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 Gewöhnliche Differentialgleichung, Rand- und Eigenwertprobleme |
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SauberC9
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.04.2017
Mitteilungen: 21
 |  Themenstart: 2017-04-21
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Hey,
ich hab folgende Aufgabe: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47831_Unbenannt.png
Wenn ich bei Aufgabe a) ganz stumpf y(0)= 0 und y(pi)=0 setze, dann bekomme ich A=0 und B=0 raus. Das kann doch nicht sein. Wie gehe ich da vor? Ist der Ansatz einfach, dass man die Bedingungen einsetzt, wenn man das differential ausgerechnet hat (DGL 2. Ordnung
Danke
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1732
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-04-21
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Hallo,
Du hast bisher den Tipp aus der Aufgabe noch nicht beachtet, dass es einen Unterschied macht, ob k ganzzahlig ist oder nicht.
Ansonsten ist Einsetzen schon richtig.
Viele Grüße,
haerter
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11435
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2017-04-21
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Hallo
die triviale Lösung y=0 ist nicht falsch aber wie kannst du denn k wählen, damit A!=0
Gruß lula
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SauberC9
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.04.2017
Mitteilungen: 21
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-21
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\quoteon(2017-04-21 23:17 - lula in Beitrag No. 2)
Hallo
die triviale Lösung y=0 ist nicht falsch aber wie kannst du denn k wählen, damit A!=0
Gruß lula
\quoteoff
A wird dann 0, wenn k ein ganzzahliges Vielfaches ist. Dies gilt auch für B oder?
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loop_
Aktiv 
Dabei seit: 05.12.2012
Mitteilungen: 848
 | Beitrag No.4, eingetragen 2017-04-21
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Ich versuche es mal für die a) vorzumachen:
Offensichtlich ist $y(x) = 0$ (triviale) Lösung. Nun suchen wir Lösungen, sodass $y(x) \neq 0$ ist:
- $y(0) = B = 0$
Damit ist die Lösung schonmal der Form $y(x) = A\sin(kx)$. Betrachte nun zweiten Randwert
- $y(\pi) = A\sin(k\pi) = 0$
Für $A = 0$ erhalten wir unsere triviale Lösung und widerspricht $y(x) \neq 0$. Also muss $\sin(k\pi) = 0$ gelten. Wir wissen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn $k \in \mathbb{Z}$ ist. Falls $k$ nicht in $\mathbb{Z}$ liegt, so ist $\sin(k\pi) \neq 0$, sodass widerrum $A = 0$ gelten müsste. D.h. die Lösungen sind:
$y(x) = A\sin(k\pi)$ mit $k \in \mathbb{Z}, A \in \mathbb{R}$ und $y(x) = 0$
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SauberC9
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.04.2017
Mitteilungen: 21
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22
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\quoteon(2017-04-21 23:51 - loop_ in Beitrag No. 4)
Ich versuche es mal für die a) vorzumachen:
Offensichtlich ist $y(x) = 0$ (triviale) Lösung. Nun suchen wir Lösungen, sodass $y(x) \neq 0$ ist:
- $y(0) = B = 0$
Damit ist die Lösung schonmal der Form $y(x) = A\sin(kx)$. Betrachte nun zweiten Randwert
- $y(\pi) = A\sin(k\pi) = 0$
Für $A = 0$ erhalten wir unsere triviale Lösung und widerspricht $y(x) \neq 0$. Also muss $\sin(k\pi) = 0$ gelten. Wir wissen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn $k \in \mathbb{Z}$ ist. Falls $k$ nicht in $\mathbb{Z}$ liegt, so ist $\sin(k\pi) \neq 0$, sodass widerrum $A = 0$ gelten müsste. D.h. die Lösungen sind:
$y(x) = A\sin(k\pi)$ mit $k \in \mathbb{Z}, A \in \mathbb{R}$ und $y(x) = 0$
\quoteoff
danke für die Lösung eines Beispiels. Hab das jetzt auch ungefähr verstanden, aber wieso ist
$y(0) = B = 0$ eine Lösung für $y(x) \neq 0$ ? Ist es nicht $y(x) = 0$
zu b)
bei der ersten Lsg beim Randwert $y(0) = 1$ bekomme ich $y(x) = A\sin(kx)+\cos(kx)$ raus. Ist das soweit richtig?
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loop_
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Mitteilungen: 848
| Beitrag No.6, eingetragen 2017-04-22
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$y(0) = B = 0$
ist keine allg. Lösung des Problems, sondern ich setze lediglich den ersten Randwert ein um den Koeffizienten $B$ zu bestimmen. Und dieser muss hier $0$ sein.
Bei der b) bekommst du durch den ersten Randwert heraus, dass $B = 1$ gelten muss. Benutze den zweiten Randwert für die restlichen Koeffizienten. Dann kannst du damit die allg. Lösung aufstellen.
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SauberC9
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Mitteilungen: 21
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-22
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\quoteon(2017-04-22 15:37 - loop_ in Beitrag No. 6)
$y(0) = B = 0$
ist keine allg. Lösung des Problems, sondern ich setze lediglich den ersten Randwert ein um den Koeffizienten $B$ zu bestimmen. Und dieser muss hier $0$ sein.
Bei der b) bekommst du durch den ersten Randwert heraus, dass $B = 1$ gelten muss. Benutze den zweiten Randwert für die restlichen Koeffizienten. Dann kannst du damit die allg. Lösung aufstellen.
\quoteoff
ahh okay dann hab ich a) jetzt verstanden.
zu b)
B=1 hab ich auch raus. Wenn man den zweiten Randwert verwendet bekomme ich:
$y(\pi) = 1 = A\sin(k\pi)+cos(k\pi)=1$ raus. Dieser Term wird dann 1 wenn gilt: A=0 und $cos(k\pi)$ bei k = gerade Zahlen, also $y(\pi) = (-1)\^(2k)=1$.
Wenn A=0 ist, widerspricht dies wie bei a) mit $y(x) \neq 1$. Deswegen muss $sin(k\pi)=0$ bei $k \in \mathbb{Z}$.
Wenn nicht $k \in \mathbb{Z}$ gilt dann ist A=0.
Ist das soweit richtig?
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loop_
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Mitteilungen: 848
| Beitrag No.8, eingetragen 2017-04-23
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Ich würde bei der b) eher so vorgehen:
1. Fall: $k = 2n$ mit $n \in \mathbb{Z}$, dann ist die Lösung für alle $A$ gegeben durch....
2. Fall: $k \neq 2n$ ....
Edit:
Vielleicht ist es doch besser erst nach $k$ auszulösen und sich dann Gedanken zu machen.
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SauberC9
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-04-23
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\quoteon(2017-04-23 10:30 - loop_ in Beitrag No. 8)
Ich würde bei der b) eher so vorgehen:
1. Fall: $k = 2n$ mit $n \in \mathbb{Z}$, dann ist die Lösung für alle $A$ gegeben durch....
2. Fall: $k \neq 2n$ ....
Edit:
Vielleicht ist es doch besser erst nach $k$ auszulösen und sich dann Gedanken zu machen.
\quoteoff
1. Fall: $k = 2n$ mit $n \in \mathbb{Z}$, dann muss $A \in \mathbb{R}$, weil der sin-Termn eh immer null wird.
2. Fall: $k \neq 2n$ dann muss wieder $A \in \mathbb{R}$ sein, aber B muss B=-1 sein.
Das würde ja $y(x) \neq 1$ widersprechen.
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loop_
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| Beitrag No.10, eingetragen 2017-04-23
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Also erstmal hast du $B = 1$ doch schon durch deinen ersten Randwert bestimmt. An dem ändert sich auch nichts mehr.
Für den ersten Fall $k = 2n$ sollte es eher heißen, dass dies für alle $A$ gilt.
Als nächstes würde ich einfach mal nach $k$ auflösen.
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