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Universität/Hochschule J Ursprung-Sigma-Algebra bestimmen
Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-02


Hi,
es geht um folgende Aufgabe:
Im folgenden sei <math>f: \ E \to \ \mathbb{R}</math>, und <math>\mathbb{R}</math> sei versehen mit der Borel-Sigma-Algebra <math>\mathbb{B(R)}</math>. Bestimme jeweils die Urbild-Sigma-Algebra <math>A=\{f^{-1}(B) \ | \ B \in \mathbb{B(R)} \}</math>:
a) <math>E=\mathbb{R}, \ f(x)=max(min(x,1),0)</math>
b) <math>E=\mathbb{R}, \ f(x)=x^2</math>
c) <math>E=\mathbb{R}^2, \ f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2</math>

Ich verstehe leider nicht genau wie ich vorgehen muss.
<math>\mathbb{B(R)}</math> ist die durch <math>O</math> erzeugte Sigma-Algebra, wobei <math>O</math> alle offenen Mengen von <math>\mathbb{R}</math> enthält. Da es seine Sigma-Algebra ist, ist <math>\mathbb{R}</math>, alle Komplemente der offenen Mengen und alle abzählbaren Vereinigungen enthalten.
Betrachte ich jetzt einfach mal b):
Die Umkehrfunktion ist ja <math>f^{-1}(x)=\sqrt{y}</math>. Ein beliebiges Element B aus <math>\mathbb{B(R)}</math> kann ich darstellen als: <math>B=\cup \limits_{i=1}^{\infty} O_i"</math>, wobei <math>O_i"=\{O_i,O_i^C\}</math> ist mit <math>O_i^C</math> das Komplement von <math>O_i</math> sein soll mit <math> O_i</math> offene Menge in <math>\mathbb{R}</math>.

D.h. ich könnte doch sagen, dass <math>f^{-1}(B)=\cup \limits_{i=1}^{\infty} \sqrt{O_i"}</math> für <math>B=\cup \limits_{i=1}^{\infty} O_i"</math> gilt und somit würde <math>A</math> genau aus Elementen dieser Form bestehen. Wobei das doch dann wiederum <math>\mathbb{B(R)}</math> sein müsste oder?

Bin mir allerdings unsicher, ob das so stimmt, weswegen es super wäre, wenn mir jemand helfen könnte. Vorallem ist bei der a) das Bild lediglich das Intervall <math>[0,1]</math>. Dort könnte ich ja gar nicht das Urbild von allen Elementen aus <math>\mathbb{B(R)}</math> bestimmen, wenn ich so vorgehen würde wie zuvor. Ich schätze mal, dass ich dann nur die Elemente der Sigma-Algebra-betrachten soll die im Bild liegen oder?

Liebe Grüße, Bruce



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Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-03


Keiner eine Idee?
Im Internet findet man leider kein Beispiel, sondern nur die Definition einer Ursprung-Sigma-Algebra oder den Beweis dafür, dass die Ursprung-Sigma-Algebra tatsächlich einer Sigma-Algebra ist.

Idee zur a):
Man kann f auch wie folgt schreiben:
<math>f(x)=
\begin{cases}
0 \ , x \le 0 \\
x \ , x \in (0,1) \\
1 \ , x \ge 1
\end{cases}
</math>

Wenn mein Verständnis für eine Ursprung-Sigma-Algebra korrekt ist, wäre die Usprung-Sigma Algebra ohne <math>x \le 0 \lor x \ge 1</math> einfach nur <math>\{B \ | \ B \in \mathbb{B}((0,1))\}</math>. Beziehen wir die gerade ausgeschlossenen x noch mitein, so müssten wir sowas wie <math>\{B \ | \ B \in \mathbb{B}((0,1))\} \ \cup \ (-\infty,0] \ \cup \ [1,\infty)</math> erhalten.



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Bruce94 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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