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Mechanik » Theoretische Mechanik » Lagrange 1. Art - bewegte Schiefe Ebene
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Universität/Hochschule J Lagrange 1. Art - bewegte Schiefe Ebene
greenbrain
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  Themenstart: 2016-05-12

Hi, das ist sicher nicht der erste Post zu Lagrange - schiefe Ebene. Eine der meinen ähnliche Aufgabe habe ich jedoch nicht gefunden: \ "Eine schiefe Ebene wird in vertikaler Richtung nach vorgegebener Abhängigkeit von der Zeit bewegt. Die Ebenengleichung lautet F(x,y,z,t)=z-x*tan(\alpha)-f(t) mit \alpha=const. Ein Massenpunkt m bewege sich reibungslos in dieser Ebene unter dem Einfluss der Schwerkraft." Nun möchte ich die Bewegung x^>(t) und die Zwangskraft Z^> berechnen. Desweiteren soll ich die f(t) bestimmen, für die keine Zwangskraft auftritt. Ich finde zu dieser Aufgabe gar keinen Zugang, da ich bei solchen Aufgaben sonst immer geometrische Beziehungen betrachtet habe. Handelt es sich bei der Ebenengleichung bereits um eine Zwangsbedingung? Ich vermute, dass alle drei Koordinaten durch die Zwangskraft beeinflusst werden - aber wie stelle ich die Lagrangegleichung 1. Art hier auf? Freue mich über jede Hilfe Danke und LG gb


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meisus
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-05-13

Hallo greenbrain, Deine Zwangsbedingung wird durch die Ebenengleichung $F(x,y,z,t)=0$ gegeben, d.h. du kannst die Zwangskraft leicht über $\vec{Z}=\lambda\grad F$ berechnen. Deine Bewegungsgleichung erhältst du wie üblich als $m\ddot{\vec{x}}=-mgz\vec{e}_z+\lambda\vec{Z}$. Ich habe hier aus dem Kontext angenommen, dass die Schwerkraft in z-Richtung wirkt. Die Differentialgleichung ist nicht allzu schwer zu lösen. Deine Zwangskraft wird 0, wenn der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ verschwindet. Diesen erhältst du durch einsetzen der Bewegungsgleichungen in die Zwangsbedingung. Ich hoffe, dass war halbwegs verständlich und genügt dir als Ansatz. Gruß, meisus.


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greenbrain
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-19

Konnte die Aufgabe mit deiner Hilfe sehr schnell lösen! Danke dir und entschuldige die späte Rückmeldung! Viele Grüße gb


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