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Universität/Hochschule Obersumme, Untersumme, Umkehrfunktion
Neuling1
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.11.2014
Mitteilungen: 103
  Themenstart: 2016-02-03

Sei a\IR eine streng wachsende stetige Funktion mit f([a,b]) = [c,d]. Zeigen Sie folgendes: (a) Wenn M eine Obersumme ist für f auf [a,b], dann ist (bd-ca)-M eine Untersumme für f^inv auf [c,d]. (b)Wenn m eine Untersumme ist für f auf [a,b], dann ist (bd-ca)-m eine Obersumme für f^inv auf [c,d]. (c) Weil f und auch f^inv streng wachsende monotone Funktionen sind, sind beide Funktionen auf dem jeweiligen Intervall Riemann-integrierbar. Zeigen Sie: int(f,x,a,b) + int(f^inv,x,c,d) = bd-ca Wir haben Obersumme (M) und Untersumme (m) wie folgt definiert: Sei f:[a,b] ->\IR eine Funktion - Dann heißt m \el\ \IR eine Untersumme bzgl. f auf [a,b], wenn es eine Treppenfunktion t_unten :[a,b]->\IR gibt, mit t_unten (x) <= f(x) für x\el\ [a,b] und int(t_unten,x,a,b) = m -Dann heißt M \el\ \IR eine Obersumme bzgl. f auf [a,b], wenn es eine Treppenfunktion t_oben :[a,b]->\IR gibt, mit f(x) <= t_oben für x\el\ [a,b] und int(t_oben,x,a,b) = M Ich sitze schon einige Stunden an dieser Aufgabe, aber komme nicht weiter. Ich hab versucht etwas mit den Definitionen zu machen, aber das ist alles mehr schlecht als Recht. Könnte mir da bitte jemand helfen ? Danke im Voraus.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Bajnos
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.01.2016
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-02-04

Hallo Neuling1, definiere für $f$ und $f^{inv}$ entsprechende Treppenfunktionen $t_{unten}$ und $t_{oben}$ und bestimme dann die Unter- und Obersummen. Gruß Bajnos


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Animus
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.01.2006
Mitteilungen: 254
Wohnort: USA
  Beitrag No.2, eingetragen 2016-02-04

Falls Dir eine bildliche Vorstellung fehlt: Du kannst jede Treppenfunktion, die für f eine Untersumme bildet, gespiegelt an y=x als Treppenfunktion für Obersumme der Umkehrfunktion verwenden. Und die Summe dieser beiden Werte ist b*d - a*c.


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