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 Komplexe Leistung (teilweise induktive Last) |
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Cloud94
Junior 
Dabei seit: 10.04.2016
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2016-08-25
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Guten Tag!
Diese Frage geht in den Bereich Elektrotechnik und kann hier hoffentlich auch gestellt werden.
Wir hatten eine Aufgabe erhalten mit folgendem Inhalt: Gegeben war ein Strom-Spannungsverlauf einer teilweise induktiven Last (Strom eilt um ca. 45° nach). Nun sollte die komplexe Leistung berechnet werden.
Wie würde ich in diesem Fall vorgehen? Die Scheinleistung S kann ich ja mit den Effektivwerten von U*I berechnen oder? Aber ich muss ja auch die Phasenverschiebung miteinbeziehen und da bin ich mir unsicher...
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 Profil
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hiki
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.05.2016
Mitteilungen: 370
|  Beitrag No.1, eingetragen 2016-08-25
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Die Leistung am Ohm'schen Widerstand ist gegeben durch $P(t) = R \cdot I^2(t)$. Das Verhältnis aus Ohmscher Last und induktiver Last sollte sich aus der Phasenverschiebung bestimmen lassen (z.B. Zeigerdiagramm).
Hilft das?
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Profil
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vGvC
Senior
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1334
| Beitrag No.2, eingetragen 2016-08-25
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Die komplexe Scheinleistung ist
$\displaystyle \underline{S}=\underline{U}\cdot\underline{I}^\ast$
Dabei ist $\underline{I}^\ast$ der zu $\underline{I}=I\cdot e^{j\varphi_i}$ konjugiert komplexe Strom, also $\underline{I}^\ast=I\cdot e^{-j\varphi_i}$.
Damit ergibt sich
$\displaystyle \underline{S}=U\cdot e^{j\varphi_u}\cdot I\cdot e^{-j\varphi_i}=U\cdot I\cdot e^{j(\varphi_u-\varphi_i)}=U\cdot I\cdot e^{j\varphi}$
mit
$\displaystyle \varphi=\varphi_u-\varphi_i$
oder in kartesischer Schreibweise
$\displaystyle \underline{S}=U\cdot I\cdot\cos{\varphi}+j\cdot U\cdot I\cdot\sin{\varphi}=P+jQ$
Daraus ist gleichzeitig auch der Betrag der Scheinleistung zu erkennen, nämlich
$\displaystyle S=|\underline{S}|=U\cdot I=\sqrt{P^2+Q^2}$
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Cloud94
Junior
Dabei seit: 10.04.2016
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-08-29
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\quoteon(2016-08-25 20:36 - vGvC in Beitrag No. 2)
Die komplexe Scheinleistung ist
$\displaystyle \underline{S}=\underline{U}\cdot\underline{I}^\ast$
Dabei ist $\underline{I}^\ast$ der zu $\underline{I}=I\cdot e^{j\varphi_i}$ konjugiert komplexe Strom, also $\underline{I}^\ast=I\cdot e^{-j\varphi_i}$.
Damit ergibt sich
$\displaystyle \underline{S}=U\cdot e^{j\varphi_u}\cdot I\cdot e^{-j\varphi_i}=U\cdot I\cdot e^{j(\varphi_u-\varphi_i)}=U\cdot I\cdot e^{j\varphi}$
mit
$\displaystyle \varphi=\varphi_u-\varphi_i$
oder in kartesischer Schreibweise
$\displaystyle \underline{S}=U\cdot I\cdot\cos{\varphi}+j\cdot U\cdot I\cdot\sin{\varphi}=P+jQ$
Daraus ist gleichzeitig auch der Betrag der Scheinleistung zu erkennen, nämlich
$\displaystyle S=|\underline{S}|=U\cdot I=\sqrt{P^2+Q^2}$
\quoteoff
Danke, das klingt soweit alles logisch. Das bedeutet also für mich, wenn der Strom um 45° nacheilt, dass ich für das Phi einfach "-45" einsetzen würde, richtig? :)
Vor allem in der Kartesischen Form kann ich die Zahl dann ja auch einfach im Koordinatensystem darstellen.
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vGvC
Senior
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1334
| Beitrag No.4, eingetragen 2016-08-29
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\quoteon(2016-08-29 12:28 - Cloud94 in Beitrag No. 3)
...
Danke, das klingt soweit alles logisch. Das bedeutet also für mich, wenn der Strom um 45° nacheilt, dass ich für das Phi einfach "-45" einsetzen würde, richtig?
...
\quoteoff
Nein. Da einerseits
$\varphi=\varphi_u-\varphi_i$
andererseits
$\varphi_i=\varphi_u-45°$
(der Strom soll der Spannung ja um 45° nacheilen), ergibt sich für den Phasenwinkel der Impedanz und damit auch für den der komplexe Scheinleistung
$\varphi=\varphi_u-(\varphi_u-45^\circ)=+45°$
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Cloud94
Junior
Dabei seit: 10.04.2016
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-08-30
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\quoteon(2016-08-29 15:11 - vGvC in Beitrag No. 4)
\quoteon(2016-08-29 12:28 - Cloud94 in Beitrag No. 3)
...
Danke, das klingt soweit alles logisch. Das bedeutet also für mich, wenn der Strom um 45° nacheilt, dass ich für das Phi einfach "-45" einsetzen würde, richtig?
...
\quoteoff
Nein. Da einerseits
$\varphi=\varphi_u-\varphi_i$
andererseits
$\varphi_i=\varphi_u-45°$
(der Strom soll der Spannung ja um 45° nacheilen), ergibt sich für den Phasenwinkel der Impedanz und damit auch für den der komplexe Scheinleistung
$\varphi=\varphi_u-(\varphi_u-45^\circ)=+45°$
\quoteoff
Uuups...hätte mir auch beim Einsetzen auffallen sollen. Ich denke ich habe das Thema nun verstanden. Vielen Dank für die Hilfe! :)
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vGvC
Senior
Dabei seit: 07.04.2010
Mitteilungen: 1334
| Beitrag No.6, eingetragen 2016-08-30
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Vielleicht noch zur Vervollständigung, weil diese Frage oft von Studenten gestellt wird: "Woher weiß man denn, dass der sog. Phasenwinkel der Impedanz gerade $\varphi_u-\varphi_i$ ist und nicht $\varphi_i-\varphi_u$?"
Antwort: Das liegt an der Definition der Impedanz als Quotient der komplexen Spannung und dem komplexen Strom.
$\displaystyle \underline{Z}=Z\cdot e^{j\varphi}=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}=\frac{U\cdot e^{j\varphi_u}}{I\cdot e^{j\varphi_i}}=\frac{U}{I}\cdot e^{j(\varphi_u-\varphi_i)}$
Koeffizienten-und Exponentenvergleich liefert für den Betrag der Impedanz (Scheinwiderstand)
$\displaystyle Z=\frac{U}{I}$
und für den sog. Phasenwinkel
$\displaystyle \varphi=\varphi_u-\varphi_i$
(Vielleicht fällt jemandem auf, dass ich das Winkelargument der Impedanz immer als sogenannten Phasenwinkel bezeichne. Falls jemand dazu Aufklärung sucht, möge er hier fragen.)
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