(a)  a_n := sum((-1)^k ((k+1)^(k-1))/k^k,k=1,n) 

(b) b_n :=  sum((sqrt(k+1)-sqrt(k)),k=1,n) 

(c) c_n :=  sum((1+(-1)^k*k)/k^2,k=1,n)

Man kann allerdings zu einer Reihe sum(a_n,n=0,\inf) die Reihe sum(abs(a_n),n=0,\inf) aus den Absolutbeträgen bilden.

(a) nach dem Leibniz Kriterium gilt, ist (k+1)^(k-1)/k^k eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert sum((-1)^k*(k+1)^(k-1)/k^k,k=1,n).

Zeige Nullfolge: 

(k+1)^(k-1)/k^k = (k(1+1/k)^(k-1))/k^k = k^(k-1)(1+1/k)^(k-1)/(k*k^(k-1)) = (1+1/k)^(k-1)/k.
Betrachtet man nun den lim(x->\inf,((1+1/k)^(k-1)*1/k)).
Weil 1/k eine Nullfolge und die andere Folge beschränkt ist haben wir insgesammt eine Nullfolge.

Zeige Monotonie :

(k+1)^(k-1)/k^k >= (k+2)^(k)/(k+1)^(k+1)
(k+1)^(k-1)/k^k - (k+2)^(k)/(k+1)^(k+1)>= 0
(k+1)^k*((1+1/k)^k-((k+2)^(k)/(k+1)^k))/((k+1)^k *(k+1) 
((1+1/k)^k -(1+1/(1+k))^k)/(1+k)>=0
Es gilt der Zähler ist Positiv und der Nenner ist positiv und somit ist die Ungleichung gezeigt.

Aufgabe b :

Durch Erweitern erhält man
1/(sqrt(k+1)+sqrt(k)) <= 1/sqrt(k) >= 1/k .

Da gilt sum((1/k),k=1,n) divergiert, haben wir eine Minorante gefunden.

Aufgabe c : Wie vom Küstenkind bereits dargestellt, konvergiert sum((1/k^2),k=1,n) und bei der anderen Reihe lässt sich die Konvergenz mit dem Leibniz Kriterium feststellen.