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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Riemannsche Summen » Gleichheit von integrierbaren Funktionen
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Universität/Hochschule J Gleichheit von integrierbaren Funktionen
mrjacobs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-05-12


Hallo,

ich sitze schon etwas länger an der Aufgabe und weiß nicht so recht, wohin es gehen soll. Vielleicht hab ihr ja einen Tipp für mich:

fed-Code einblenden

Ich hatte vermutet - irgendwie - mit der Ober-/Untersumme zu argumentieren. Jedoch fehlt mir ein Ansatz.

Gruß
Jacob



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-05-12


Integrierbar im Sinne von Riemann, oder welchen Integralbegriff nutzt ihr hier? Und es sollte vielleicht <math>\int_0^1</math> anstelle von <math>\int^0_1</math> heißen?



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mrjacobs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-12


Genau, Riemann. Das hätte ich erwähnen sollen entschuldige.

Natürlich sollte das von 0 bis 1 sein.



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Kollodez777
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-05-12


Mache dir klar, dass du oBdA. <math>m=1</math> annehmen kannst. Das heißt dann, f und g stimmen bis auf <math>x_1</math> überein. Ferner überlege dir, dass du nur eine Richtung zeigen musst, also zB. dass aus f integrierbar folgt g integrierbar.
Nehme also an, f ist integrierbar. Was heißt das? Dann zeige einfach, dass g auch integrierbar ist mit den Riemann-Summen ...


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Solange der Mensch denkt, dass Tiere nicht fühlen können, müssen Tiere fühlen,
dass Menschen nicht denken können.
Ein Tropfen Liebe ist mehr als ein Ozean Verstand. ~ Blaise Pascal



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mrjacobs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-13


Danke Kollodez777 für deine Antwort!

Ich habe mich mal versucht:
fed-Code einblenden

Der nächste Schritt ist mir jedoch nicht ganz klar. Ich muss ja irgendwie die Funktion g(x) einbeziehen, heißt das, ich muss zeigen, dass diese Zerlegung auch für g(x) passt und das fed-Code einblenden

Wie stell ich das am besten an?



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Kollodez777
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2016-05-13


Hallo mrjacobs,

Mache es so: Du willst zeigen, dass g integrierbar ist. Das heißt, dass für alle <math>d>0</math> eine Zahl <math>e</math> existiert (das soll der Grenzwert der Riemann-Summen sein, also gerade das Integral; aber noch nennen wir es nur <math>e</math>, da wir noch nicht wissen, dass das Integral überhaupt existiert), sodass eine Zerlegung <math>P_d</math> existiert mit <math>|R(g,P,\xi)-e|<d</math> für alle feineren Zerlegungen <math>P\le P_d</math> und alle Stützstellen <math>\xi</math>. Wir zeigen auch direkt, dass dieser Grenzwert <math>e</math> mit dem von <math>f</math> übereinstimmt, und damit ist dann auch die Gleichheit der Integrale gezeigt.

Wir fixieren nun das <math>d>0</math>. Sei <math>E</math> der Grenzwert bzw. das Integral von <math>f</math>. Dann gibt es eine Zerlegung <math>P_d</math> von <math>f</math>, sodass <math>|R(f,P,\xi)-E|<\frac{d}{2}</math> für alle feineren Zerlegungen und Stützstellen. Für eine feste Zerlegung <math>P</math> ist nun <math>R(f,P,\xi)=\sum_{k=1}^n f(\xi_k)L(I_k)</math> für gewisse <math>n</math>, <math>\xi_k</math>, <math>I_k</math>. Jetzt weißt du, dass <math>x_0\in I_{j(P)}</math> für ein <math>j(P)</math>, das von der Zerlegung abhängt. Und du weißt, dass <math>f</math> und <math>g</math> nur bis auf <math>x_0</math> übereinstimmen. Falls also <math>\xi_i \neq x_0</math>, so stimmen die Riemann-Summen offensichtlich überein und dann gilt die Ungleichung oben auch für die Riemannsummen von <math>g</math>. Falls aber <math>\xi_i=x_0</math> für gewisses <math>i</math> (oBdA immer <math>i=1</math>, da es sonst unüberschaulich wird), dann musst du abschätzen. Mache es da so: <math>R(g,P,\xi)=\sum_{k=1}^n g(\xi_k)L(I_k)=\sum_{k=2}^n f(\xi_)L(I_k)+g(x_0)L(I_1)</math>. Wenn du jetzt hiermit <math>|R(g,P,\xi)-E|</math> hinschreibst, steht da <math>|R(f,P,\xi)-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)-E|\le |R(f,P,\xi)-E|+|f(x_0)-g(x_0)|L(I_1)\le d/2+|f(x_0)-g(x_0)|L(I_1)</math>. Jetzt musst du nur noch sagen, dass man die anfängliche Zerlegung <math>P_d</math> von <math>f</math> auch wirklich so fein wählen kann, dass <math>|f(x_0)-g(x_0)|L(I_1)<\frac{d}{2}</math>. Das geht natürlich, da du sie ja nur so wählen musst, dass <math>L(I_1)</math> klein genug ist (falls <math>L(I_1)</math> für die Zerlegung <math>P_d</math> derart klein gewählt ist, dann gilt die Ungleichung auch für alle feineren Zerlegungen, da die <math>I_1</math> ja nur kleiner werden können), und dann gilt auch <math>|R(g,P,\xi)-E|\le d</math> und du bist fertig. Und wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes <math>E</math> stimmen auch Riemann-Integral von <math>f</math> und <math>g</math> überein.

Es ist nicht sonderlich schön und gut und klar aufgeschrieben. Aber ich denke, von der Idee her sollte es klar sein. Und deine Aufgabe ist es nun, alles vernünftig, klar und vollständig aufzuschreiben (nicht unbedingt hier, aber auf dem zu abgebenden Zettel).


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mrjacobs
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.05.2016
Mitteilungen: 146
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-14


Klasse, vielen Dank! Das ist mir weitestgehend alles klar und verständlich, dennoch habe ich Rückfragen:

(1) Das <math> I_{j(P)}</math> ist also ein feineres Intervall in <math>I_k</math>?

(2)
2016-05-13 13:52 - Kollodez777 in Beitrag No. 5 schreibt:
Mache es da so: <math>R(g,P,\xi)=\sum_{k=1}^n g(\xi_k)L(I_k)=\sum_{k=2}^n f(\xi_)L(I_k)+g(x_0)L(I_1)</math>. Wenn du jetzt hiermit <math>|R(g,P,\xi)-E|</math> hinschreibst, steht da <math>|R(f,P,\xi)-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)-E|</math>

Kann es sein das hinter dem <math>\xi</math> der Laufindex <math>k</math> fehlt?

(3)
2016-05-13 13:52 - Kollodez777 in Beitrag No. 5 schreibt:
Wenn du jetzt hiermit <math>|R(g,P,\xi)-E|</math> hinschreibst, steht da <math>|R(f,P,\xi)-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)-E|\le |R(f,P,\xi)-E|+|f(x_0)-g(x_0)|L(I_1)\le d/2+|f(x_0)-g(x_0)|L(I_1)</math>

Wieso kann man hier einfach <math>|R(f,P,\xi)-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)-E|</math> schreiben? Die Ergänzung von <math>-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)</math> ist mir noch nicht so ganz klar.



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Kollodez777
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2016-05-14


2016-05-14 13:26 - mrjacobs in Beitrag No. 6 schreibt:
(1) Das <math> I_{j(P)}</math> ist also ein feineres Intervall in <math>I_k</math>?

Was genau meinst du damit? Also erst oBdA <math>j(P)=1</math>. Und ja, die <math>I_1</math> werden nicht größer, je feiner die Zerlegung gewählt wird. Das heißt, je feinere Zerlegungen du von <math>P_d</math> nimmst, dann kann <math>I_1</math> (<math>I_1</math> hängt ja von der Zerlegung ab, deshalb sollten wir eigentlich schreiben <math>I_1(P)</math> und <math>I_1(P_d)</math>), umso feiner kann das Intervall ja nur werden. Das heißt <math>I_1(P)\subset I_1(P_d)</math> für alle feineren Zerlegungen <math>P\le P_d</math>. Also können wir einfach die Zerlegung <math>P_d</math> so fein wählen, dass <math>L(I_1(P_d))</math> ziemlich klein ist, also so dass die Ungleichung oben erfüllt ist. Dann gilt es natürlich auch für feinere Zerlegungen, da <math>I_1</math> ja nicht größer werden kann.


Kann es sein das hinter dem <math>\xi</math> der Laufindex <math>k</math> fehlt?

Ja, sorry, der Laufindex fehlt.


(3)
2016-05-13 13:52 - Kollodez777 in Beitrag No. 5 schreibt:
Wenn du jetzt hiermit <math>|R(g,P,\xi)-E|</math> hinschreibst, steht da <math>|R(f,P,\xi)-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)-E|\le |R(f,P,\xi)-E|+|f(x_0)-g(x_0)|L(I_1)\le d/2+|f(x_0)-g(x_0)|L(I_1)</math>

Wieso kann man hier einfach <math>|R(f,P,\xi)-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)-E|</math> schreiben? Die Ergänzung von <math>-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)</math> ist mir noch nicht so ganz klar.

Naja, ich habe geschrieben, dass <math>|R(g,P,\xi)-E|</math> gleich ... ist, also <math>|R(g,P,\xi)-E| = |R(f,P,\xi)-f(x_0)L(I_1)+g(x_0)L(I_1)-E|</math>. Links steht die Summe von <math>g</math>, rechts von <math>f</math>. Das liegt daran, dass sie sich nur in <math>x_0</math> unterscheiden ...


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mrjacobs
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.05.2016
Mitteilungen: 146
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Okay, Fragen geklärt, ich danke Dir vielmals :-)



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