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Analysis » Folgen und Reihen » Reihen ?
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Universität/Hochschule J Reihen ?
HarryPotter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-12-29


Guten Abend

Folgende Aufgabenstellung :

fed-Code einblenden

Durch Abwesenheit in der letzen Vorlesungswoche bin ich mir nun nicht sicher, ob ich es mit einer Reihe zu tun habe oder nicht.
Würde wegen den Summen zu Reihen tendieren.

Falls es Reihen sind, wie wären da die Lösungswege, also wie gehe ich da vor so was zu lösen.

Vielen Dank schon mal mfg



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wessi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-12-29


Hallo,

die Frage ist zunächst, was denn die Aufgabe ist. Ich vermute, du willst untersuchen, ob die Reihen konvergieren, also ob der Grenzwert <math>n\to\infty</math> existiert und endlich ist.

Dazu hattet ihr in der Vorlesung bestimmt Kriterien kennengelernt, die du am besten irgendwo nachguckst.



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umlaufsatz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2016-12-29


Kurze Klärung von „Reihe“/„Folge“: Folgen kennst du, das sind eigentlich Funktionen <math> \mathbb{N} \to \mathbb{R} </math>. Reihen sind speziell aufgeschriebene Folgen, und zwar Folgen, bei denen die Folgenglieder durch <math> a_n := \sum\limits_{i = 0}^n b_i </math> gegeben sind (wobei <math> (b_n) </math> eine Folge sei).



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HarryPotter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-29


Ich soll diese Reihen auf Konvergenz unstersuchen.
Ich mache mich gleich nochmal schlau. Soweit ich weiß muss man unterscheiden zwischen unendlichen Reihen und absuluten Reihen , sowie ganz normale Reihen.

mfg



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2016-12-30


2016-12-29 22:07 - HarryPotter in Beitrag No. 3 schreibt:
... Soweit ich weiß muss man unterscheiden zwischen unendlichen Reihen und absuluten Reihen , sowie ganz normale Reihen.
Hi HarryPotter,
alle Reihen sind "ganz normale Reihen". Dabei gibt es spezielle Fälle, nämlich
- Reihen mit nichtnegativen Gliedern, un
- alternierende Reihen.
Reihen sind immer unendlich, anderenfalls handelt es sich um Summen.
Der Begriff "absolute Reihe" ist nicht üblich.
fed-Code einblenden
Wenn diese Absolutreihe konvergiert, dann konvergent auch die ursprüngliche Reihe, und solche Reihen werden als absolut konvergent bezeichnet.
Gruß Buri



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2016-12-30


Hallo HarryPotter,

hier noch 3 Tipps:

(a) Da sollte Leibniz helfen.

(b) Erweitere mit der dritten Binomialformel. Danach abschätzen.

(c) Du kannst die rechte Seite formal in zwei Summanden aufspalten (formal deshalb, weil die Konvergenz noch nicht geklärt ist):

<math>\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+ (-1)^k \cdot k}{k^2}= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot k}{k^2}  </math>

Wenn in dieser formalen Gleichung zwei der drei Reihen konvergieren, dann konvergiert auch die dritte, und aus der formalen Gleichung wird eine echte. Wenn dagegen eine Reihe divergiert und eine Reihe konvergiert, dann divergiert auch die dritte. Welcher Fall vorliegt, läßt sich aber leicht entscheiden. Die beiden Reihen auf der rechten Seite liefern auch durchaus bekannte Reihenwerte.

Viel Erfolg und einen guten Rutsch morgen.

Gruß,

Küstenkind



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HarryPotter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-05


Erst einmal möchte ich mich für die schnelle Hilfestellung bedanken. Durch Pflichten (Familie) konnte ich mich nicht früher melden.
Dir Kuestenkind und allen anderen wünsche ich nachträglich auch ein frohes neues Jahr. Danke für eure Zeit.

fed-Code einblenden

Könnt ihr mir noch sagen was ich anders machen kann ?
bzw. ob es überhaupt Richtig ist ?

Mfg  😄



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-01-06


Hallo HarryPotter,

Zunächst einmal vielen Dank!

Aufgabe (a) sieht mir in Ordnung aus (bis auf Schreibfehler). Es fehlt hinter dem ersten = ein Exponent beim k und im Limes soll k gegen unendlich gehen. Ich habe so umgeformt:

<math>\displaystyle \frac{(k+1)^{k-1}}{k^k}=\frac{(k+1)^k \cdot (k+1)^{-1}}{k^k}=\left(\frac{k+1}{k}\right)^k \cdot \frac{1}{k+1}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot \frac{1}{k+1}</math>

Im Grenzfall ergibt sich dann <math>e \cdot 0 =0</math>

Bei der Monotonie habe ich anstatt alles auf eine Seite zu bringen multipliziert:

<math>\displaystyle |a_{k+1}|<|a_k|</math>

<math>\displaystyle \frac{(k+2)^k}{(k+1)^{k+1}}<\frac{(k+1)^{k-1}}{k^k}</math>

<math>\displaystyle k^k(k+2)^k<(k+1)^{k+1}(k+1)^{k-1}</math>

<math>\displaystyle (k(k+2))^k<(k+1)^{2k}</math>

<math>\displaystyle (k^2+2k)^k<(k^2+2k+1)^k</math>

Bei (b) musst du noch mal ran. Eine Ordnungskette mit Größer - und Kleinerzeichen ist mir fremd. Was soll das aussagen? Als Beispiel:

Lassen wir deinen Mittelteil weg steht dort <math>\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\geq \frac{1}{k}</math>

Das stimmt aber i.A nicht.

Eine Alternative hatte Wally mir noch als PN geschickt. Er hat die Summe als Teleskopsumme erkannt. Du kannst ja als Übung beide Wege noch mal richtig aufschreiben (wenn du möchtest). Ich weiß aber noch nicht, ob ich dieses Wochenende noch mal online bin - aber es hilft bestimmt jemand anderes weiter, wenn du noch Fragen hast.

Gruß,

Küstenkind



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HarryPotter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-06


Ich würde mal behaupten ich habe zu danken. Werde mich gleich noch mal dransetzen.
Mfg



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