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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Spezieller endlicher Körper F_4 mit Elementen aus den komplexen Zahlen
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Universität/Hochschule Spezieller endlicher Körper F_4 mit Elementen aus den komplexen Zahlen
hari01071983
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Mitteilungen: 578
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-04-25


Hallo,

kann mir jemand sagen welche Elemente folgender Körper enthält?
<math>F_{4} = \{ x+e^{\frac{i \pi }{3}}y \in \mathbb{C} | x,y \in \mathbb{Z}_{2} \}</math>

Irgendwie verwirrt mich das <math>\mathbb{C}</math>.
Enthält die Menge einfach nur endlich viele Elemente aus <math>\mathbb{C}</math>?

Meine Idee wäre folgende:
<math>
$\begin{tabular}{lcr}
$x$ & $y$ & $x+e^{\frac{i \pi }{3}}y$ \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & e^{\frac{i \pi }{3}} \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & $ 1 + e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
\end{tabular}
</math>

Die Verknüpfungstabellen sehen, meiner Meinung nach, wie folgt aus:
<math>
$\begin{tabular}{c|cccc}
+& $0$ & $1$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
\hline
0  &$0$ & $1$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
1  &1 & 0 & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
$e^{\frac{i \pi }{3}}$  & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ & 0 & 1 \\
$1+e^{\frac{i \pi }{3}}$  & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & 1 & 0 \\
\end{tabular}
</math>

Ein Beispiel für eine Addition, so wie ich sie mir vorstellen würde:
<math>(e^{\frac{i \pi }{3}}) \ + \ (1 +e^{\frac{i \pi }{3}})=1
+ \underbrace{e^{\frac{i \pi }{3}} +e^{\frac{i \pi }{3}}}_{0} = 1
+0 = 1 </math>

Nun zur Multiplikationstafel die mir Probleme bereitet:
<math>
$\begin{tabular}{c|cccc}
\cdot & $0$ & $1$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
\hline
0  &$0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
1  &0 & $1$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
$e^{\frac{i \pi }{3}}$  & $0$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & {\color{red}???} & {\color{red}???} \\
$1+e^{\frac{i \pi }{3}}$  & $0$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ & {\color{red}???} & {\color{red}???} \\
\end{tabular}
</math>

Ein Beispiel für eine problematische Multiplikation:
<math>(1 + e^{\frac{i \pi }{3}}) \cdot (1 + e^{\frac{i \pi }{3}}) = 1 + \underbrace{e^{\frac{i \pi }{3}} +e^{\frac{i \pi }{3}}}_{0} + e^{\frac{2i \pi }{3}} = 1 + e^{\frac{2 \cdot i \pi }{3}} \leftarrow \text{dieses Element ist nicht in der Menge} \\
</math>

Laut den Regeln zum erstellen der Verknüpfungstabellen müsste die Tabelle aber wahrscheinlich so aussehen:

<math>
$\begin{tabular}{c|cccc}
\cdot & $0$ & $1$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
\hline
0  &$0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
1  &0 & $1$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ \\
$e^{\frac{i \pi }{3}}$  & $0$ & $e^{\frac{i \pi }{3}}$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ &  1\\
$1+e^{\frac{i \pi }{3}}$  & $0$ & $1+e^{\frac{i \pi }{3}}$ & 1 &  $e^{\frac{i \pi }{3}}$\\
\end{tabular}
</math>

Nur wie komme ich darauf?

Mit bestem Dank
Hari



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Kollodez777
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Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-04-25


Hallo hari,

Deine Vermutung ist richtig, so sehen die Elemente aus. Die Additionstafel habe ich jetzt im Detail untersucht, scheint aber richtig zu sein und zumindest dein Beispiel ist richtig.
Zur Multiplikation: Sei <math>X:=e^{2\pi i/3}</math>, dann gilt <math>X^3=e^{2\pi i}=1</math>, also <math>(X-1)(X^2+X+1)=0</math>. Da offensichtlich <math>X\neq 1</math>, gilt für <math>X</math> die Relation <math>X^2+X+1=0</math>. Also ist <math>X^2</math> (das, was du suchst) gleich <math>-1-X=1+X</math> (da <math>-1=1</math> in <math>\mathbb{Z}/2</math>), und so erhältst du dann wieder ein Element der Menge. Die restlichen gehen analog.


-----------------
Solange der Mensch denkt, dass Tiere nicht fühlen können, müssen Tiere fühlen,
dass Menschen nicht denken können.
Ein Tropfen Liebe ist mehr als ein Ozean Verstand. ~ Blaise Pascal



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weird
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Mitteilungen: 4948
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2016-04-25


Eine andere - mehr down-to-earth - Möglichkeit wäre es, einfach von der Darstellung

<math>\exp(\pi i/3)=\frac12+\frac{\sqrt3}2 i</math>

auszugehen und nachzurechnen, dass

<math>\exp(2\pi i/3)=-\frac12+\frac{\sqrt3}2 i=-1+\exp(\pi i/3)</math>

ist.



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-04-25


Ich finde das konzeptionell hässlich, <math>\IC</math> und <math>\IF_2</math> so zu mischen. Oder kann man das erklären?

Mein Versuch als Algebra-Noob: <math>\IF_4</math> konstruiert man als Quotientenring <math>\IF_2[x]/\langle f\rangle</math>, wobei <math>f</math> ein irreduzibles Polynom vom Grad 2, d.h. zwingend <math>f=x^2+x+1</math> ist. Nennen wir eine Nullstelle von <math>f</math> in einem Zerfällungskörper davon <math>\omega</math>, dann gilt also <math>\omega^2 + \omega + 1 = 0</math>, nach Multiplikation mit <math>\omega</math> weiterhin <math>\omega^3 + \omega^2 + \omega = 0</math>, also <math>\omega^3 = -1 = 1</math>. Wäre das eine Gleichung über <math>\IC</math>, könnte man sagen <math>\omega = \exp \frac{{\color{red}2}\pi i}{3}</math>. Schriebe man <math>f</math> als <math>x^2 - x + 1</math>, so bekäme man <math>\exp\frac{\pi i}{3}</math>. Das ganze in <math>\IC</math> statt dem Zerfällungskörper stattfinden zu lassen ist ein Hack, der zufällig funktioniert, wenn man nicht zu genau hinguckt.

Bemerkung: Mglw. ist dort der eine oder andere Vorzeichnfehler drin zu finden.



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Curufin
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Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2016-04-27


2016-04-25 12:45 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich finde das konzeptionell hässlich, <math>\IC</math> und <math>\IF_2</math> so zu mischen. Oder kann man das erklären?

Ja, das geht auch wirklich überhaupt nicht. Genau so sollte man es wirklich nicht machen!


 Das ganze in <math>\IC</math> statt dem Zerfällungskörper stattfinden zu lassen ist ein Hack, der zufällig funktioniert, wenn man nicht zu genau hinguckt.

Das Ganze findet doch in Wahrheit doch gar nicht in <math>\IC</math> statt, da in der Definition  <math>x,y\in\IZ_2</math> verlangt ist.

Das ist aber immer noch verworren, da in der Definition von <math>F_4</math> die Multiplikation und Addition gar nicht definiert sind (die Multiplikation eines Elements aus <math>\IC</math> mit einem Element aus <math>\IZ_2</math> ist undefiniert).
Und wenn man das alles sauber definiert, dann kommt man eben genau darauf, dass das Gebilde ein Quotient von <math>\IZ[x]</math> bzw. <math>\IF_2[x]</math> ist. Nur wird das pseudo-clever verheimlicht, indem man die Relationen hineinschmuggelt aber formal etwas hinschreibt, was keinen Sinn ergibt.

Alles in allem sollte sich der Aufgabensteller fragen, was er sich hierbei gedacht hat; viel kann es nicht gewesen sein.



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