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Mathematik » Numerik & Optimierung » nichtlineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten
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Beruf nichtlineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten
DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-04-19


Hallo,

ich habe eine elektronische Schaltung entsprechend folgendem Bild



An den vier Aussenkontakten kann ich die Widerstände messen, ich möchte die 'inneren' Widerstände berechnen. Das führt auf ein nichtlineares Gleichungssystem, für das ich eine analytische Lösung suche.
 
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-19


Habe mir das jetzt nicht so genau angeschaut. Aber die Werte die gegeben sind solltest du hier auch hin schreiben. Könnte zwar mit Kanonen auf Spatzen geschossen sein, aber hast du mal versucht ne Gröbner-Basis zu berechnen? Könnte dein Gleichungssystem extrem vereinfachen.

Gruß
np_complete



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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-19


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-04-19


2017-04-19 12:48 - DetlefA im Themenstart schreibt:

An den vier Aussenkontakten kann ich die Widerstände messen, ...

Hallo Detlef,

verbinde 3 Anschlüsse und miss den Widerstand zum verbleibenden Anschluss. Die Schaltung besteht dann effektiv aus zwei parallelen Widerständen. Der Leitwert dieses Zweipols ist somit die Summe der Leitwerte der beiden Widerstände. Mit vier Messungen erhältst Du ein Gleichungssystem aus 4 linearen Gleichungen, welches einfach gelöst werden kann.

Viele Grüße A.



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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-19


Hallo A.,

Danke, super Idee, aber das entstehende lineare Gleichungssystem ist nicht lösbar, Determinante wird 0, siehe Bild.

Cheers
Detlef





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Amateur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-04-19


Ärgerlich, ich hatte es nicht durchgerechnet.

Aber es können zum Glück weitere Gleichungen aufgestellt werden. Wenn die beiden rechten Kontakte miteinander verbunden werden und die beiden linken , dann sind die beiden mittleren Widerstände parallel. Die zugehörige Gleichung kann eine der anderen Gleichungen ersetzen.

Viele Grüße A.



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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-20


Hallo,

yep, so geht's.

Danke, war ich nicht drauf gekommen.

Cheers
Detlef




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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21


Hallo,

leider kann ich die Messungen nicht mehr durchführen, die für die vorgeschlagene funktionierende Lösung nötig sind. Ich bin auf die Messungen angewiesen, die vorhanden sind und die auf das nichtlineare Gleichungssystem führen.

Deswegen frag ich nochmal nach, hat jemand eine Idee zur Lösung des ursprünglichen Problems?

Danke
Cheers
Detlef  



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-04-21


Hallo DetlefA,
setzen wir

<math>\displaystyle A=R_1+R_2+R_3+R_4</math>

dann folgt daraus:

<math>\displaystyle AR_a=R_1(A-R_1)</math>
<math>\displaystyle AR_b=R_2(A-R_2)</math>

und so weiter. Lösen wir die Gleichungen jeweils nach <math>R_1</math>, <math>R_2</math> auf, erhalten wir:

<math>\displaystyle R_1=\frac12A\pm\sqrt{\frac14A^2-AR_a}</math>

<math>\displaystyle R_2=\frac12A\pm\sqrt{\frac14A^2-AR_b}</math>

und so weiter. Gehen wir zunächst von dem einfacheren Fall aus, dass keiner der Widerstände größer ist als die Summe der übrigen drei Widerstände, so dass für alle i=1..4 gilt:

<math>\displaystyle R_i\leq\frac12A</math>

Dann gilt in den obigen Gleichungen jeweils nur die negative Wurzel:

<math>\displaystyle R_1=\frac12A-\sqrt{\frac14A^2-AR_a}</math>

<math>\displaystyle R_2=\frac12A-\sqrt{\frac14A^2-AR_b}</math>

usw.
Wenn Du diese Gleichungen aufsummierst, hast Du:

<math>\displaystyle A=\frac12A-\sqrt{\frac14A^2-AR_a}+\frac12A-\sqrt{\frac14A^2-AR_b}+\frac12A-\sqrt{\frac14A^2-AR_c}+\frac12A-\sqrt{\frac14A^2-AR_d}</math>

<math>\displaystyle \sqrt{\frac14A^2-AR_a}+\sqrt{\frac14A^2-AR_b}+\sqrt{\frac14A^2-AR_c}+\sqrt{\frac14A^2-AR_d}-A=0</math>

Das ist eine Gleichung für A, die Du vielleicht durch exzessives Quadrieren in ein Polynom verwandeln könntest, das aber vermutlich nicht geschlossen lösbar sein wird. Außerdem fügst Du möglicherweise mit jedem Quadrieren ungültige Lösungen hinzu, die Du anschließend wieder rausfiltern musst. Ich würde daher hier direkt ein Näherungsverfahren anwenden. Obige Funktion für A ist im relevanten Bereich A>0 streng monoton steigend, so dass es nur genau eine Lösung für A gibt. Wenn Du dann A hast, kannst Du jeweils direkt die <math>R_i</math> berechnen.

In dem anderen Fall, dass einer der Widerstände größer ist als die Summe der anderen drei, gilt für diesen großen Widerstand nicht die negative, sondern die positive Wurzel. Sei <math>R_1</math> dieser große Widerstand, dann ist auch der dazugehörige Widerstand <math>R_a</math> größer als <math>R_b</math> bis <math>R_d</math>. Für ihn gilt daher abweichend von den anderen Gleichungen:

<math>\displaystyle R_1=\frac12A+\sqrt{\frac14A^2-AR_a}</math>

so dass Du stattdessen die Gleichung

<math>\displaystyle -\sqrt{\frac14A^2-AR_a}+\sqrt{\frac14A^2-AR_b}+\sqrt{\frac14A^2-AR_c}+\sqrt{\frac14A^2-AR_d}-A=0</math>

lösen musst. Je nachdem, ob Du also eine relativ gleichmäßige Verteilung oder eine stark asymmetrische Verteilung der Widerstände hast, musst du eine der beiden Gleichungen lösen, oder gleich beide, und dann durch einsetzen entscheiden, welche die richtige Lösung ist.
Außerdem kann man natürlich anhand der Wurzelausdrücke noch feststellen, dass

<math>\displaystyle A\geq4\cdot\max(R_a,R_b,R_c,R_d)</math>

sein muss. Diese Untergrenze für A kannst Du beim Näherungsverfahren berücksichtigen.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-04-21


Nachtrag:
Man kann ein eindeutiges Kriterium herleiten, welche Gleichung zu lösen ist. Sei <math>R_a</math> der größte der gemessenen Widerstände, also <math>R_a\ge R_{b,c,d}</math>. Dann folgt

1. Wenn <math>\displaystyle \sqrt{1-\frac{R_b}{R_a}}+\sqrt{1-\frac{R_c}{R_a}}+\sqrt{1-\frac{R_d}{R_a}}\le2</math>

dann gilt

<math>\displaystyle \sqrt{\frac14A^2-AR_a}+\sqrt{\frac14A^2-AR_b}+\sqrt{\frac14A^2-AR_c}+\sqrt{\frac14A^2-AR_d}-A=0</math>

2. Wenn <math>\displaystyle \sqrt{1-\frac{R_b}{R_a}}+\sqrt{1-\frac{R_c}{R_a}}+\sqrt{1-\frac{R_d}{R_a}}>2</math>

dann gilt

<math>\displaystyle -\sqrt{\frac14A^2-AR_a}+\sqrt{\frac14A^2-AR_b}+\sqrt{\frac14A^2-AR_c}+\sqrt{\frac14A^2-AR_d}-A=0</math>

(Minuszeichen vor der ersten Wurzel beachten).

Ein sehr guter Startwert für ein Newton-Näherungsverfahren (für beide Gleichungen) ist übrigens

<math>\displaystyle A_0=4R_a\left[1+\left(\sqrt{1-\frac{R_b}{R_a}}+\sqrt{1-\frac{R_c}{R_a}}+\sqrt{1-\frac{R_d}{R_a}}-2\right)^2\right]</math>

Ciao,

Thomas



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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-24


Hallo Thomas,

danke, ich hatte ja schon vor einer Weile mal das Vergnügen des Kontakts mit Dir.

Ich habe Deine Lösung in Matlab implementiert und mit gemessenen Werten ausprobiert. Klappt super. Ich hatte vor der numerischen Lösung zurückgeschreckt, weil ich ja 4 Unbekannte habe. Deine Idee, die Summe der R zu suchen reduziert das ganze auf eine einfache Nullstellenbestimmung. Für Newton war ich zu faul, ich habe eine Intervallhalbierung implementiert.

Danke
Cheers
Detlef


% ra muss der groesste Wert sein
ra=4.143e-3;
rb=4.130e-3;
rc=4.067e-3;
rd=4.090e-3;

rr=sqrt(1-rb/ra)+sqrt(1-rc/ra)+sqrt(1-rd/ra);

if(rr <=2)
str='z= sqrt(A*A/4-A*ra)+sqrt(A*A/4-A*rb)+sqrt(A*A/4-A*rc)+sqrt(A*A/4-A*rd)-A;';
else
str='z=-sqrt(A*A/4-A*ra)+sqrt(A*A/4-A*rb)+sqrt(A*A/4-A*rc)+sqrt(A*A/4-A*rd)-A;';
end;

Astart=4*ra*(1+(rr-2).^2)

%erstmal nach der Nullstelle schauen
d=0.095;
x=linspace(Astart-d/2,Astart+d/2,5000);
n=length(x);
y=zeros(1,n);
for(k=1:n)
 A=x(k);
 eval(str);
 y(k)=z;
end
plot(y);

% Ietrieren Intervallhalbierung
xhi=x(end);
xlo=x(1);
for(k=1:100)
 A=(xhi+xlo)/2;
 eval(str);
 
 if(z<0) xlo=A; else xhi=A;end
 if(abs(xlo-xhi)<1e-12) break; end;
 [xlo xhi];
end;

A=xlo;
r1=A/2-sqrt(A*A/4-A*ra);
r2=A/2-sqrt(A*A/4-A*rb);
r3=A/2-sqrt(A*A/4-A*rc);
r4=A/2-sqrt(A*A/4-A*rd);

%Probe
sprintf('%e',A-r1-r2-r3-r4)
sprintf('%e',ra*A-r1*(r2+r3+r4))
sprintf('%e',rb*A-r2*(r1+r3+r4))
sprintf('%e',rc*A-r3*(r1+r2+r4))
sprintf('%e',rd*A-r4*(r1+r2+r3))



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-04-24


Hallo Detlef,
schön, dass ich Dir helfen konnte. Ja, ich erinnere mich, es ging damals um den Schnitt zweier Hyperbeln.

Zwei kleine Anmerkungen noch:
1. Ich weiß nicht, ob es Dir um eine einmalige Berechnung ging, oder Du dieses Problem häufiger lösen musst. Die Tatsache, dass Du es in Matlab programmiert hast, deutet auf letzteres hin. Vielleicht wäre Newton dann doch erheblich schneller als die Bisektion.
Die zu lösende Gleichung lautet ja:

<math>\displaystyle \pm\sqrt{\frac14A^2-AR_a}+\sqrt{\frac14A^2-AR_b}+\sqrt{\frac14A^2-AR_c}+\sqrt{\frac14A^2-AR_d}-A=0</math>

Du kannst aber auch noch durch <math>\sqrt A</math> teilen, dann lässt sich die Ableitung etwas einfacher berechnen. Die Gleichung lautet dann (wenn man auch noch mit 2 multipliziert):

<math>\displaystyle \pm\sqrt{A-4R_a}+\sqrt{A-4R_b}+\sqrt{A-4R_c}+\sqrt{A-4R_d}-2\sqrt A=0</math>

Die Ableitung der einzelnen Wurzeln ist nun sehr einfach. So oder so geht es aber wohl nur um Millisekunden, so dass letztlich auch nichts gegen die Bisektion spricht.

2. Mir scheint, als hättest Du ganz am Ende vergessen, in der Programmzeile "r1=A/2-sqrt(A*A/4-A*ra);" den Fall zu berücksichtigen, dass R1>R2+R3+R4 sein kann und dann die "Plus-Wurzel" zu verwenden wäre. Hier musst Du noch eine IF-Schleife hinbasteln, denke ich.

Ciao,

Thomas





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DetlefA
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-27


Hallo Thomas,

ja, damals ging es um Hyperbelnavigation mit Ultraschall, man hat nur die Differenzen zweier Ankunftzeiten.

Diesmal sind das Impedanzen von grossen Trafos. Man kann aussen messen und will wissen was innen los ist. Die aussen gemessenen Impedanzen sind auch sehr klein, einige Milliohm. Die zuerst von A. vorgeschlagene Lösung, nämlich kurzzuschliessen und dann zu messen wird bei diesen kleinen Impedanzen auch schwierig. Ein Kurzschluss mit Übergangswiderständen im zehntel Milliohm Bereich ist nicht so einfach herzustellen.

Aber jetzt ist alles gut, danke.

Zur Ableitung: Ja, hätte ich selber oder 'Wolfram Alpha' machen lassen können, aber hat sich nicht gelohnt. Ich brauche das noch paar Mal, aber mein 8Kern/3GHz PC hat damit nicht wirklich ein Problem ;)), die 37 Iteration auf 10^-12 dauern 8 Millisekunden.

Und ja, ein if am Ende fehlt, aber die Probe stimmte und da hab ich für das Beispiel  die Fallunterscheidung entfallen lassen.

Es ist für mich als Ing. immer ein grosser Spass mit hohem Erkenntnisgewinn wenn mal Mathematiker mit mir sprechen :)) .

THX
Cheers
Detlef




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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-11-03


Hallo zusammen,
nachdem ich mich noch einmal ein wenig mit diesem Problem beschäftigt habe, habe ich ganz interessante Sachen herausgefunden, inklusive der Tatsache, dass man offenbar eine explizite Lösung angeben kann, die sich aber wohl über mehrere Seiten "Tapete quer" erstreckt. Aber der Reihe nach.
Die Aufgabe lautete, das folgende Gleichungssystem nach <math>R_1</math> bis <math>R_4</math> aufzulösen, während <math>R_a</math> bis <math>R_d</math> gegeben sind:

<math>\displaystyle R_a\left(R_1+R_2+R_3+R_4\right)=R_1\left(R_2+R_3+R_4\right)\\
R_b\left(R_1+R_2+R_3+R_4\right)=R_2\left(R_1+R_3+R_4\right)\\
R_c\left(R_1+R_2+R_3+R_4\right)=R_3\left(R_1+R_2+R_4\right)\\
R_d\left(R_1+R_2+R_3+R_4\right)=R_4\left(R_1+R_2+R_3\right)</math>

Ich setze wieder

Gl. 1  <math>\displaystyle A=R_1+R_2+R_3+R_4</math>

so dass die 4 Gleichungen lauten:

Gl. 2a  <math>\displaystyle R_aA=R_1\left(A-R_1\right)</math>
Gl. 2b  <math>\displaystyle R_bA=R_2\left(A-R_2\right)</math>

und für c und d in analoger Art und Weise. Die Gleichungen 2b bis 2d kann man wie gehabt jeweils nach <math>R_2</math> bis <math>R_4</math> auflösen:

Gl. 3b  <math>\displaystyle R_2=\frac A2\pm\sqrt{\frac{A^2}4-R_bA}</math>

Nehmen wir wieder wie oben an, dass <math>R_1</math> der größte Widerstand ist, dann muss, wie schon in Beitrag #8 argumentiert, für alle anderen Widerstände gelten:

Gl. 3b  <math>\displaystyle R_2=\frac A2-\sqrt{\frac{A^2}4-R_bA}</math>

Gl. 3c  <math>\displaystyle R_3=\frac A2-\sqrt{\frac{A^2}4-R_cA}</math>

Gl. 3d  <math>\displaystyle R_4=\frac A2-\sqrt{\frac{A^2}4-R_dA}</math>

während für <math>R_1</math> auch die Plus-Wurzel in Frage käme, da er durchaus größer als die Summe der anderen Widerstände sein könnte. So weit waren wir oben schon, doch anders als dort lösen wir nun die Gleichung 2a nach <math>A</math> auf:

Gl. 4  <math>\displaystyle A=\frac{R_1^2}{R_1-R_a}</math>

(Daraus geht hervor, das <math>R_1>R_a</math> sein muss). Diese Gleichung kann man wiederum in die Gleichungen 3b bis 3d einsetzen und somit letztlich <math>A</math> wieder eliminieren:

<math>\displaystyle R_2=\frac{R_1^2}{2\left(R_1-R_a\right)}-\sqrt{\frac{R_1^4}{4\left(R_1-R_a\right)^2}-\frac{R_1^2R_b}{R_1-R_a}}</math>

<math>\displaystyle R_2=\frac{R_1^2}{2\left(R_1-R_a\right)}-\frac{R_1}{2\left(R_1-R_a\right)}\sqrt{R_1^2-4R_b\left(R_1-R_a\right)}</math>

Gl. 5  <math>\displaystyle R_2=\frac{R_1}{2\left(R_1-R_a\right)}\left(R_1-\sqrt{R_1^2-4R_b\left(R_1-R_a\right)}\right)</math>

und in gleicher Weise weiter für <math>R_3</math> und <math>R_4</math>, wenn man in Gleichung 5 <math>R_b</math> durch <math>R_c</math> bzw. <math>R_d</math> ersetzt. Setzen wir nun die Gleichungen 5 und 4 in 1 ein, erhalten wir:

<math>\displaystyle R_1+\frac{R_1}{2\left(R_1-R_a\right)}\left(R_1-\sqrt{R_1^2-4R_b\left(R_1-R_a\right)}+R_1-\sqrt{R_1^2-4R_c\left(R_1-R_a\right)}+R_1-\sqrt{R_1^2-4R_d\left(R_1-R_a\right)}\right)=\frac{R_1^2}{R_1-R_a}</math>

Multiplizieren mit <math>\frac{2\left(R_1-R_a\right)}{R_1}</math>:

<math>\displaystyle 2\left(R_1-R_a\right)+3R_1-\sqrt{R_1^2-4R_b\left(R_1-R_a\right)}-\sqrt{R_1^2-4R_c\left(R_1-R_a\right)}-\sqrt{R_1^2-4R_d\left(R_1-R_a\right)}=2R_1</math>

Gl. 6  <math>\displaystyle 3R_1-2R_a-\sqrt{R_1^2-4R_b\left(R_1-R_a\right)}-\sqrt{R_1^2-4R_c\left(R_1-R_a\right)}-\sqrt{R_1^2-4R_d\left(R_1-R_a\right)}=0</math>

Hier haben wir also eine Gleichung für <math>R_1</math>, die anderen Widerstände könnten nach der Berechnung von <math>R_1</math> aus den Gleichungen 5 berechnet werden.
Die Gleichung 6 hat gegenüber der Herleitung in Beitrag #8 zwei Vorteile:
1. Wenn man diese Gleichung mit dem Newton-Verfahren lösen will, kann man als Startwert <math>R_1=R_a</math> setzen und das Verfahren konvergiert auf jeden Fall, während es bei der obigen Herleitung passieren konnte, dass das Verfahren einen Iterationswert ergab, der außerhalb des Definitionsbereiches lag. Auch hier ist die Lösung eindeutig, die Funktion für <math>R_1</math> ist für <math>R_1>R_a</math> streng monoton steigend und es gibt somit nur eine Lösung für <math>R_1</math>.
2. Man braucht keine Fallunterscheidung für <math>R_1</math>.
Nur der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass man bei aufwendigerer Reihenentwicklung folgende sehr gute Näherungslösung angeben kann:

<math>\displaystyle R_1=\frac{R_aS_1-S_2}{S_1-2R_a}+2\frac{R_aS_2-S_3}{R_aS_1-S_2}</math>

mit

<math>\displaystyle S_1=R_a+R_b+R_c+R_d\qquad
S_2=R_a^2+R_b^2+R_c^2+R_d^2\qquad
S_3=R_a^3+R_b^3+R_c^3+R_d^3</math>

Setzt man diesen Näherungswert als Startwert der Newton-Iteration, konvergiert das Verfahren typischerweise innerhalb von 2 oder 3 Schritten auf 12 Stellen nach dem Komma.

Ich habe dann aber einfach mal die obige Gleichung 6 bei Wolframalpha eingegeben, und es spuckt tatsächlich eine Lösung aus. Naja, fast jedenfalls. Ich habe, um die Eingabe zu vereinfachen, <math>R_1</math> durch <math>x</math> und <math>R_a</math>, <math>R_b</math>, <math>R_c</math> und <math>R_d</math> einfach durch <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> ersetzt, so dass die zu lösende Gleichung lautet:

Gl. 7  <math>\displaystyle 3x-2a-\sqrt{x^2-4b\left(x-a\right)}-\sqrt{x^2-4c\left(x-a\right)}-\sqrt{x^2-4d\left(x-a\right)}=0</math>

Wolframalpha kriegt das nicht direkt hin, aber man kann in der Wolfram Cloud die Gleichung eingeben, hier klicken. So sieht das dann aus:



Das ist nur ein winziger Ausschnitt, der komplizierte Teil beginnt erst rechts davon. Die grauen Bereiche bedeuten, dass Mathematica dort die Ausgabe massiv abgekürzt hat. Ob die Mathematica-Vollversion das auch tut, weiß ich nicht. Man kann hier auf "Show more" klicken, und dann wird die Formel auch länger und ausführlicher. Nachdem ich das ein paar mal gemacht hatte, war die Formel mindestens 6 Bildschirmbreiten lang, und es waren immer noch mehrere graue Bereiche vorhanden. Klicke ich auf "Show all", bleibt die Internet-Seite stecken. Offenbar überfordert die Darstellung der kompletten Lösung die Cloud. Interessant ist auch, dass die Lösung <math>x=a</math> angegeben wird, die definitiv keine Lösung ist, sondern offenbar eine Phantomlösung aufgrund des vielfachen Quadrierens darstellt.
Hat jemand mit einer Mathematica-Vollversion Lust, mal die Gleichung einzugeben und hier "komplett" darzustellen? Hier ist der Code-Schnipsel:
mathematica
Solve[-2 a + 3 x - Sqrt[4 a b - 4 b x + x^2] - Sqrt[4 a c - 4 c x + x^2]- Sqrt[4 a d - 4 d x + x^2]== 0, x]

Ciao,

Thomas



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piquer
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Hallo zusammen,

Auch in der Vollversion von Mathematica erzeugt standardmäßig eine verkürzte Ausgabe. Allerdings dauert das Expandieren ("Show all") nur einen Bruchteil einer Sekunde. Ich habe den TeX-Code in mein  Notizbuch geladen; dieser hat 150619 (!) Zeichen. Ein "Simplify" der Ausgabe liefert auch nach 15 min noch kein Ergebnis. Auch eine Probe rechnet über 20 min ohne Ergebnis.

Viele Grüße
Torsten



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MontyPythagoras
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Hallo Torsten,
vielen Dank, sehr interessant!
Ich habe scherzeshalber mal den von Dir bereitgestellten TeX-Code in einem Artikel in einen LaTeX-Bereich einzubetten versucht, mit dem Ergebnis, dass ich vom Matheplaneten ausgeloggt wurde.  😁
Die genaue Formel in Excel zu hinterlegen macht wohl keinen Sinn...  😛

Ciao,

Thomas



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Wally
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Mit der analytischen Lösung kann man offenbar sowieso nichts anfangen.

Damit finde ich die Newton-Iteration mit dem sehr guten Startpunkt eine ziemlich gute Lösung. Was will man mehr?

Wally



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MontyPythagoras
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Hallo Wally,
natürlich ist die analytische Lösung unter praktischen Gesichtspunkten völlig unbrauchbar. Ich finde es aber interessant, wie ein so einfaches Problem eine so komplizierte Lösung haben kann. Meistens ist es meiner Erfahrung nach ja so: entweder es gibt eine analytische Lösung, dann ist sie verhältnismäßig einfach, oder es gibt erst gar keine.
Ich bin dabei, mir die Lösung genauer anzusehen. Es kommen 4 Kommata darin vor, was bedeutet, dass Mathematica 5 Lösungen ausspuckt. Das ist schon einmal schräg. Eine davon ist <math>x=a</math>, und es ist anzunehmen, dass von den verbleibenden 4 Lösungen 3 Phantomlösungen sind, und nur eine davon richtig ist. Alle 4 weiteren Lösungen sind in ihrer TeX-Darstellung etwa gleich lang, und es gibt viele wiederkehrende Terme, die man eventuell durch sinnvolle Abkürzungen ersetzen kann. Mal sehen, was dabei noch herauskommt.

Ciao,

Thomas



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Wally
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Hallo, Thomas,

das ist so ähnlich wie bei den Cardanischen Formeln zur Lösung einer Gleichung vierten Grades. Analytisch ist alles klar - aber wer mal versucht hat, das auf ein konkretes Problem anzuwenden, weiß, was das bedeutet - bittere harte Arbeit.

Wally



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DetlefA hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
DetlefA hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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