Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von fru
Physik » Relativitätstheorie » Einsteins Feldgleichungen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Einsteins Feldgleichungen
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-03-11


Hallo,

ich komme hier bei einer Aufgabe nicht weiter. Es wäre super nett, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
Es geht darum zu zeigen, dass in jeder Metrik auf einer 2 dim. Mannigfaltigkeit die Einsteinschen Feldgleichungen im Vakuum erfüllt werden.
Dazu gibt es den Hinweis, dass man die Tatsache nutzen kann, dass jede Metrik auf einer 2dim Mannigfaltigkeit folgendes erfüllt:

<math>
$
R_{\mu \nu \lambda \rho} =
Rg_{\mu[\lambda}
g_{\rho]\nu}
$.
</math>

Ich weiß leider nicht mal, wie ich da anfangen sollte. Ich bin für jeden Hinweis sehr dankbar.

Vielen Dank und viele Grüße
vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-03-11


Hallo vandervaart84,
ich habe eher wenig Erfahrung mit ART, aber eigentlich müsste es gehen, indem man sich die Definition des Ricci-Tensors anschaut und dort die angegebene Relation verwendet, den Antikommutator explizit ausschreibt und das Ergebnis mit dem Term <math>\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R</math> aus den Feldgleichungen vergleicht. Bedenke, dass in 2 Dimensionen die Spur der Einheitsmatrix 2 ist und weil wir im Vakuum sind, die rechte Seite der Feldgleichungen verschwindet. Kannst du noch mitteilen, wie ihr den Ricci-Tensor und den Antikommutator definiert habt. Mit der Wikipedia-Konvention fehlt mir noch ein Vorzeichen, ich erhalte also <math>R_{\mu \nu}=-\frac{1}{2}Rg_{\mu \nu}</math>. Konkret solltest du also so anfangen:
<math>R_{\mu \nu}=\pm g^{\lambda \rho}R_{\rho\mu\lambda\nu}=g^{\lambda \rho}Rg_{\rho}[{}_\mu}g_{\lambda}]{}_\nu}</math>.
Das <math>\pm</math> bezieht sich auf verschiedene Konventionen, du sollst dort also deine Konvention einsetzen.
Das alles, wie gesagt ohne Gewähr, vielleicht meldet sich noch jemand.
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-11


Hallo wladimir_1989
Schon mal vielen Dank für deine Antwort,
den Ricci Tensor haben wir definiert als:
<math>
R_{\mu \nu} =
+R_{\; \mu \lambda \nu}^\lambda =
g^{\lambda \rho} R_{\rho \mu \lambda \nu}
</math>

LG vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-03-11


Hallo,
bist du weiter gekommen?
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-11


Hi,

ich hab mich versucht und das Skript nochmal durchgeschaut, aber es will einfach nicht klick machen.
also bisher habe ich:

<math>
R_{\mu \nu} =
R_{\; \mu \lambda \nu}^\lambda =
g^{\lambda \rho} R_{\rho \mu \lambda \nu} =
g^{\lambda \rho} R g_{\mu [\lambda} g_{\rho] \nu} =
g^{\lambda \rho} R (g_{\mu \lambda} g_{\rho \nu}
- g_{\mu \rho} g_{\lambda \nu})
</math>

dann habe ich noch gefunden, dass in einer 2d Mannigfaltigkeit gilt, dass

<math>
R = \frac{2}{detg}R_{1212},
</math>
und
<math>
detg = g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21}
</math>

aber wie mir das weiterhelfen soll, weiß ich leider nicht wirklich.

lg vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2016-03-12


Hallo,
du wendest die Identität <math> R_{\mu \nu \lambda \rho} =
Rg_{\mu[\lambda}
g_{\rho]\nu}</math> aus Beitrag 0 falsch an. Beachte die Reihenfolge der Indizes. Richtig wäre <math>R_{\mu\nu}= g^{\lambda \rho} R_{\rho \mu \lambda \nu} = g^{\rho \lambda}Rg_{\rho[\lambda}g_{\nu]\mu}=\frac{1}{2}Rg^{\lambda \rho}(g_{\rho\lambda}g_{\nu\mu}-g_{\rho\nu}g_{\lambda\mu})=\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}(2-1)=\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}</math>
Im letzten Schritt wurde <math>g^{\lambda \rho}g_{\rho\lambda}=\delta_\rho^\rho=d</math>, wobei d die Dimension ist, also in unserem Fall <math>d=2</math>, sowie <math>g^{\lambda \rho}g_{\rho\nu}=\delta_\nu^\lambda</math> benutzt. Der Faktor <math>\frac{1}{2}</math> gehört m.W. zu der üblichen Definition des total antisymmetrisierten Operators. Es normiert einfach den Gesamtausdruck auf die Anzahl der möglichen Kombinationen der Indizes. Im Allgemeinen hat man also einen Normierungsfaktor <math>\frac{1}{N!}</math>. Hier haben wir <math>N=2</math>.
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-12


Hi

ah ok, langsam komme ich dahinter.
Ist dann:

<math>
g^{\lambda \rho}
(g_{\rho \lambda}g_{\nu \mu}-g_{\rho \nu}g_{\lambda \mu})
=
\newline
g^{\lambda \rho}g_{\rho \lambda}g_{\nu \mu}
+
g_{\rho \lambda}g^{\lambda \rho}g_{\nu \mu}
-
g^{\lambda \rho}g_{\rho \nu}g_{\lambda \mu}
-
g_{\rho \nu}g^{\lambda \rho}g_{\lambda \mu}
=
\newline
(2
-
1) g_{\nu \mu}
=
g_{\mu \nu}
$
</math>

wobei:
<math>g^{\lambda \rho}g_{\nu \mu}=g^{\lambda \rho}g_{\lambda \mu}=0</math>

ist das so dann richtig?


Vielen Dank für deine Hilfe
lg vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2016-03-12


Hallo,
2016-03-12 09:36 - vandervaart84 in Beitrag No. 6 schreibt:

Ist dann:

<math>

g^{\lambda \rho}
(g_{\rho \lambda}g_{\nu \mu}-g_{\rho \nu}g_{\lambda \mu})
=
\newline+
g_{\rho \lambda}g^{\lambda \rho}g_{\nu \mu}
-
g^{\lambda \rho}g_{\rho \nu}g_{\lambda \mu}
-
g_{\rho \nu}g^{\lambda \rho}g_{\lambda \mu}
=
\newline
(2
-
1) g_{\nu \mu}
=
g_{\mu \nu}
$
</math>

wobei:
<math>g^{\lambda \rho}g_{\nu \mu}=g^{\lambda \rho}g_{\lambda \mu}=0</math>

ist das so dann richtig?



lg vdv84
Leider nicht ganz.
Wo kommen die 4 Terme nach Ausmultiplizieren der Klammer her? Eigentlich hast du doch
<math>g^{\lambda \rho}
(g_{\rho \lambda}g_{\nu \mu}-g_{\rho \nu}g_{\lambda \mu})=g^{\lambda \rho}
g_{\rho \lambda}g_{\nu \mu}-g^{\lambda \rho}g_{\rho \nu}g_{\lambda \mu}</math>.
Im ersten Summanden hat man <math>g^{\rho\lambda}g_{\rho\lambda}</math> und im zweiten <math>g^{\rho\lambda}g_{\rho\nu}</math>. Die kovariante Metrik ist das Inverse der kontravarianten Metrik. Damit gilt <math>g^{\rho\lambda}g_{\rho\nu}=\delta_{\lambda}_{\nu}</math>, wobei <math>\delta</math> das übliche Kronecker Delta Symbol bezeichnet. Führt man die Summation über <math>\lambda</math> aus, bekommt man <math>\delta_{\lambda}_{\nu}g_{\lambda \mu}=g_{\nu \mu}</math>.
Im ersten Summanden hat man  <math>g^{\rho\lambda}g_{\rho\lambda}=\delta_{\lambda}^\lambda</math>, d.h. man summiert über die Diagonalelemente. Dies ist als Spur einer Matrix bekannt. Die Spur der n-dimensionalen Einheitsmatrix ist offensichtlich n. Da wir uns in 2-Dimensionen befinden,  gilt n=2. Insgesamt hat man also <math>g^{\lambda \rho}
g_{\rho \lambda}g_{\nu \mu}-g^{\lambda \rho}g_{\rho \nu}g_{\lambda \mu}=2g_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}</math>. Und insgesamt erhält man <math>R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}</math>. Vergeiche dies nun mit den Einsteinischen Feldgleichungen. Da wir im Vakuum sind, verschwindet der Einstein-Tensor auf der rechten Seite.
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-12


ach klar, stimmt,

puh dummen Fehler eingebaut, hab mich da irgendwie etwas drin verhaspelt und dann etwas die Übersicht verloren.

vielen, vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld, wladimir

viele Grüße und ein schönes Restwochenende noch.

vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
vandervaart84 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]