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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Duale Abbildung einer Projektion
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Universität/Hochschule Duale Abbildung einer Projektion
ArcticFallout
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-03-10


Folgende Aufgabenstellung ist gegeben:

Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und <math>\sigma \el</math> Endomorphismus über K von V eine Projektion.

Beweisen sie: Die zugehörige duale Abbildung <math>\sigma^{*}</math> ist ebenfalls eine Projektion.

Meine Ansätze:

Eigenschaften einer Projektion: <math>P^{2} = P</math>
Dualraum besteht aus allen linearen Abbildungen von V nach K
Für ihre Basisvektoren gelten: <math> < x_{j}| x^{*}_{i}> = \delta_{i,j}</math>

Irgendwelche hilfreichen Tipps?

MFG ArcticFallout



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-10


Willkommen auf dem Matheplaneten!

Zuerst einmal: Weißt du denn, wie die duale Abbildung zu einer gegebenen Abbildung allgemein definiert ist?

Grüße,
PhysikRabe


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ArcticFallout
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


Also zu einer gegebenen linearen Abbildung <math>F: V \rightarrow W</math> zwischen zwei Vektorräumen V,W ergeben sich zwei Dualräume V*,W* die eine duale Abbildung <math>F^{*}: V^{*} \rightarrow W^{*}</math> besitzen.



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-10


2017-03-10 13:44 - ArcticFallout in Beitrag No. 2 schreibt:
Also zu einer gegebenen linearen Abbildung <math>F: V \rightarrow W</math> zwischen zwei Vektorräumen V,W ergeben sich zwei Dualräume V*,W* die eine duale Abbildung <math>F^{*}: V^{*} \rightarrow W^{*}</math> besitzen.

Das stimmt erstens nicht und ist zweitens keine Definition. Ist eine lineare Abbildung <math>F: V \rightarrow W</math> gegeben, so gibt es eine sogenannte duale Abbildung <math>F^\ast: W^\ast \rightarrow V^\ast</math> (beachte Definitions- und Zielbereich!). In der Aufgabe ist <math>V=W</math> und <math>F=\sigma</math> eine Projektion. Habt ihr in der Vorlesung nicht behandelt, wie die duale Abbildung definiert ist? (Falls du dich nicht erinnerst, musst du das nachlesen - oder auch selbst "herleiten", denn es gibt nur eine sinnvolle Möglichkeit, <math>F^\ast: W^\ast \rightarrow V^\ast</math> zu definieren!)

Grüße,
PhysikRabe


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ArcticFallout
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


Tut mir leid für den Fehler, ich beschäftige mich zum ersten Mal etwas weiter mit dem Thema.
Also nochmal zur Definition der dualen Abbildung:

Ich starte bei der linearen Abbildung F: V <math>\rightarrow</math> W.
Dieser wird dann eine duale Abbildung zugeordnet mit F<math>^{*} W^{*} \rightarrow V^{*} </math>. Somit also:

<math>F^{*}(\varphi) = \varphi o F = \varphi(F)</math> mit <math>\varphi \epsilon W^{*}</math>

oder welche Definition meinst du?

Also durch Anwendung dieser auf ein v <math>\epsilon</math> V ergibt sich:

v -> F(v) -> <math>\varphi</math>(F(v)) mit:
V -> W -> K



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ArcticFallout
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


Um ganze mal mit der Aufgabe zu verknüpfen:

F = <math>\sigma</math> : V -> V über K
F<math>^{*}</math> = <math>\sigma^{*}</math> : V* -> V* über K

da <math>\sigma</math> eine Projektion: <math>\sigma^{2} = \sigma</math>



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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-03-10


2017-03-10 14:40 - ArcticFallout in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich starte bei der linearen Abbildung F: V <math>\rightarrow</math> W.
Dieser wird dann eine duale Abbildung zugeordnet mit F<math>^{*} W^{*} \rightarrow V^{*} </math>. Somit also:

<math>F^{*}(\varphi) = \varphi o F = \varphi(F)</math> mit <math>\varphi \epsilon W^{*}</math>

oder welche Definition meinst du?

Genauso ist es, und es gibt keine andere Definition, die ich meinen könnte. Wende das nun einfach auf die Aufgabe (<math>V=W</math>, <math>F=\sigma</math> eine Projektion auf <math>V</math>) an, dann hast du die Aufgabe in einer Zeile gelöst.

Grüße,
PhysikRabe


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-10


Überlege dir einmal allgemein die Relation <math>(F \circ G)^* = G^* \circ F^*</math>. Damit lässt sich die Aufgabe lösen.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-03-10


Noch zwei LaTeX-Tipps, wo ich gerade Beitrag No. 4 gelesen habe:

- Der LaTeX-Befehl für ein Verknüpfungssymbol <math>\circ</math> ist \circ
- Der LaTeX-Befehl für ein Elementsymbol <math>\in</math> ist \in
 
Außerdem ist es ratsam, immer die gesamte Formel mit LaTeX (oder einem anderen Formeleditor wie dem fed) zu schreiben. So etwas wie <math>\phi</math>(v) ist unschön, besser ist <math>\phi(v)</math>.



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ArcticFallout
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


also:

<math>(\sigma \circ \sigma)^{*} = \sigma^{*} \circ \sigma^{*}= \sigma^{*}(\sigma^{*}) = \sigma^{*} </math>


<math>(\sigma \circ \sigma)^{*} = (\sigma^{2})^{*} = (\sigma^{*})^{2}</math>

=> Behauptung?



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2017-03-10 19:12 - ArcticFallout in Beitrag No. 9 schreibt:
also:

<math>(\sigma \circ \sigma)^{*} = \sigma^{*} \circ \sigma^{*}= \sigma(\sigma) = \sigma </math>

Wie kommst du darauf? Diese Gleichung macht doch gar keinen Sinn. Außerdem möchtest du doch <math>\sigma^\ast \circ \sigma^\ast = \sigma^\ast</math> zeigen.

Grüße,
PhysikRabe


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


okay ich hab bei den letzten beiden Schritten das <math>^{*}</math> vergessen, hab es jetzt korrigiert. Bin mir aber bei dem <math>\sigma^{*}(\sigma^{*}) = \sigma^{*}</math> nicht sicher. Aber da es sich ja um einen Endomorphismus handelt, dachte ich es ist vertretbar.



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2017-03-10 20:33 - ArcticFallout in Beitrag No. 11 schreibt:
Bin mir aber bei dem <math>\sigma^{*}(\sigma^{*}) = \sigma^{*}</math> nicht sicher.

Diese Gleichung möchtest du ja gerade zeigen! Ich verstehe nicht wirklich, was du meinst...

Vorschlag: Berechne <math>(\sigma^\ast \circ \sigma^\ast)(\varphi)</math> (oder, falls dir diese Schreibweise lieber/bekannter ist, <math>\sigma^\ast (\sigma^\ast (\varphi))</math>) für <math>\varphi \in V^\ast</math>. Dokumentiere jeden Schritt deiner Rechnung!

Grüße,
PhysikRabe


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Wenn ich keinerlei weitere information über die Art der Projektion habe würde ich das einfach so ausführen:

<math>(\sigma^{*} \circ \sigma^{*})(\varphi) = \sigma^{*}(\sigma^{*}(\varphi)) = \sigma^{*}(v_{1}^{*}) = v_{2}^{*} </math>

mit

<math>v_{1,2} \in V^{*} </math>

da <math>\sigma^{*}: V^{*} \rightarrow V^{*}</math> ja nur auf andere Elemente in <math>V^{*}</math> projeziert.

Ist dann <math>v_{1}^{*} = \varphi</math> nach der Behauptung?



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2017-03-10 21:12 - ArcticFallout in Beitrag No. 13 schreibt:
<math>(\sigma^{*} \circ \sigma^{*})(\varphi) = \sigma^{*}(\sigma^{*}(\varphi)) = \sigma^{*}(v_{1}^{*}) = v_{2}^{*} </math>

Was sollen denn nun plötzlich <math>v_1, v_2</math> sein? 😵 Du machst dir das Leben unnötig schwer. Wieso setzt du nicht in <math>\sigma^\ast(\sigma^\ast (\varphi))</math> die Definition von <math>\sigma^\ast</math> ein, die du doch schon angegeben hast? Das ist wirklich nicht schwer, und viel mehr kann ich dir leider auch nicht mehr sagen, ohne die Aufgabe für dich zu lösen.

Grüße,
PhysikRabe


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-10


also durch Anwendung der Definition erhalte ich:

<math>\sigma^{*} \circ \sigma^{*} \circ \varphi = \sigma^{*} (\varphi(\sigma))</math>

mit

<math>\sigma: V \rightarrow V</math>
<math>\varphi \in V^{*}: V \rightarrow K</math>

somit:

<math>\varphi(\sigma) = \varphi</math>

Daraus folgt die Behauptung?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
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2017-03-10 22:31 - ArcticFallout in Beitrag No. 15 schreibt:
also durch Anwendung der Definition erhalte ich:

<math>\sigma^{*} \circ \sigma^{*} \circ \varphi = \sigma^{*} (\varphi(\sigma))</math>
Das ist richtig. Jetzt solltest du doch sehen, dass du die Definition nochmal anwenden kannst (musst).

2017-03-10 22:31 - ArcticFallout in Beitrag No. 15 schreibt:
mit

<math>\sigma: V \rightarrow V</math>
<math>\varphi \in V^{*}: V \rightarrow K</math>

somit:

<math>\varphi(\sigma) = \varphi</math>
Diese Begründung verstehe ich nicht. Zwei Abbildungen müssen doch nicht gleich sein, nur weil sie den selben Definitions- und Zielbereich haben.

Grüße,
PhysikRabe


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