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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Komposition nilpotenter Endomorphismen
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Autor
Universität/Hochschule Komposition nilpotenter Endomorphismen
Rubato
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.10.2016
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-10-11


Guten Abend

Ein <math>$f \in \emph{End(V)}</math> heißt nilpotent, falls <math>$f^r = 0</math> für ein <math>r \in \mathbb{N}</math>.

Eine Aussage dazu lautet: Die Komposition nilpotenter Endomorphismen ist nilpotent.

Intuitiv scheint mir diese Aussage falsch zu sein. Ist mit folgender Konstruktion ein Gegenbsp. gefunden?

Seien <math>f,g \in \emph{End($\mathbb{R}^2$)}</math> und sei <math>(e_1,e_2)</math> die kanonische Basis des <math>\mathbb{R}^2</math>. Definiere für <math>f(e_1)=e_2  \emph{ und }  f(e_2)= (0,0)^T</math>, sodass also <math>f^2(e_1)=0</math>. Weiters sei <math>g(e_2)= e_1, g(e_1)=(0,0)^T</math>. Dann liefert dies ein Gegenbsp. zur Aussage, denn <math>(f\circ g)=id_V</math>. Damit existiert kein <math>r \in \mathbb{N}</math>, sodass <math>(f\circ g)^r = 0</math>.

MfG
Rubato




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Curufin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.08.2006
Mitteilungen: 1689
Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-10-11


Hey,

das ist leider kein Gegenbeispiel. Die Komposition ist nicht die Identität.
Sie kann es auch gar nicht sein, da für Endomorphismen in endl.-dimensionalen Vektorräumen die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv zusammenfallen. Deine Abbildung ist aber ganz offensichtlich nicht injektiv.

Viele Grüße

Edit: Sorry, zu stark auf den Fehler konzentriert. S.u.



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BerndLiefert
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 437
Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2016-10-11


Hi,

die Komposition ist zwar nicht die Identität. Trotzdem ist sie ein Gegenbeispiel zur Behauptung.


-----------------
Vorsitzender der Reptiloidengilde
Träger des großen Aluhutes
Kartograph der Chemtrailflüge
Freund Gaias

An algebraic structure with less than three elements shouldn't be called a group.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3732
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-10-11


Ich würde das einfach so aufschreiben:

<math>\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
 
Diese Matrix ist idempotent und nicht <math>0</math>, also nicht nilpotent.



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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45956
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2016-10-11


Hi Rubato,
die richtige Aussage lautet, dass das Produkt vertauschbarer nilpotenter Abbildungen wieder nilpotent ist.
Das heißt, aus f, g nilpotent und f°g = g°f folgt f°g nilpotent.
Gruß Buri



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