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Mathematik » Zahlentheorie » Collatz-Vermutung
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Kein bestimmter Bereich Collatz-Vermutung
blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-10-13


Hallo,
ich glaube ich habe einen neuen kleinen Baustein der Collatz Vermutung gefunden.

<math>\begin{pmatrix}
4 & 1 & 2 & 4 & 8 & \ldots & \infty\\
10 & 3 & 6 & 12 & 24&\ldots & \infty\\
16 & 5 & 10 & 20 & 40 & \ldots& \infty\\
22& 7 & 14 & 28 & 56 & \ldots& \infty\\
28&9 & 18 & 36 & 72 & \ldots & \infty\\
34& 11 & 22 & 44 & 88 & \ldots & \infty\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ \\
\infty & \infty & \infty & \infty & \infty & \ & \infty\\
\end{pmatrix}</math>

In dieser Matrix sind die Äste  des Collatzbaumes chronologisch nach ungeraden Zahlen aufgelistet. Beginnend mit der kleinsten ungeraden Zahl 1.
Es geht mir darum zu zeigen, dass es eine Schranke gibt wie oft hintereinander eine "ungeraden Operation" zu einer Reihe führt, die unterhalb der jeweiligen "ungeraden Operation" liegt.
Erklärung:
Grundsätzlich lassen sich die Reihen (Äste) in zwei Arten einteilen. Die eine Hälfte führt zu Reihen unterhalb und die andere Hälfte logischerweise dann zu Reihen oberhalb der Reihe. Ausnahme natürlich die erste Reihe die auf sich selber zeigt.
Sehen wir uns die Reihen mal genauer an.
Die zweite Reihe führt auf die dritte Reihe. Die vierte Reihe führt auf die 6. Reihe... Die 6. Reihe führt auf die 9. Reihe... Jede zweite Reihe führt also "weiter weg".
Wenn eine Reihe zu einer Reihe führt die eine gerade Anzahl von Reihen unterhalb "entfernt" liegt, dann führt die nächste Reihe auch wieder zu einer Reihe die unterhalb liegt.
Beispiel:
2. führt auf die 3. Eine ungerade Anzahl von Reihenunterschied also wird die nächste Reihe wieder nach "oben"führen... Die 4. führt auf die 6. Eine gerade Zahl von Schrittweite. Also führt der nächste auch weiter nach unten...
Um das ganze etwas abzukürzen.
Die Reihen die <math>2^n</math> Reihen nach unten führen haben immer die meisten hintereinanderfolgenden Operation wo nach unten gerutscht wird. In diesem Fall ist die Anzahl der hintereinanderfolgenden Schritte die naCh unten führen genau <math>\frac{2^n}{2}</math>
Nie mehr...
Beispiel: Wenn eine Reihe auf eine andere Reihe führt die 16 Reihen nach unten entfernt ist, dann wird es 8 mal hintereinander passieren, dass die Reihen weiter nach unten führen.
Wenn eine Reihe 64 Reihen nach unten führt, dann wird es noch 32 mal hintereinander passieren dass es nach unten geht...
Noch etwas: Mersenne Zahlen haben immer die größte Anzahl von hintereinanderfolgenden "ungeraden Operationen" die nach unten führen.
Die 27 führt zum Beispiel auch deshalb so weit weil sie im zweiten Schritt auf die 31 führt!

Kann das jemand beweisen? Oder ist das schon bekannt?



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Gruß blindmessenger



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-10-13


Hi blindmessenger,

ich kann nicht ganz nachvollziehen, was genau du meinst. Du solltest die Beispiele genauer formulieren, also mit konkreten Zahlen.

Wenn du folgendes meinst, was die roten Pfeile darstellen?

Das ist nur die (3x+1)/2 Operation für eine bestimmte ungerade Zahl x=4a+3, wobei a eine beliebige natürliche Zahl ist. Diese führt immer auf eine größere ungerade Zahl. Das wäre der Beweis für diese Beobachtung, denn du erhälst so immer 6a+5. Wenn es das ist, was du meinst.

Allgemein: Ich würde von dieser Matrix-Darstellung abraten, denn du wendest ja keine Matrizen-Operationen an. Dazu verwendest du auch noch Ausdrücke aus der Graphentheorie (Ast), obwohl da kein Baumdiagramm zu sehen ist. Ich sehe da in der 2. Reihe die ungeraden Zahlen. Die Zeilen sind nach rechts die Verdopplung, also immer gerade, und nach links die 3x+1 Operation als erster Eintrag. Das ist natürlich trivial und sagt erstmal nichts über den Verlauf einer Collatzfolge aus, außer dass jede gerade Zahl auf eine ungerade führt.

Vielleicht solltest du die Beispiele mit einem wirklichen Baumdiagramm verdeutlichen, also mit gerichteten Kanten.

Gruß, Slash


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


2016-10-13 13:03 - Slash in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi blindmessenger,

ich kann nicht ganz nachvollziehen, was genau du meinst. Du solltest die Beispiele genauer formulieren, also mit konkreten Zahlen.

Wenn du folgendes meinst, was die roten Pfeile darstellen?

Das ist nur die (3x+1)/2 Operation für eine ungerade Zahl x. Diese führt immer auf eine größere ungerade Zahl. Setze für x einfach 2a+1 ein. a ist dann eine beliebige natürliche Zahl. Das wäre der Beweis für diese Beobachtung, denn du erhälst so immer 3a+2. Wenn es das ist, was du meinst.



Jetzt weiß ich auch endlich was (3x+1)/2 Operation bedeutet...
O.K. Aber war auch schon bekannt wie oft eine ungerade Zahl hintereinander auf eine grössere ungerade Zahl führt? Mehr wollte ich gar nicht zeigen...


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


2016-10-13 13:03 - Slash in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi blindmessenger,

ich kann nicht ganz nachvollziehen, was genau du meinst. Du solltest die Beispiele genauer formulieren, also mit konkreten Zahlen.
en Kanten.

Gruß, Slash

Man kann mit dieser Matrix zeigen, dass es eine Schranke gibt wie oft hintereinander eine ungerade Zahl auf eine größere ungerade Zahl führt.


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


Beispiel 31
Die Zahl 31 führt 16 mal auf eine größere ungerade Zahl bevor sie wieder auf eine kleinere ungerade Zahl führt...
Die Zahl 127 führt 64 mal auf eine größere ungerade Zahl bevor sie wieder auf eine kleinere ungerade Zahl führt...


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Gruß blindmessenger



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2016-10-13


Sorry, es muss heißen: a ist dann eine beliebige ungerade Zahl. Ich habe Beitrag 1 jetzt korrigiert und verdeutlicht.

Man kann "formelmäßig" zeigen nach wie vielen Iterations-Schritten eine (ungerade) Startzahl auf eine kleinere (Stoppzeit) bzw. größere (negative Stoppzeit) Zahl führt. Dazu muss man die Startzahlen in spezielle Restklassen einteilen. Allgemein, also für die Unendlichkeit, ist dieses Problem noch nicht gelöst. Die Anzahl dieser Restklassen kann man sogar per Formel/Algorithmus erzeugen. Hier für kleinere Zahlen. Könnte man auch noch die genauen Restklassen bestimmen, dann hätte man einen Beweis für die Vermutung. Daran arbeite ich die letzten Jahre - an einem Algorithmus für die Restklassen. ...der dann hoffentlich einen Beweis ermöglicht wink

Hier ist ein älterer Artikel* von mir auf Deutsch dazu, der auch die negativen Stoppzeiten behandelt: Über das Stoppzeit-Verhalten der Collatz-Iteration (2010)

Gruß, Slash


*zu dieser Zeit habe ich selbst den Begriff der "Restklasse" noch nicht verwendet. Ich spreche dort von "Formen". Es ist aber eigentlich ganz einfach: Eine Restklasse ist eine unendliche Menge. Genauer: Die Restklasse einer Zahl a modulo einer Zahl m ist die Menge aller Zahlen, die bei Division durch m denselben Rest lassen wie a. (Wiki)




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2016-10-13


@blindmessenger

Ich sehe ähnlich wie Slash den "Nutzen" deiner Matrixdarstellung nicht. Ich würde mir an deiner Stelle einfach überlegen, was von einer ungeraden Startzahl ausgehend die nächste ungerade Zahl in der Collatzfolge ist, was alles gleich viel übersichtlicher macht, da man es von vornherein nur mit ungeraden Zahlen zu tun hat. Da für Zahlen der Form <math>n=4k+1</math> gilt

<math>\frac{3(4k+1)+1}4=3k+1</math>

ist für diese die nächste ungerade Zahl in der Collatzfolge ein Teiler von <math>3k+1</math> und daher jedenfalls kleiner als die Startzahl <math>n</math>. Bei Verwendung eines induktiven Arguments genügt es somit sich die Startzahlen anzusehen, welche kongruent zu 3 mod 4 sind, wobei sich eine "feinere" Fallunterscheidung empfielt, z.B., dass <math>n</math> von der Form <math>n=8k+3</math> bzw. <math>n=8k+7</math> ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


2016-10-13 13:35 - Slash in Beitrag No. 5 schreibt:
Sorry, es muss heißen: a ist dann eine beliebige ungerade Zahl. Ich habe Beitrag 1 jetzt korrigiert und verdeutlicht.

Man kann "formelmäßig" zeigen nach wie vielen Iterations-Schritten eine (ungerade) Startzahl auf eine kleinere (Stoppzeit) bzw. größere (negative Stoppzeit) Zahl führt. Dazu muss man die Startzahlen in spezielle Restklassen einteilen. Allgemein, also für die Unendlichkeit, ist dieses Problem noch nicht gelöst. Die Anzahl dieser Restklassen kann man sogar per Formel/Algorithmus erzeugen. Hier für kleinere Zahlen. Könnte man auch noch die genauen Restklassen bestimmen, dann hätte man einen Beweis für die Vermutung. Daran arbeite ich die letzten Jahre - an einem Algorithmus für die Restklassen. ...der dann hoffentlich einen Beweis ermöglicht wink

Hier ist ein älterer Artikel von mir auf Deutsch dazu, der auch die negativen Stoppzeiten behandelt: Über das Stoppzeit-Verhalten der Collatz-Iteration (2010)

Gruß, Slash

Hi Slash,
mit Graphentheorie und Restklassen kann ich leider nicht dienen, aber vielleicht kann man es auch anders zeigen. Ich habe die starke Vermutung, dass es diese Schranke gibt. Ich versuche es nochmal besser zu erläutern:

Beispiel:

Die ungeraden Zahlen die zu einer größeren ungeraden Zahl führen (jede zweite ungerade Zahl) sind:

3-7-11-15-19...

Untersuchen wir was im ertsen Schritt passiert:

Die 3 führt auf die 5. Die 5 liegt "eine Reihe" oberhalb der 3. Da "eine Reihe" ungerade ist, führt die 5 wiederrum auf eine kleinere ungerade Zahl nämlich die 1.

Die 7 führt auf die 11. Die 11 liegt "2 Reihen" oberhalb der 7. Da "zwei Reihen" gerade sind, führt die 11 wiederum auf eine größere ungerade Zahl nämlich die 17.  

Die 11 führt auf die 17. Die 17 liegt "3 Reihen" oberhalb der 7. Da "3 Reihen" ungerade sind, führt die 17 wiederum auf eine kleinere ungerade Zahl nämlich die 13.

Die 15 führt auf die 23. Die 23 liegt "4 Reihen" oberhalb der 15. Da "4 Reihen" gerade sind, führt die 23 wiederum auf eine größere ungerade Zahl nämlich die 35.

Soweit so gut... Jetzt sehen wir uns das mal in Kurzform an (Gestoppt wird immer dann wenn eine kleinere ungerade Zahl erreicht wird.):

3-5-1
7-11-17-13
11-17-13
15-23-35-53-5
19-29-11
23-35-53-5
27-41-31
31-47-71-107-161-121
35-53-5
39-59-89-67
43-65-49
47-71-107-161-121
51-77-29
55-83-125-47
59-89-67
63-95-143-215-323-485-91

Hier haben wir also ein regelmässiges Muster vorliegen. Für die Mersenne Zahlen (3-7-15-31-63-...) ergeben sich also die längsten Ketten. Und die Anzahl der Zahlen der Reihe einer Mersenne Zahl <math>M_n=2^n</math> ist dann n. Dieses Muster kann man bis ins Unendliche fortsetzen...

 



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


Ich hatte das mal ein bißchen in Excel skizziert...





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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2016-10-13


Ok, eines muss man sich bei unbewiesenen und schwierigen Problemen immer vor Augen halten: Wenn die Lösung ein so einfaches Muster/Verhalten wäre, dann wäre es nie eine Vermutung/Problem geworden. In diesem Fall hätte schon Collatz selbst es gelöst.

Was du mit "Schranke" meinst, verstehe ich nicht. Du meinst aber bestimmt etwas anderes.

Die Zahlen 3, 7, 11, 15, 19, ..., also Zahlen der Form 4k+3, sind die positiven Zahlen der Restklasse 3 modulo 4. (ist also ganz einfach wink )

Du benötigst ein Muster, das erklärt warum jede ungerade Zahl auf eine kleinere führt - nicht mal groß, mal klein.

Gruß, Slash


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


Ich habe mich widersprochen... Der letztere Post zählt in diesem Fall...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


2016-10-13 16:12 - Slash in Beitrag No. 9 schreibt:
Ok, eines muss man sich bei unbewiesenen und schwierigen Problemen immer vor Augen halten: Wenn die Lösung ein so einfaches Muster/Verhalten wäre, dann wäre es nie eine Vermutung/Problem geworden. In diesem Fall hätte schon Collatz selbst es gelöst.

Was du mit "Schranke" meinst, verstehe ich nicht. Du meinst aber bestimmt etwas anderes.

Die Zahlen 3, 7, 11, 15, 19, ..., also Zahlen der Form 4k+3, sind die Zahlen der Restklasse 3 modulo 4. (ist also ganz einfach wink )

Du benötigst ein Muster, das erklärt warum jede ungerade Zahl auf eine kleinere führt - nicht mal groß, mal klein.

Gruß, Slash

Ich wollte nur zum Ausdruck bringen das unter den Zahlen der Form 4k+3 die Mersennezahlen die Zahlen sind die am häufigsten hintereinander auf größere ungerade Zahlen springen... Und zwar immer genau k-mal.


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


2016-10-13 16:12 - Slash in Beitrag No. 9 schreibt:

Was du mit "Schranke" meinst, verstehe ich nicht. Du meinst aber bestimmt etwas anderes.


Gruß, Slash

Mit Schranke meine ich, dass für alle Zahlen gilt, dass sie nicht beliebig lang ("ununterbrochen hintereinander wohlgemerkt") auf größere ungerade Zahlen springen können. Wenn man davon ausgeht, dass die Mersennezahlen die ja alle der Form 4k+3 entsprechen, am häufigsten hintereinander auf größere ungerade Zahlen springen, dann ist k die Anzahl der "größeren ungeraden Zahlen" auf die sie springen bevor sie auf eine kleinere ungerade Zahl treffen. k ist dann die Schranke.


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2016-10-13


2016-10-13 16:18 - blindmessenger in Beitrag No. 11 schreibt:
Ich wollte nur zum Ausdruck bringen das unter den Zahlen der Form 4k+3 die Mersennezahlen die Zahlen sind die am häufigsten hintereinander auf größere ungerade Zahlen springen... Und zwar immer genau k-mal.

Das lässt sich ganz einfach zeigen und beweisen. Probiere es mal.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


Jetzt hast Du mich entmutigt...  frown

Es war also doch schon bekannt...


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-13


Aber damit sind wir der eigentlichen Collatz Vermutung auch noch nicht wirklich näher gekommen...


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Gruß blindmessenger



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2016-10-13


2016-10-13 16:40 - blindmessenger in Beitrag No. 15 schreibt:
Aber damit sind wir der eigentlichen Collatz Vermutung auch noch nicht wirklich näher gekommen...

...nicht wirklich. wink


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2016-10-14


2016-10-13 16:57 - Slash in Beitrag No. 16 schreibt:
2016-10-13 16:40 - blindmessenger in Beitrag No. 15 schreibt:
Aber damit sind wir der eigentlichen Collatz Vermutung auch noch nicht wirklich näher gekommen...

...nicht wirklich. wink
ja ich  hatte mich ich auch mit den schwierigen Zahlen
<math>\equiv 3 \mod 4</math> beschäftigt z.B. 27 läuft selten unterbrochen von vielfachen der  4 , 8,.. sehr hoch bis 9232 um dann rapide zu fallen.
Dies 9232 ist eine Art "magic point" in dem Fall.
Kann man ein MaximumLänge l  angeben nachdem diese genannten 4n-1 Zahlen in günstigere Zyklen aufgehen?

Was sind günstige Zyklen? Solche die sehr schnell durch halbieren in Zahlen <math>\equiv  1 \mod 4</math> laufen, denn 3(4n+1) +1 = 12n+4 =m ist mindestens durch 4 teilbar oder m ist eine höhere zusammengesetzte Zahl der Art  m = 2^n*q, mit n  > 1.


Jürgen



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2016-10-14


@ Jürgen: Diese größten Folgenglieder sind die sogenannten Path records. (Das ist übrigens eine sehr gute und immer aktuelle Seite zum Collatz-Problem. Letzte Aktualisierung war am 10.10.2016)

Was meinst du mit "günstige Zyklen"? Der einzig bekannte Zyklus ist {4,2,1}.

- - - - -

Ich habe mich vor zwei Jahren mit endlichen Teilfolgen für Startzahlen <math>s\equiv3,7\,mod\,12</math> und <math>s\equiv9\,mod\,12</math> beschäftigt. Damit lässt sich "jede" mögliche Collatz-Folge genau beschreiben. Diese Beschreibung ist bewiesen. Die Konsequenzen daraus bleiben eine Vermutung.

Die zahlentheoretische Funktion <math>T(n)=\frac{n}{2}</math> für gerade <math>n</math> und <math>T(n)=\frac{3n+1}{2}</math> für ungerade <math>n</math> generiert für jede Startzahl <math>s\in\mathbb{N}</math> eine Collatz-Folge <math>C(s)=\left(T^k(s)_{k=0}^\infty\right),T^0(s)=s,T^k(s)=T\left(T^{k-1}(s)\right)</math>. Eine <math>C(s)</math> kann nur zwei mögliche Formen annehmen. Entweder sie gerät in einen Zyklus oder sie wächst ins Unendliche. Das kleinste <math>k</math> für das <math>T^k(s)<s</math> gilt, nennt man die Stoppzeit von <math>s</math>. Es wird gezeigt, dass jede <math>C(s)</math> aus gleich strukturierten Teilfolgen <math>C^t(s)=\left(T^k(s)_{k=0}^t\right)</math> für Startzahlen <math>s\equiv3,7\,mod\,12</math> bzw. <math>C^h(s)=\left(T^k(s)_{k=0}^h\right)</math> für Startzahlen <math>s\equiv9\,mod\,12</math> zusammengesetzt ist. Die Struktur und statistische Verteilung der Teilfolgen <math>C^t(s)</math> und <math>C^h(s)</math> lässt sich bezogen auf ihre Länge und Stoppzeit algorithmisch exakt erfassen und beschreiben, u.a. mit Hilfe der Fibonacci-Folge.

Über die Struktur und das Wachstumsverhalten von Collatz 3n + 1 Folgen (2014)

Hier noch besser auf Englisch:

On the structure and the behaviour of Collatz 3n + 1 sequences (2014) (arXiv 1412.0519)

Gruß, Slash


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2016-10-14


Ja, das Collatzproblem ist natürlich ein Eldorado für Hobbymathematiker, da es auf den ersten Blick so aussieht, als würde man nur minimale mathematische Vorkenntnisse benötigen, um gleich "loslegen" zu können, auch wenn es in Wahrheit dann doch nicht ganz so ist. Aber es stimmt schon, man kann mit wenig Aufwand sofort eine Fülle von Eigenschaften dieser Folge entdecken. Nachfolgend ein kleines Beispiel dazu.

Wie mittlerweile klar sein dürfte, genügt es, ungerade Startzahlen n von der Form n=4k+3 zu betrachten. Diesen Fall kann man nun in weitere Subfälle zerlegen, z.B. in die folgenden acht

n=32k+3,32k+7,32k+11,32k+15,32+19,32k+23,32k+27,32k+31

mit gewissen natürlichen Zahlen k. Damit erhält man, wenn ich im Folgenden nur die ungeraden Zahlen in der Collatzfolge anschreibe, folgende Aufstellung (guT=größter ungerader Teiler)

1. 32k+3->48k+5->guT von 9k+1
2. 32k+7->48k+11->72k+17->54k+13->guT von 81k+20
3. 32k+11->48k+17->36k+13->guT von 27k+10
4. 32k+15->48k+23->72k+35->108k+53->guT von 81k+40
5. 32k+19->48k+29->18k+11
6. 32k+23->48k+35->72k+53->guT von 27k+20
7. 32k+27->48k+41->36k+31->54k+47->81k+71->guT von 243k+214
8. 32k+31->48k+47->72k+71->108k+107->162k+161->guT von 243k+242

Die Fälle 1,3,5,6 führen dabei alle sehr bald auf ungerade Zahlen, welche kleiner als die Startzahl sind und können daher als "erledigt" betrachtet werden, während man sich die anderen Fälle noch "genauer" ansehen muss, etwa indem man z.B. statt 32 eine noch größere Potenz von 2 wählt. Z.B. führen ersichtlich auch die Fälle 2 und 4 sofort auf kleinere ungerade Zahlen als die Startzahl, wenn k durch 4 teilbar ist.

Und ja, wenn ich jetzt nicht ganz falsch liege, ist das in etwa die mathematische Präzisierung von dem, was blindmessenger auch macht, würde er statt von "Reihen" in seiner Matrix einfach von den ihnen eindeutig zugeordneten ungeraden Zahlen in der 2.Spalte sprechen.



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kurtg
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Gibt es eigentlich auch Artikel von ernsthaften Mathematikern, die sich mit dem Collatz-Problem beschäftigt haben?



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blindmessenger
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2016-10-14 10:32 - kurtg in Beitrag No. 20 schreibt:
Gibt es eigentlich auch Artikel von ernsthaften Mathematikern, die sich mit dem Collatz-Problem beschäftigt haben?

Mensch, lass doch dem einäugigen Huhn auch mal sein Korn...  frown


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2016-10-14


2016-10-14 10:32 - kurtg in Beitrag No. 20 schreibt:
Gibt es eigentlich auch Artikel von ernsthaften Mathematikern, die sich mit dem Collatz-Problem beschäftigt haben?

Aber sicher! Führende Experten sind hier u. a. Jeffrey Lagarias und Günther Wirsching. Wikipedia gibt da einen guten Überblick. Die Literaturangaben (References) in jedem professionellen Artikel sind übrigens immer eine Fundgrube für weitere "ernsthafte" Arbeiten.

Die vielen professionellen Arbeiten (alle in Englisch) dazu sind aber für Amateure wie mich so gut wie nicht zu verstehen. Dazu bedarf es eines Mathematikstudiums mit Spezialisierung auf Zahlentheorie.

Das PDF "Das Collatz–Problem" von Dieter Wolke ist die beste deutsche Einführung für Laien zu diesem Thema. Etwas schwieriger, aber auch noch gut zu verstehen ist das PDF "Über das 3n + 1 Problem" von Günther Wirsching. Beides sehr zu empfehlen. Findet man gratis im Netz.

Gibt es einen Beweis für die Collatz-Vermutung? ist ein kurzer einfacher populärwissenschaftlicher Artikel.

Es besteht auch immer noch die Möglichkeit, dass die Collatz-Vermutung "nicht beweisbar" ist.

Gruß, Slash


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-14


Sorry, aber ich muss jetzt nochmal auf meine Muster zurückgreifen...
Hier nochmal eine "Schrittweiten" Grafik zum genauen Muster der "Collatzentwicklung".
In der ersten Spalte befinden sich die ungeraden Zahlen auf die sich die "Schrittweiten" beziehen. Die zweite Spalte sind positive Zahlen, dass heisst sie führen auf eine größere ungerade Zahl. Man kann hier schön sehen, dass jede zweite Reihe auf eine größere ungerade Zahl führt. Und auch das sich bei diesen Zahlen die "Schrittweite" immer um 1 Reihe erhöht.

Beispiel: Die erste ungerade Zahl die auf eine höhere ungerade Zahl springt ist die 3. Sie springt um 1 Reihe. Die zweite ungerade Zahl die auf eine höhere ungerade Zahl springt ist die 7. Sie springt um 2 Reihen. Das führt sich so fort...

In den folgenden Spalten passiert es ähnlich, nur das hier nicht auf eine größere ungerade Zahl gesprungen wird sondern auf eine kleinere. Das habe ich durch das Minuszeichen ausgedrückt.

Auffällig ist, dass sich von Spalte zu Spalte die Häufigkeit halbiert. 50%-25%-12,5%-6,25%...





[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2016-10-14


2016-10-14 10:32 - kurtg in Beitrag No. 20 schreibt:
Gibt es eigentlich auch Artikel von ernsthaften Mathematikern, die sich mit dem Collatz-Problem beschäftigt haben?

Mir würde als allererstes das  Paper von Lagarias hier einfallen, ohne aber wirklich ein Experte auf diesem Gebiet zu sein. Eines ist mir aber bei meiner Beschäftigung damit vor vielen Jahren sehr schnell klar geworden: Es ist nicht so leicht , wie es aussieht. Oder mit den Worten von Erdös: Mathematics is not yet ready for such problems.  wink

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2016-10-14


@ blindmessenger: Das Problem bei Collatz-Bäumen ist folgendes: Das Collatz-Problem ist für alle Startzahlen bis ca. 2^60 bestätigt. Das bedeutet, dass bis zu dieser Grenze auch alle Collatz-Bäume in sich schlüssig sind, also voll von Mustern. Daraus kann und darf man aber nicht auf die Unendlichkeit schließen. Denn wenn es mindestens einen weiteren Zyklus gibt oder auch nur eine Collatzfolge ins Unendliche wächst, dann fehlen auch "unendlich" viele Zahlen in dem Collatz-Baum mit Wurzel 1. Zeichnungen helfen hier also nicht weiter.

Das alles sollte einem aber nicht die Freude am Selberforschen und selbst Entdecken nehmen. Man muss nur vorsichtig mit Schnellschlüssen sein und immer seine eigenen Ergebnisse mit schon vorhandenen abgleichen. Zum Beispiel hier im Forum.


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-14


Ich wollte damit auch nichts beweisen... Ich kann ja gar nicht beweisen... Aber ich habe die starke Vermutung, dass sich dieses Muster so weiter generiert... Das wird nicht abbrechen...


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2016-10-14


2016-10-14 11:08 - blindmessenger in Beitrag No. 26 schreibt:
Ich wollte damit auch nichts beweisen... Ich kann ja gar nicht beweisen... Aber ich habe die starke Vermutung, dass sich dieses Muster so weiter generiert... Das wird nicht abbrechen...

Eben! Das kann man nur vermuten. Davon hat aber niemand etwas. Das ist wie an Gott glauben. wink

Und ein Collatz-Baum mit Wurzel 1 wird sich auch so weiterbilden, wenn unendlich viele Zahlen fehlen. Da wird nichts abbrechen, wenn die Collatz-Vermutung falsch ist. Das muss man sich mal klar machen.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2016-10-14


2016-10-14 07:20 - Slash in Beitrag No. 18 schreibt:
@ Jürgen: Diese größten Folgenglieder sind die sogenannten Path records. (Das ist übrigens eine sehr gute und immer aktuelle Seite zum Collatz-Problem. Letzte Aktualisierung war am 10.10.2016)

Was meinst du mit "günstige Zyklen"? Der einzig bekannte Zyklus ist {4,2,1}.


Die 2 Colltzregeln sind wie folgt
Die erste Collatzregel lautet:
<math>\displaystyle\forall n  \equiv 1 \mod 2 : n\Rightarrow 3n+1</math>,
Die zweite Collatzregel lautet:
<math>\displaystyle\forall n  \equiv 0 \mod 2 : n\Rightarrow n/2</math>.
Die 4n+1 Zahlen nennen wir Typ A
4n-1 Zahlen nennen wir Typ B
4n Zahlen nennen wir Typ C
Reine 2n Zahlen nennen wir Typ D, 6,10,14,18.. =4n+2

Jede Zahl a vom Typ A,  <math>a \equiv 1 \mod 4</math> ist, wird durch die erste Collatzregel derart abgebildet:

<math>a \Rightarrow 3a+1</math> und damit <math>a=(4n+1), 3a + 1 = 12n+4 \equiv 0\mod 4</math>. und damit auf ca. 75% reduziert.
Bei höherern 2er Potenzen z.B 13 ->30 nach Anwendung von Regel 1 angewandt auf Typ A ist die Reduktion noch besser!
Der günstigste kleine Fall wäre 5 -> 16-> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

Typ A Zahlen werden also durch Regel 1,2,2 immer um ca. 25% reduziert.

Regel 1,2,2: <math>4n + 1 \Rightarrow (12n+4) /4 \Rightarrow 3n+1, 9\Rightarrow 28 \Rightarrow 7</math>.
Allgemein Regel 1,2,2 heißt: 1 mal Regel 1 , 2 mal mit Regel 2:
<math>n\Rightarrow  3n+1\Rightarrow \frac{3n+1}{2}\Rightarrow \frac{3n+1}{4} </math>
<math>17 \Rightarrow 52 \Rightarrow 26 \Rightarrow 13</math>
<math>13 \Rightarrow 5</math>. (besser als 75 %, hier ca. 38% da 40 durch 8 teilbar)
<math> 9 \Rightarrow 7</math>.
<math> 51 \Rightarrow 41</math>.
<math> 41 \Rightarrow 31</math>.
 usw.

 Typ B sind die ungünstigen Zahlen wie 27, die in sehr hohe "Path-records"  Mx(27) = 9232 laufen, wie in Beitrag 17 erwähnt.
 9232 nenne ich günstig.
 9232 lässt sich durch 16 teilen geht in eine Typ A Zahl und  diese ist wie oben gezeigt dann wieder durch 4 teilbar ergibt 433.
 Diese würde ich günstig nennen, wenn sie auf sagen wir 10% oder besser fallen. Die 10% sind von mir willkürlich gesetzt. Bei 9232 sind es sogar 4,7%.
 1. auch diese könnten wieder hochlaufen.
 2. auch diese könnten in Endlosschleifen geraten.
 3. Können wir zeigen dass auch Typ B Zahlen in eine andere Zahlenreihe übergehen, die dann "zerfällt", d.h. in den 1 er Zyklus kommt?
 4. Können wir zeigen dass günstige Zahlen zerfallen?
 5. Können wir eine Regel für günstige Zahlen erstellen?
 
 Mit zerfallen meine ich zu 1 werden, bzw. in den 1,2,4 Zyklus laufen, was dasselbe ist.
 
Jürgen

P.S das ist etwas in die Kladde gedacht, aber ich weiß nicht ob schon erwähnt oder erwähnenswert.
ich wollte das genauer ausarbeiten, aber da es grad zur Sprache kommt...




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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2016-10-16


Ich habe mal auf YouTube nach neuen Videos zum Collatz-Problem gesucht und bin fündig geworden. Es gibt übrigens nicht vieles Videos zum Thema.

The Collatz Conjecture - Numberphile: Allgemeines und nichts Neues, aber trotzdem sehenswert.

Collatz and Self Similarity: Collatz-Fraktal, sehr gut erklärt.

Gruß, Slash


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2016-10-16


Vielleicht auch ganz betrachtenswert:

Die Liste der Stopzeiten "Anzahl der Schritte bis zum Erreichen der 1" bei OEIS, und hier vielleicht besonders der "Scatterplot" (ein bissl runterscrollen auf der Seite):

oeis.org/A006577/graph

Hier ist noch eine Seite und insbesondere die Liste der "Path Records", ich frage mich gerade, ob man für die dort angegebenen 88 Zahlen, die besonders lange Sequenzen erzeugen, ein Schema finden kann?

www.ericr.nl/wondrous/pathrecs.html

Und nein, ich werde mich mit dem Thema nicht weiter beschäftigen (schmunzel) es könnte sich sonst zu einem argen Zeitfresser entwickeln...

Grüsse und einen schönen Sonntag
gonz


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-16


Bei Interesse nochmal die ganze Exceltabelle...

www.file-upload.net/download-12020065/collatzStammbaum_3n1.7z.html


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-16


Hier noch eine schöne Zahlenreihe von ungeraden Zahlen die als nächste ungerade Zahl die 1 besitzen:

5-21-85-341-1365-5461-21845-87381-...

Auffällig viel Pseudoprimzahlen darunter...  wink


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2016-10-16


@blindmessenger

Meintest du Zahlen der Form (4^k-1)/3 ?



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2016-10-16


Ja genau...


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, eingetragen 2016-10-16


2016-10-16 13:17 - gonz in Beitrag No. 30 schreibt:
Vielleicht auch ganz betrachtenswert:

Die Liste der Stopzeiten bei OEIS, und hier vielleicht besonders der "Scatterplot" (ein bissl runterscrollen auf der Seite):

oeis.org/A006577/graph
Grüsse und einen schönen Sonntag
gonz

Wenn mit stoptime die Länge der Reihen von n bis 1 (oder bis 1-2-4) gemeint ist, so könnte man einen Logarithmus(n) als obere Abschätzung vermuten.
Dann wäre die Möglichkeit der "unendlich" hochlaufenden Reihe  ausgeschlossen.
Noch nicht das (ver-)Enden in einem anderen Zyklus außer 1-2-4
Jürgen





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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, eingetragen 2016-10-16


2016-10-16 13:51 - blindmessenger in Beitrag No. 32 schreibt:
Hier noch eine schöne Zahlenreihe von ungeraden Zahlen die als nächste ungerade Zahl die 1 besitzen:

5-21-85-341-1365-5461-21845-87381-...

Auffällig viel Pseudoprimzahlen darunter...  wink

Das sind die ungeraden Zahlen, die als nächstes auf eine Zweierpotenz führen. Gleichzeitig ist diese "n -> 4n+1" Entwicklung (Rückwärtsprozess) das wagerechte Konstruktionsschema einer jeden Zahl in (meinem) ungeraden Collatz-Baum, der auch die Vielfachen von 3 mit integriert hat. So gibt es nur zwei Entwicklungsrichtungen - nach unten und nach rechts. Siehe hier: Collatz Tree

Interessanter Beweisansatz: Prof. Wirsching meinte, dass man mit Hilfe der "Nachbarschafts-Teilgraphen" (siehe Link) einen Grenzwert nachweisen könnte - wie genau man das machen könnte ist aber nicht klar und wohl auch höllisch komlipziert.

Innerhalb dieses Baums lässt sich auch ein grobes Ordnungsprinzip erkennen. Näheres dazu hier ab Seite 5. Ein Beweis ist das natürlich nicht.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, eingetragen 2016-10-17


2016-10-14 12:57 - juergen007 in Beitrag No. 28 schreibt:
2016-10-14 07:20 - Slash in Beitrag No. 18 schreibt:
@ Jürgen: Diese größten Folgenglieder sind die sogenannten Path records. (Das ist übrigens eine sehr gute und immer aktuelle Seite zum Collatz-Problem. Letzte Aktualisierung war am 10.10.2016)

Was meinst du mit "günstige Zyklen"? Der einzig bekannte Zyklus ist {4,2,1}.


Ich stieß auf jene Zahl wie 9232, die wohl als path_record im Sinne von Rekord und nicht im Sinne von Aufzeichnung zu verstehen ist.
Ich hatte einfach die Collatz-Ketten bis x=200 gerechnet, und speziell obige kommt natürlich sehr oft vor. Ist das wirklich SO natürlich und warum gerade die? nur so am Rande...
9232 = 2^4 * 577 ist ein Path-record, die ja oben in einem der ziterten Arbeiten genannt wurde.
Kommt etwa oder genauso oft wie ihr Vorgänger 3077 = 17*181.
Nun das ist alles nicht sensationell.
Mein Idee ist wie folgt:

Wir als MP-Super-Team (Bat määän )schmeißen uns zusammen mit allen Ideen, Literturkenntnissen, anderen Erfahrungen und LÖSEN das Collatz Problem!?
Das wär doch was!
Ich habe Dutzend Ideen zu der Herangehensweise ohne eins der Altliteratur zu kennen.
Die Idee z.B. mit dem Reverse rechnen kam mir neulich nacht bevor das hier erwähnt wurde.
Ich Mag  aber nicht alle meine Gedanken und Ansätze posten, aus dem zugegeben "egoistischen" Grunde, dass sich einer meine Idee greift, und schnell sauber und schlüssig als Beweis präsentiert, besser als ich das vermag auf welcher Plattform auch immer!
Andern mag es ähnlich gehen mit diese Bedenken. Man möchte ja nicht übergangen werden auf dem Treppchen, oder?
Mir wäre aber ein ungebremster Austausch lieber. Und die anderen und ich vorläufiger Deckname
mp@wir-zusamme.collatz.id.de oder so.

Wir würden dann wenn überhaupt denkbar, als ein Team und Teammitglied Ruhm und Ehren teilen mit allen Beteiligten.
Wenn nicht dann machts auf jeden Fall Spaß!
Kohle gibts eh nicht, oder?

Aber das wäre doch ein fantastische Werbung für unseren Matheplanten was meint ihr?

Evtl. nur für angmeldete Leute sichtbar, und beschreibbar, das sollte machbar sein.
Ich halte das für lösbar.
Wie Wiles auch an Fermat glaubte und Mochizuchi an seinen Teichmüller
Und 40 Augen sehen mehr als 38.

Ok?
Bitte um Feedback

Jürgen vom andern Stern äääh nee also eben dem Mathestern;)









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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, eingetragen 2016-10-17


2016-10-13 11:42 - blindmessenger im Themenstart schreibt:
Hallo,
ich glaube ich habe einen neuen kleinen Baustein der Collatz Vermutung gefunden.
Die 27 führt zum Beispiel auch deshalb so weit weil sie im zweiten Schritt auf die 31 führt!

Kann das jemand beweisen? Oder ist das schon bekannt?



Alle Zahlen <math>b \equiv 3 \mod 4</math> führen in sehr hohe Ketten
also auch 27 ,31, 35...
<math>\displaystyle 27=2*14-1, 3*27+1=3*(2*14-1)+1=6*14-2 \rightarrow 3*14-1 = 41, 41  \equiv 1 \mod 4 \rightarrow 31</math>.
Einige Schritte übersprungen.

HTH
Jürgen

P.S wenn wir zeigen können dass alle Zahlen <math>\equiv 0,1,2,3 \mod 4</math> notwendig zu kleineren Zahlen führen sind wir dann nicht fertig?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, eingetragen 2016-10-17


2016-10-14 10:00 - weird in Beitrag No. 19 schreibt:
Wie mittlerweile klar sein dürfte, genügt es, ungerade Startzahlen n von der Form n=4k+3 zu betrachten. Diesen Fall kann man nun in weitere Subfälle zerlegen, z.B. in die folgenden acht

n=32k+3,32k+7,32k+11,32k+15,32+19,32k+23,32k+27,32k+31

mit gewissen natürlichen Zahlen k. Damit erhält man, wenn ich im Folgenden nur die ungeraden Zahlen in der Collatzfolge anschreibe, folgende Aufstellung (guT=größter ungerader Teiler)

1. 32k+3->48k+5->guT von 9k+1
2. 32k+7->48k+11->72k+17->54k+13->guT von 81k+20


also k=1
1. 35 53, 160,80,40,20,10,5.. was ist da ein ungerader Teiler von was?
5 von 35? aber nicht 10=9k+1.


2.
39,59,89,67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26, 13,40,20,10,5,16,8,4,2,1


Auch hier: was ist da ein ungerader Teiler von was? Die 13 von 39! aber nicht 101.
oder 101 von 202?
Danke aber was genau meinst du und was sagt uns das?
sincerely
Jürgen



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