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Analysis » Funktionenfolgen und -reihen » gleichgradig stetig
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Universität/Hochschule gleichgradig stetig
unknown
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  Themenstart: 2017-03-26

Hallo zusammen Ich soll herausfinden, ob folgende Funktionenfolge gleichgeradig stetig ist: $f_n(x) = log(2+sin(nx))$ Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das am besten angehe? Danke schon mal :)


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-26

Hallo, ich würde damit anfangen, nachzusehen, ob $\sin nx$ gleichgradig stetig ist. Wally


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unknown
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-27

Danke schonmal für deine Antwort :) Also, falls ich das richtig verstanden habe ist $f_n$ gleichgradig stetig, falls $f_n$ gleichmässig stetig ist für alle $n \in \mathbb N $. Falls ich das richtig gemacht habe, kriege ich, dass $sin(nx)$nicht gleichmässig stetig ist. Und kann ich jetzt daraus schliessen, dass $f_n(x)$nicht gleichgradig stetig ist?


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unknown
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-27

Ich habe mir noch folgendes überlegt. $f_n'(x) = \(\frac{n cos(nx)}{2+sin(nx)}\)$ ist nicht gleichmässig beschränkt, bzw. $|f_n'(x)|\leq n$ wenn $cos(nx) = 1$. Ich weiss dass gleichmässige Beschränktheit von $f_n'$ impliziert dass $f_n$ gleichgradig stetig ist. ich bin mir allerdings nicht sicher, ob dies ein notwendiges Kriterium ist.


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2017-03-28

Hallo unknown, die Beschränktheit der Ableitung ist nur hinreichend. \quoteon ist $f_n$ gleichgradig stetig, falls $f_n$ gleichmässig stetig ist für alle $n \in \mathbb N $. \quoteoff Da solltest du noch mal ganz genau schaune, was du denn beweisen willst und wie gleichgradige Stetigkeit definiert ist (das "Definitionsviereck" stetig, glm. stetig, gleichgradig stetig und glm gleichgradig stetig - vier verschiedene Begriffe). Wally


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