzte Leistung gilt:
\
P_L = U_L I_L = U_0 (R_L)/(R_L+R_i) I_L = U_0 (1)/(R_L+R_i) U_L = U_0^2 (R_L)/(R_L+R_i)^2
\
Mit (dP_L)/(dR_L) = 0 folgt R_L^2 + 2 R_2 R_i R_i^2 - 2R_L^2 -2R_L R_i = 0 und damit R_i = R_L
Ich hoffe, ich habe da jetzt zumindest das meiste richtig verstanden. Ich muss mir dann jetzt nur noch Gedanken darüber machen, wie ich das auf beliebige Stromkreise anwenden kann...
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Ex_Senior
| Beitrag No.8, eingetragen 2015-09-25
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Hallo
Bei allgemeinen Stromkreisen ist es doch dasselbe Grundprizip.
Außerdem muss man bei der Funktion nicht unbedingt die Kettenregel verwenden. f(x) hat die selben Extremstellen wie 1/f(x), dadurch kann man sich sehr viel Rechnerei sparen.
mfgMrbean
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Ex_Senior
| Beitrag No.9, eingetragen 2015-09-25
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1/P_L=1/U_0^2*(R_L+2*R_i+R_i^2/R_L)
Duch Ableiten erhält man
1/U_0^2*(1-R_î^2/R_L^2)=0 -> R_i=R_L
Die zweite Ableitung ist stets positiv. Das Reziprok ist minimal, die Leistung maximal. Dadurch spart man sich sehr viel Zeit.
mfgMrBean
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-28
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Okay, jetzt ist alles klar.
Vielen Dank für eure Hilfe !
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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