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Universität/Hochschule Reelles Integral über Integrationsweg
Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-02-24


Hi,
es geht um folgende Aufgabe:


Meine Idee:
Sei <math>\gamma</math> der Weg auf der rellen Achse, <math>\gamma"</math> der Weg mit imaginären Anteil und <math>\gamma""</math> der gesamte Weg.

Nun gilt mit <math>f(z)=\frac{1}{e^z+e^-z}</math>:
<math>\int_{\gamma""} \ f(z) \ dz=\int_{\gamma} \ f(z) \ dz + \int_{\gamma"} \ f(z) \ dz</math>
Da f holomorph im Inneren des Weges <math>\gamma""</math> ist, folgt also:
<math>\int_{\gamma""} \ f(z) \ dz=0</math>

D.h. <math>\int_{\gamma} \ f(z) \ dz = - \int_{\gamma"} \ f(z) \ dz</math>

Was nur leider nicht wie ich weitermachen kann. Wohlmöglich ist der Ansatz auch schon falsch.


Jemand eine Idee?

Liebe Grüße, Bruce



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-05


Huhu,

da ja gerade recht wenig los ist, habe ich nach einem interessanten Integral gesucht (gut, dieses Integral ist weniger interessant), möchte aber dennoch auf diesen falschen Gedanken hinweisen, falls noch irgendwer mal diesen Thread liest:

2016-02-24 15:29 - Bruce94 im Themenstart schreibt:
Da f holomorph im Inneren des Weges <math>\gamma""</math> ist, folgt also:
<math>\int_{\gamma""} \ f(z) \ dz=0</math>

Das ist natürlich falsch, da \(f\) eine Polstelle innerhalb der Kontur hat. Da es auch damals keine Antwort gegeben hat, skizziere ich noch den Lösungsweg:

Wir betrachten also 4 Wege:

\(\displaystyle \int_\gamma f(z) \, \dd z=\int_{\gamma_1} f(z) \, \dd z+\int_{\gamma_2} f(z) \, \dd z+\int_{\gamma_3} f(z) \, \dd z+\int_{\gamma_4} f(z) \, \dd z \)

Die Integrale über den Seiten, also entlang von \(\gamma_2\) und \(\gamma_4\), verschwinden. Für den oberen Weg kann man \(z=\pi i + x\) parametrisieren. Damit:

\(\displaystyle \int_{\infty}^{-\infty} \frac{\dd x}{e^{\pi i + x}+e^{-(\pi i + x)}}=\int_{\infty}^{-\infty} \frac{\dd x}{-e^x-e^{-x}}=-\int_{\infty}^{-\infty} \frac{\dd x}{e^x+e^{-x}}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\dd x}{e^x+e^{-x}}  \)

Insgesamt folgt somit:

\(\displaystyle 2 \, \mathcal{I}=2 \pi i \operatorname{Res}\left(f(z), \frac{\pi i}{2}\right)=2 \pi i \frac{1}{2i}=\pi \iff \mathcal{I}=\frac{\pi}{2}\)

Ich werde dann mal weitersuchen.

Einen schönen Sonntag wünscht,

Küstenkind



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