Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von fru
Physik » Relativitätstheorie » Berechnung der Ricci Tensoren
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Berechnung der Ricci Tensoren
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-03-13


Hallo,

ich habe zwar die Formeln für die Berechnung der Christoffel Symbole, aber mir ist nicht wirklich klar, wie ich die Ricci Tensoren (<math>R_{kl} =
R_{\; kml}^m</math>) aus
<math>
R_{klmn}:=g_{ks}R^s_{lmn}
\text{mit}
R_{klmn} =
\frac{1}{2}
(
g_{kn,ml}-g_{km,nl}+
g_{ml,nk}-g_{nl,mk}
)
+
g_{st}
(
\Gamma_{nk}^t
\Gamma_{ml}^s -
\Gamma_{mk}^t
\Gamma_{nl}^s
)</math> und den Ricci Skalar damit berechnen kann, um zeigen zu können, dass für die folgende Metrik

<math>
ds^2 = dt^2 -
t^{2p_x}dx^2 -
t^{2p_y}dy^2 -
t^{2p_z}dz^2
</math>

die Einsteinschen Feldgleichungen im Vakuum gelten, wenn die Bedingung <math>
p_x^2+p_y^2+p_z^2 =
p_x+p_y+p_z = 1
</math>

erfüllt ist.
Bei den ganzen Christoffel Symbolen mit den ganzen Indizes finde ich mich gerade nicht wirklich zurecht.

Ich bin für jeden Hinweis z.B. für die Erklärung des Rechenweges sehr dankbar.

Viele Grüße
vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-03-13


Hallo  vandervaart84,
bei den Christoffel-Symbolen gibt es einen netten Trick, der gerade bei diagonalen Metriken ganz gut funktioniert: Man berechnet das Quadrat der relativistischen Ein-Teilchen-Lagrange-Funktion, schreibt dafür die Euler-Lagrange-Gleichungen hin und vergleicht diese mit der Geodätengleichung. Daraus kann man direkt die Christoffel-Symbole ablesen.  Also konkret: Sei <math>K=g_{\mu\nu}\dot x^\mu \dot x^\nu=\dot t^2-t^{2p_x}\dot x^2-t^{2p_y}\dot y^2-t^{2p_z}\dot z^2</math>, wobei der Punkt für die Ableitung nach der Eigenzeit steht.
Nun können wir damit die Euler Lagrange Gleichungen in expliziter orm bestimmen
<math>\frac{\text{d}}{\text{d}\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot x^\mu}-\frac{\partial K}{\partial  x^\mu}=0 </math>.
Anschließend vergleiche mit der Geodätengleichung. Da die Metrik nur von der Zeit abhängt, werden die Gleichungen recht einfach sein. Du kannst hier natürlich auch über die Definition der Christoffelsymbole gehen, das müsste für diese Metrik auch nicht zu rechenintensiv sein.
Alernativ kannst du natürlich auch mit Mathematica o.Ä. ein Programm zur Berechnung der Chriatoffelsymbole schreiben. Die Zeitinvestition lohnt sich für die wirklich komplizierten Metriken. Falls du noch Fragen hast, melde dich einfach.
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-13


Ah ok,

aber wie kann ich dann die Christoffel symbole ablesen?

Also ich habe das jetzt mit der Euler _ Lagrange Gleichung gemacht, das sind dann bisher so bei mir aus:

<math>
\frac{\partial K}{\partial x^\mu}=0,
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^0}
=
2 \ddot{t}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^1}
=
4p_x t^{2p_x-1}\dot{t}\dot{x}+2t^{2p_x} \ddot{x}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^2}
=
4p_y t^{2p_y-1}\dot{t}\dot{y}+2t^{2p_y} \ddot{y}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^3}
=
4p_z t^{2p_z-1}\dot{t}\dot{z}+2t^{2p_z} \ddot{z}
</math>

Ich schreibe da morgen eine Klausur drüber, da kann ich leider kein mathematica nutzen. ☹️



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-03-13


Hallo,
Die Geodätengleichung lautet ja:
<math>\ddot x^\mu+\Gamma_{\rho\sigma}^\mu\dot x^\rho \dot x^\sigma=0</math>, d.h. die Christoffelsymbole sind genau die Vorfaktoren in den Termen, die quadratisch in <math>\dot x^\mu</math>
sind. Bedenke dabei, dass die Christoffelsymvbole symmetrisch in den unteren Indizes sind, d.h. jedes Christoffelsymbol <math>\Gamma^\mu_{\rho \sigma}</math> mit <math>\rho\neq \sigma</math> kommt doppelt vor. Hast du bereits die Euler-Lagrange Gleichungen aufgestellt?
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2016-03-13


2016-03-13 22:16 - vandervaart84 in Beitrag No. 2 schreibt:
<math>
\frac{\partial K}{\partial x^\mu}=0,
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^0}
=
2 \ddot{t}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^1}
=
4p_x t^{2p_x-1}\dot{t}\dot{x}+2t^{2p_x}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^2}
=
4p_y t^{2p_y-1}\dot{t}\dot{y}+2t^{2p_y}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^3}

=
4p_z t^{2p_z-1}\dot{t}\dot{z}+2t^{2p_z}
</math>

Ich schreibe da morgen eine Klausur drüber, da kann ich leider kein mathematica nutzen. :-(
Die Gleichungen bzgl <math>\dot x^i</math> stimmen nicht. Dir fehlt im zweiten Summanden überall <math>\ddot x^i</math> von der Produktregel. Wenn du das korrigiert hast, löse die Gleichungen nach <math>\ddot x^\mu</math> auf. Im übrigen stimmt <math>\frac{\partial K}{\partial x^\mu}=0</math> nur für <math>\mu=i</math>, denn die Metrik hängt ja explizit von der Zeit ab.
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-13


<math>
\frac{\partial K}{\partial x^i}=0,
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^0} -\frac{\partial K}{\partial x^0}
=
2 \ddot{t} +2p_x t^{2p_x-1}\dot{x}^2 +2p_yt^{2p_y-1}\dot{y}^2 +2p_zt^{2p_z-1}\dot{z}^2
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^1}
=
4p_x t^{2p_x-1}\dot{t}\dot{x}+2t^{2p_x} \ddot{x}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^2}
=
4p_y t^{2p_y-1}\dot{t}\dot{y}+2t^{2p_y} \ddot{y}
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^3}
=
4p_z t^{2p_z-1}\dot{t}\dot{z}+2t^{2p_z} \ddot{z}
</math>

habe ich bis jetzt, stimmt, das habe ich bemerkt kurz nachdem ich das gepostet habe.

umgestellt nach den 2. Ableitungen:

<math>
\ddot{t} = - p_x t^{2p_x-1}\dot{x}^2 - p_yt^{2p_y-1}\dot{y}^2  - p_zt^{2p_z-1}\dot{z}^2
\newline
\ddot{x} = -2p_x t^{1}\dot{t}\dot{x}
\newline
\ddot{y} = -2p_y t^{1}\dot{t}\dot{y}
\newline
\ddot{z} = -2p_z t^{1}\dot{t}\dot{z}
</math>

lg vdv84

edit: so nach einigen korrekturen hab ich es jetzt bis dahin



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2016-03-13


Hallo,
ist fast richtig.
2016-03-13 22:56 - vandervaart84 in Beitrag No. 5 schreibt:
<math>
\frac{\partial K}{\partial x^i}=0,
\newline
\frac{d}{d\tau} \frac{\partial K}{\partial \dot{x}^0} -\frac{\partial K}{\partial x^0}
=
2 \ddot{t} +2p_x t^{2p_x-1} +2p_yt^{2p_y-1} +2p_zt^{2p_z-1}
</math>
lg vdv84
In der zweiten Gleichung fehlen die Geschwindigkeitsquadrate.
 Kannst du nun die Christoffelsymbole ablesen? Ich mache ein Beispiel:
<math>\Gamma_{11}^0=p_xt^{2p_x-1}</math>.
lg Wladimir
Edit: Vorzeichen korrigiert





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-13


also das hab ich jetzt an chr symbolen raus:

<math>
\Gamma_{11}^0 = - p_x t^{2p_x-1}
\newline
\Gamma_{22}^0 = - p_y t^{2p_y-1}
\newline
\Gamma_{33}^0 = - p_z t^{2p_z-1}
\newline
\Gamma_{01}^1 =\Gamma_{10}^1 = - p_x/t
\newline
\Gamma_{02}^2 =\Gamma_{20}^2 = - p_y/t
\newline
\Gamma_{03}^3 =\Gamma_{30}^3 = - p_z/t
</math>

das müssten dann ja alle sein, oder?

lg vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2016-03-14


Hallo,
deine Christoffelsymbole sind richtig. Die anderen Gleichungen enthalten zwar keine Quadrate, aber Terme der Art <math>\dot x^\rho \dot x^\sigma </math> mit <math>\rho \neq \sigma</math>  Die Vorfaktoren entsprechen <math>\Gamma^\mu_{\rho \sigma}</math>. Also z.B. <math>\Gamma^1_{01}=\Gamma^0_{10}=p_x/t</math>. Es sollte übrigens <math>\ddot x=-2p_x/t\dot x\dot t</math> sein. Den Ricci-Tensor kannst du dann direkt aus der Definition aus Beitrag 0 berechnen. Die meisten Ableitungen der Metrik sind ja Null und auch viele Christoffelsymbole werden Null sein. Die einzigen doppelten Ableitungen der Metrik, die überleben, sind ja <math>g_{ii,00}</math>
lg Wladimir
Edit: Vorzeichen korrigiert



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-14




also da wo <math>\sigma \neq \rho</math> ist, muss immer die Hälfte des Vorfaktors genommen werden , da dort immer 2 Christoffelsymbole rauskommen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2016-03-14


Genau



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-14


also das hab ich jetzt an chr symbolen raus:

<math>
\Gamma_{11}^0 = - p_x t^{2p_x-1}
\newline
\Gamma_{22}^0 = - p_y t^{2p_y-1}
\newline
\Gamma_{33}^0 = - p_z t^{2p_z-1}
\newline
\Gamma_{01}^1 =\Gamma_{10}^1 = - p_x/t
\newline
\Gamma_{02}^2 =\Gamma_{20}^2 = - p_y/t
\newline
\Gamma_{03}^3 =\Gamma_{30}^3 = - p_z/t
</math>

das müssten dann ja alle sein, oder?

lg vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2016-03-14


Bei den ersten drei ist das Vorzeichen falsch. Ich habe das auch erst übersehen. In der Geodätengleichung hat man ja einen Plus zwischen den beiden Termen.
Sorry. Nochmals Edit: alle sechs Vorzeichen stimmen nicht aus dem selben Grund.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-14


und für die Ricci Tensoren komme ich jetzt nach

<math>
R_{kl}=R^m_{kml}
</math>

von den Riemann Tensoren:

<math>
R^k_{mpl}=
\partial_p \Gamma_{lm}^k - \partial_l \Gamma_{pm}^k
+ \Gamma_{pf}^k \Gamma_{lm}^f - \Gamma_{lf}^k \Gamma_{pm}^f
</math>

wobei über f summiert wird.

Dann erhalte ich also zuletzt die Ricci Skalare aus

<math>
R = g^{kl}R_{kl}
</math>

wobei ich dann über die k und l durchsummieren muss.
Habe ich das so richtig verstanden?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2016-03-14


Ja



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-14


Für die Ricci tensoren erhalte ich dann:
<math>
R_{11}=R^0_{101}+R^1_{111}=(p_x^2-p_x)t^{2p_x-2}
\newline
R_{22}=R^0_{202}+R^1_{222}=(p_y^2-p_y)t^{2p_y-2}
\newline
R_{11}=R^0_{303}+R^1_{333}=(p_y^2-p_y)t^{2p_y-2}
\newline
R_{10}=R_{01}=R^0_{100}+R^1_{110}=-p_x^2t^{2p_x-2}-p_x^2/t^2
\newline
R_{20}=R_{02}=R^0_{200}+R^2_{220}=-p_y^2t^{2p_y-2}-p_y^2/t^2
\newline
R_{30}=R_{03}=R^0_{300}+R^3_{330}=-p_z^2t^{2p_z-2}-p_z^2/t^2
\newline
</math>

und für den Ricci Skalar:
<math>
R=g^{11}R_{11}+g^{22}R_{22}+g^{33}R_{33}=
1/t^2(p_x^2+p_y^2+p_z^2-p_x-p_y-p_z)
</math>

wenn man das jetzt in die Einstein Gleichungen im Vakuum einsetzt.
<math>
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=0
</math>

ergeben diese jedoch nur 0 wenn die Bedingung aus Beitrag 0 erfüllt ist.

also:
<math>
p_x^2+p_y^2+p_z^2 =
p_x+p_y+p_z = 1
</math>

jaaaaaaaa, juhuuuuu ich glaub jetzt hab ichs. 😄

vielen vielen vielen Dank, jetzt hoffe ich nur noch dass das auch dran kommt,
nochmals vielen vielen Dank für deine Hilfe in den letzten Tagen, wladimir.

lg vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
moep
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1727
Aus: karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2016-03-14


Hallo Rafael,

super, dass du nach gescheiterter HSV- und Betis-Karriere dich der Physik widmest!

Viel Erfolg bei der Klausur morgen!

Wegen deinem Ergebnis: Vertrau auf deine Rechenkuenste, morgen in der Klausur wird dir auch keiner mehr bestaetigen koennen, ob das richtig ist, oder nicht, was du da geschrieben hast!

Gruss,
moep



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1310
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2016-03-14


Auch von mir viel Glück.
lg Wladimir



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2013
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-14


Danke schön euch beiden.

lg vdv84



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
vandervaart84 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
vandervaart84 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]