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Universität/Hochschule Ableitung nach kovariantem Differential
Student42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-02-01


Hallo Forum,

ich habe eine Frage zu folgender Rechnung:

<math>
\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \partial^\mu A^\nu
</math>

Das kann ich jetzt ja auf beiden Seiten mit einer 1 ergänzen. g ist dabei der einfache metrische Tensor (mit 1,-1,-1,-1 auf der Hauptdiagonalen, sonst null) wobei g*g = 1 (Tensor)

<math>
E = \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} g^{\alpha\mu} g_{\mu\alpha} \partial^\alpha g^{\beta\nu} g_{\nu\beta} A^\beta
</math>

Jetzt kann ich ja die Eigenschaft des metrischen Tensors nutzen, dass <math>E = g A^{kontra} = A_{ko}</math> ist. Also:

<math>
E = \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} g^{\alpha\mu} \partial_\mu g^{\beta\nu} A_\nu
</math>

Und wenn ich das Ableite ist das einfach eine 1, also

<math>
E = g^{\nu \mu} g^{\mu \nu}
</math>

Und damit wäre das 1.

Habe ich jetzt gezeigt, dass

<math>
\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \partial^\mu A^\nu = \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \partial_\mu A_\nu
</math>
ist? Ich hätte da eigentlich einen Vorzeichenwechsel erwartet.
Demnach:
Stimmt das so, oder wo habe ich mich verrechnet?



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-02-01


Du bringst die Index ziemlich durcheinander. Wenn du die Indizes von <math>\partial^\mu A^\nu</math> senken willst, solltest du nicht wieder <math>\mu</math> und <math>\nu</math> also Summations-Index benutzen! D.h. konkret <math>\partial^\mu A^\nu = g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} \partial_{\alpha} A_{\beta}</math>.

Desweiteren hast du ein anderes Problem: Normalerweise ist die Konvention so, dass wenn ein (Ko-)Vektor-Index im "Nenner" (einer Ableitung) unten steht, die ganze Ableitung dann ein hochgestellten Index hat (vgl. z.B. <math>\partial_\mu = \partial / \partial x^{\mu}</math>). Das heisst, das was du am Anfang ausrechnen willst, waere von der Form (wie du dann am Ende auch rausbekommst) <math>(...)^{\mu\nu} (...)^{\mu\nu}</math>, was keine sinnvolle Indexstruktur ist.

Kannst du also bitte noch einmal genau die Rechnungen prüfen, die dich zu dem Term <math>\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} \partial^\mu A^\nu</math> gebracht haben?

Gruss,
moep



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Student42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-01


Zu deinem ersten Punkt: Ich sehe den Unterschied zu meinem nicht? Ich habe doch die Summationsindizes geändert. Ich habe nur jeweils 2 g's ergänzt, damit ich an der Gleichung an sich nichts ändere. Ich darf ja nicht einfach Indizes hoch und runter schieben... (oder doch?)

Genauer:
<math>g^{\mu\nu}g_{\nu\mu} = 1</math>
Da ja <math>g^{-1} = g</math>.
Und demnach:
<math>A^\mu = 1 A^\mu = g^{\mu\nu}g_{\nu\mu}A^\nu = g^{\mu\nu}A_\nu</math>
Und das habe ich 2mal gemacht. Nur halt noch mit <math>\alpha</math>s und <math>\beta</math>s.

Bei der Rechnung bin ich mir sicher.
Es geht genauer gesagt um die Lagrange-Dichte des freien Maxwell-Feldes.
Die ist gegeben durch
<math>
L = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}
</math>
wobei F der Feldstärketensor ist mit <math>F^{\mu\nu} = \partial^\muA^\nu - \partial^\nu A^\mu</math>

Zu Berechnen ist der Energie-Impuls-Tensor:
<math>
T^\mu_\nu = \frac{\partial L}{\partial(\partial_\muA\lambda)}\partial_nu A_\lambda - \delta^\mu_\nu L
</math>



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-02-02


Also zu 1. nochmal:Ich sehe gerade, dass du in deinem ersten Post noch viel mehr Unsinn gemacht hast, als ich auf dem ersten Blick gesehen habe...

Es ist vielleicht im Prinzip richtig, was du dir da ueberlegt hast mit der 1 einfuegen etc. Aber die Notation ist leider falsch, und insbesondere wuerdest du bei komplexeren Ausdruecken mit dieser Notation dir selbst dein Grab schaufeln...
Ganz ganz wichtig ist, dass du auf beiden Seiten eines Gleichheitszeichens die gleichen freien Indizes hast, und dass auf beiden Seiten kein Index mehr als 2 mal vorkommt, und dass wenn die Indizes 2 mal vorkommen, dass dann ueber sie summiert wird, spricht das ein Index oben und ein Index unten steht. Fuehrst du also einen Extra-Index ein, um einen anderen Index hoch oder runter zu setzen, musst du diesen anders nennen, also z.B. <math>A^\mu = g^{\mu\alpha} A_\alpha</math>.

Insbesondere macht also <math>g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} A^\nu</math> keinen Sinn, worueber summierst du denn genau?! Und ausserdem musst du aufpassen, wie du das mit der "1 einfuegen" machst. Die Schreibweise <math>g \, g^{-1} = 1</math> macht nur als Matrizen Sinn. In Indexnotation kannst du nicht die g's mit Indizes, aber die 1 ohne schreiben! Die korrekten Varianten lauten deshalb <math>g^{\mu \alpha} g_{\nu\alpha} = \delta^\mu_\nu</math> oder <math>g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = 4</math> (= Dim. Raumzeit), aber sicherlich nicht <math>g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = 1</math>.

Zum Rest: Ich glaube dir nach wie vor nicht, dass du den Term in dieser Index-Struktur ausrechnen willst. Schreib noch mal den Energie-Impuls-Tensor ohne Tipp-Fehler auf und fuehre die Rechnung (mit den obigen Notations-Hinweise und Rechenregeln) vorsichtig aus.



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Student42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-02


Okay, das habe ich soweit verstanden, ist eigentlich auch logisch, habe ich nur nicht dran gedacht.

Also neuer Versuch:
<math>A^\mu = 1 A^\mu = \delta^\mu_\nu A^\nu = g^{\mu\beta}g_{\beta\nu}A^\nu = g^{\mu\beta}A_\beta}</math>

Die Aufgabe findest du hier:


Ich glaube ich sehe dann jetzt auch das Problem:

Die μ und ν, die genutzt werden um L zu definieren, sind anders, als die in <math>T^\mu_\nu</math> stehen, oder? Das heißt, die muss ich noch durch α's und β's ersetzen.

Nun denn:
<math>T^\mu_\nu = -1/4 \frac{\partial F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_{\lambda})} \partial_\nu A_\lambda - \delta^\mu_\nu L = -1/4 \frac{\partial (\partial^\alpha A^\beta - \partial_\beta A_\alpha)}{\partial(\partial_\mu A_{\lambda})} \partial_\nu \partial_\lambda - \delta^\mu_\nu L</math>

Wenn ich mir da jetzt das Differential rauspicke, dann steht da:
<math>\frac{\partial (\partial^\alpha A^\beta - \partial_\beta A_\alpha)}{\partial(\partial_\mu A_{\lambda})}</math>

Von da würde ich dann gerne weiter rechnen. Aber ich warte bisdahin erstmal auf Rückmeldung, ob ich das soweit richtig verstanden habe.



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moep
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2016-02-02 13:34 - Student42 in Beitrag No. 4 schreibt:

Die μ und ν, die genutzt werden um L zu definieren, sind anders, als die in <math>T^\mu_\nu</math> stehen, oder? Das heißt, die muss ich noch durch α's und β's ersetzen.

Nun denn:
<math>T^\mu_\nu = -1/4 \frac{\partial F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_{\lambda})} \partial_\nu A_\lambda - \delta^\mu_\nu L = -1/4 \frac{\partial (\partial^\alpha A^\beta - \partial_\beta A_\alpha)}{\partial(\partial_\mu A_{\lambda})} \partial_\nu \partial_\lambda - \delta^\mu_\nu L</math>


Genau, so ist das richtig.

Aber mir ist jetzt schleierhaft, wie du zu <math>-1/4 \frac{\partial (\partial^\alpha A^\beta - \partial_\beta A_\alpha)}{\partial(\partial_\mu A_{\lambda})} \partial_\nu \partial_\lambda - \delta^\mu_\nu L</math> kommst?! Ohne jetzt auf die Definition von F einzugehen: Du hast hier schon wieder eine andere Indexstruktur als im Term vor dem Gleichheitszeichen; dort waren <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> Summationsindizes, jetzt sind sie ploetzlich frei, und einmal oben und einmal unten?! Vielleicht solltest du dir auch noch klar machen, dass die Summenkonvention fuer ein Paar von Indizes (eins oben und eins unten) nur innerhalb eines Produktes gilt! Zwischen zwei Summanden gibt es keine solche Konvention, insbesondere muessen zwei Summanden also die gleichen freien Indizes haben.

Und nur der Vollstaendigkeits halber: <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math>. Also kann <math>F_{\alpha \beta} F^{\alpha\beta}</math> nicht <math>\partial^\alpha A^\beta - \partial_\beta A_\alpha</math> sein.



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