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Mathematik » Stochastik und Statistik » Bedingte Wahrscheinlichkeiten
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Universität/Hochschule J Bedingte Wahrscheinlichkeiten
StoStaB
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.11.2016
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-11-10


Hallo, ich grübel hier an einer Aufgabe, vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Die Aufgabe lautet:
Wir haben <math>10^3-1</math> faire Münzen und eine Münze beidseitig mit Kopf. Es wird zufällig eine der <math>10^3</math> Münzen geworfen. Es fällt 10 mal Kopf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine faire Münze ausgewählt wurde.

Mein Ansatz:
Bedingte Wahrscheinlichkeit mit folgender Formel:
<math>P(A|B) = P(A \cap        B) / P(B)</math>



<math>\Omega = \{K,Z\}^{10}        </math>

Jetzt brauche ich ja A, B und A geschnitten B, da hab ich schon Probleme.
Ich glaube:
Ereignis B: 10 mal Kopf mit fairer Münze. Das wäre dann:

<math>P(B) = 1/{2^{10}}</math>

Oder muss ich für B schon beachten, dass die Möglichkeit der unfairen Münze besteht?

Für A habe ich auch keinen Ansatz?



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5160
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-10


Hallo StoStaB,
willkommen auf dem Matheplaneten.

Du willst doch die W'keit berechnen, dass die Münze fair ist. Du hast due Zusatzinfo, dass zehn Mal Kopf gefallen ist.

Also ist P(A|B) zu berechnen, wobei A = "Münze ist fair" und B = "es fiel zehn Mal Kopf".

 



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StoStaB
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.11.2016
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-10


Hallo StrgAltEntf,

danke für den Tipp. Ich probiere über <math>\Omega</math> daranzugehen, ist das ein richtiger Weg?

Ansatz :1
Eigentlich müssen doch A und B Untermengen von <math>\Omega</math> sein, oder?
Dann würde ich <math>\Omega</math> anders bilden. Ich suche im Kopf immer irgendwie nach der Schnittmenge A und B, und probier mir dann daraus die Mengen A und B abzuleiten.
Für <math>\Omega</math> bin ich daher irgendwann bei dem Kartesischen Produkt gelandet. <math>\Omega = \{K,Z\}^{10} \times \{1,...,10^3\}</math> , wobei die zweite Menge die durchnummerierten Münzen sind (1 = unfair), gelandet. Oder ist das ein Holzweg?


Ansatz 2:
Zu deinen Aussagen
A = "Münze ist fair": <math>P(A) = 1- P(A^c) = 1/10^3</math> , wenn ich eine beliebige Münze ziehe (Laplace).

Das krieg ich nicht mit dem Omega aus Ansatz 1 zusammen, weil da will Laplace nicht.

B = "es fiel zehn Mal Kopf" : Würde ich so rechnen, wie im Eingangsthread. Stehe ich wahrscheinlich auf dem Schlauch und würde ich auch nicht mit dem Omega aus Ansatz 1 zusammnkriegen.

Danke jedenfalls für deine Hilfe.
StoStaB



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-11-10


Hallo StoStaB

Ich würde mich nicht so mit Omega aufhalten, sondern nur den Satz von Bayes anwenden.

Welche Ereignisse gibt es:
<math>F \ "faire \ Mnze", U \ "unfaire \ Mnze", Z \ "Zehn \ Mal \ hintereinander \ Kopf"</math>

Wir suchen die W'kt dafür, dass wir eine faire Münze haben unter der Bedingung wir werfen zehn Mal hintereinander Kopf.
Formal so notiert:<math>p(F|Z)</math>
Nach dem Satz von Bayes(Satz über die bedingten W'kten) wird das so berechnet:
<math>p(F|Z)=\frac{p(Z|F) \cdot p(F)}{p(Z)}</math>
Beachte zur Berechnung der W'kt im Nenner, dass es zwei Möglichkeiten gibt zehn Mal hintereinander Kopf zu werfen, nämlich mit einer fairen oder unfairen Münze.



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StoStaB
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.11.2016
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-12


Hallo fermat63,

dir auch erst mal Danke, dass du dich mir angenommen hast  wink .

Wenn ich die Wahrscheinlichkeiten so vollständig zerpflücke und alle einzeln betrachte, sage ich:
F: faire Münze
U: unfaire Münze
Z: Zehnmal hintereinander Kopf

<math>P(F) = 999/10^{3}</math>
<math>P(U) = P(F^c) = 1- P(F) = 1/10^3</math>

<math>P(Z) = (999*(1/2^{10}) + 1* 1)/1000</math>
und

<math>P(Z | F) = 1/2^{10}</math>


Allerding vermute ich hier mit großer Wahrscheinlichkeit smile schon einen Fehler.
Aber ich mache mal weiter mit der Formel und setze ein:

<math>P(F|Z) = ((999/10^3)*(1/2^{10}))/(((999/2^{10})+1)/1000) \approx        0,4938</math>

Schöne Grüße
StoStaB



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2016-11-12


Hallo StoStaB

Alles korrekt, bis auf den Zahlenwert der ges. W'kt.
Ich habe da aufgerundet 0,33 heraus.



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StoStaB
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.11.2016
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-12


Vielen Dank fermat63!

Ich hatte insbesondere die Formel nicht mehr auf dem Schirm, sondern die mit den geschnittenen Ereignismengen, und will - wie du ja gemerkt hast - immer über das Omega gehen, so ist es aber doch einfacher.

Allerdings verunsicherst du mich jetzt mit deinen 0,33. Entweder da liegt irgendwo ein Rechenfehler vor, oder ich habe doch noch einen Fehler.
Meine Rechnung sieht so aus:




Danke aber für deine Hilfe!



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2016-11-12


Dein Ergebnis stimmt.



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StoStaB
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.11.2016
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-13


Danke fermat63,
du hast mir auf jeden Fall geholfen!



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