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Universität/Hochschule Spektrale Finite Elemente
civilengineer
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  Themenstart: 2017-05-30

Hallo, bei der Lösung der Wellengleichung bin ich in der Literatur auf eine Matrizengleichung gestossen, die folgendermassen ausschaut: (\kappa^2 * [K_2] + \kappa * [K_1] + ([K_0] - \omega^2 * [M])) * \v^> = 0^> k ist die Wellenzahl. K0, K1 und K2 sind Matrizen, die mit der Steifigkeit des Systems zu tun haben. Omega ist eine Frequenz, die man vorgibt, um nach k (Eigenwerte) und den Eigenvektoren aufzulösen. M ist die Massenmatrix. Ich würde gerne wissen, woher genau diese Gleichung kommt?! Wie hängt diese Matrizengleichung mit der Wellendifferentialgleichung zusammen? Und wie rechnet man die Schwingformen (die freien Vibrationen) mithilfe von den Eigenwerten und Eigenvektoren dieser obigen Gleichung aus? Ich würde mich freuen, falls jemand, der sich mit der Lösung der Wellengleichung mithilfe der Fouriertransformation auskennt, mir einen Ansatz dazu machen könnte. Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! Edit: Nebenfrage Edit: Nebenfrage


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civilengineer
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-03

Im Prinzip geht es um die Konstruktion einer vollständigen Lösung von irgendeiner Wellengleichung im Frequenzbereich und die Rücktransformation dieser Lösung in den Zeitbereich...


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Spock
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  Beitrag No.2, eingetragen 2017-06-03

Hallo! \quoteon(2017-05-30 10:08 - civilengineer im Themenstart) ... bei der Lösung der Wellengleichung bin ich in der Literatur auf eine Matrizengleichung gestossen ... \quoteoff Deine Frage wird wahrscheinlich klarer, wenn Du die "Literatur" dazu angibst, Wellengleichungen gibt es wie Sand am Meer, :-) Gruß Juergen


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civilengineer
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-03

Hi Juergen, danke für deine Antwort. Hier ist die Gleichung, die ich gemeint habe, mit Ansatz in dieser PDF-Datei: Chapter 8: Waveguide Finite Element Method http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/31462_2.jpg http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/31462_3.jpg http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/31462_4.jpg Ich habe genauso ein Gleichungssystem (8.27) vor mir liegen und ich hab nach den Eigenwerten $ (\kappa) $ und den Eigenvektoren gelöst. Ich weiss mittlerweile, dass man für die Verschiebungen den Ansatz $ u(x) = A \cdot e^{i \kappa x} $ macht ... A sind die Amplituden der Wellen ... Ich kann mit der Lösung gerade trotzdem nichts anfangen ... Ich dachte die Lösung (des Eigenwertproblems für eine gegebene Frequenz $ \omega $) hängt nicht nur von x sondern auch von der Zeit t ab ... Im Prinzip sind die Eigenvektoren, die man aus diesem Gleichungssystem rausbekommt genau diese Amplituden, richtig? Wenn man also die Eigenvektoren aus der Lösung mit $ e^{i \kappa x} $ multipliziert, dann hat man schon eine Lösung, korrekt? ... Das grösste Problem dabei ist, dass sowohl die Eigenvektoren (A) als auch die zugehörigen Eigenwerte $ (\kappa) $ komplexe Zahlen sind. Die Verschiebung somit auch?!?! ... Die Verschiebung sollte aber eine reelle Grösse sein ... ? Viele Grüße CE


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civilengineer
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-07

Soll ich einfach den Realteil der Verformung v(x) nehmen? ... Was ist mit der Zeit t? ...


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civilengineer
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-07

Der Lösungsansatz in Gleichung (8.29)... Der hängt nur von x ab... Wo bleibt die Abhängigkeit von der Zeit t? Ausserdem sind sowohl die Amplituden als auch die Wellenzahlen (die Eigenwerte) komplexe Zahlen... Wo bleibt die reale Verschiebung?!...


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civilengineer
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-09

Alle machen Informatik jetzt, niemand will Physik machen


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civilengineer
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-10

Jemand eine Idee?


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civilengineer
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-10

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civilengineer
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-13

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civilengineer
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-13

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Spock
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  Beitrag No.11, eingetragen 2017-06-14

Hallo! Normalerweise wird man die zweite Zeitableitung (und damit die Zeitabhängigkeit) in der Wellengleichung los, wenn man vom Zeitbereich in den Frequenzbereich fouriertransformiert. Unter Umständen hat der Verfasser auch einen stationären Lösungsansatz der Form v^>(x^>,t)=v^>^~(x^>) exp(-\ii\.\w t) gewählt. Beides würde das \w^2 in den Gleichungen erklären. Aber so richtig verstanden habe ich die Gleichung (8.24) und (8.27) in Deinem Beitrag No.3 noch nicht, zumal auch Dein Link zur gesamten Datei bei mir nicht funktioniert. Ist Dein Problem, daß Du den Artikel verstehen mußt, oder wie lautet Deine Wellengleichung bevor Du bei der Gleichung landest, die Du im Themenstart hingeschrieben hast? Gruß Juergen


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-15

Hallo Jürgen, danke für deine Antwort! Wie man auf dieses Eigenwertproblem kommt, ist mir auch noch ein Rätsel. Ich weiss nur, dass es dieses Problem gibt und dass man für die Transformation der Gleichung (8.27) den Lösungsansatz in Gleichung (8.29) wählt, um auf ein quadratisches Eigenwertproblem zu kommen. Die Lösung dieses Eigenwertproblems liefert sowohl die Eigenwerte (Wellenzahlen, kappa) als auch die (Rechts-)Eigenvektoren (Amplituden der Wellenschwingungen). Sowohl die Eigenwerte als auch die Eigenvektoren können komplex sein. Die Eigenwerte liegen genau doppeltsymmetrisch zu den Achsen der komplexen Zahlenebene. Wie kann ich aus diesen (angeblichen) Lösungen eine Wellenschwingung genau konstruieren? Ich würde gerne die Wellen animieren. Ich habe mir dazu ein Mathebuch (Spectral Theory of Guided Waves von A.S Silbergleit,Y Kopilevich) von der Bib bestellt und hoffe, dass die Erklärung dort zu finden ist?! Viele Grüße CE


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19

In einem Paper mit dem folgenden Namen: 'A waveguide finite element and boundary element approach to calculating the sound radiated by railway and tram rails' vom 27.10.2008 habe ich genau diese Gleichung gefunden (wenn man F = 0 setzt): http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/31462_12345.jpg Ich habe die Lösungen für Gleichung 15 rausgefunden. Das sind dann die U^~(\kappa)Lösungen? Muss ich jetzt die Formel U^~(x) = 1/(2 \pi) int(U^~(\kappa) e^(-i*\kappa*x),x,-\inf ,+\inf) anwenden, um die Lösungen in Abhängigkeit von x rausfinden zu können? ... Viele Grüße CE


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19

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  Beitrag No.15, eingetragen 2017-06-20

Hallo! \quoteon(2017-06-19 16:19 - civilengineer in Beitrag No. 13) ... Ich habe die Lösungen für Gleichung 15 rausgefunden. Das sind dann die U^~(\kappa) Lösungen? Muss ich jetzt die Formel U^~(x) = 1/(2 \pi) int(U^~(\kappa) e^(-i*\kappa*x),x,-\inf ,+\inf) anwenden, um die Lösungen in Abhängigkeit von x rausfinden zu können? ... \quoteoff Ja! Gruß Juergen


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-20

Hallo Jürgen, ok, da habe ich meine Probleme, diese Formel anzuwenden bzw. überhaupt zu verstehen ... Und zwar ist es so: Ein Eigenwert $ \kappa_{i} $ und der zugehörige Eigenvektor $ U^{~}_{i}\left(\kappa_{i} \right) $ sind immer konstant und größtenteils komplex... Also wenn der Eigenvektor $ U^{~}_{i}\left(\kappa_{i} \right) $ konstant ist, dann kann ich ihn aus der Integration herausnehmen: $ U^{~}_{i}\left(x \right) = U^{~}_{i}\left(\kappa_{i} \right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \cdot \kappa_{i} \cdot x} d \kappa $. Korrekt? Dann muss ich nur die Exponentialfunktion von $ -\infty $ bis $ +\infty $ integrieren: $ U^{~}_{i}\left(x \right) = U^{~}_{i}\left(\kappa_{i}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \pi} \cdot \frac{1}{-i \cdot x} \cdot \left(e^{-i \cdot \kappa_{i} \cdot x} \right) \limits_{- \infty}^{\infty} $ Korrekt? ... Ich weiss nicht, wie das weitergehen soll ... cauchy residue theorem?!?! ... Die Integration über $ \kappa $ von $ -\infty $ bis $ +\infty $ macht gerade nicht viel Sinn für mich ... Es gibt reelle, imaginäre und komplexe Eigenwerte. Sie liegen doppeltsymmetrisch zu den Achsen der komplexen Zahlenebene... Ist diese Formel so zu interpretieren, dass man einfach über alle vorhandenen Eigenwerte $ \kappa_{i} $ und Eigenvektoren $ U^{~}_{i}\left(\kappa_{i} \right) $ aufsummiert? ... Kann man anhand eines Eigenwertes mit seinem zugehörigen Eigenvektor keine Formel im Zeitbereich herleiten, die die Verschiebungen der Welle (Wellenschwingungen/Vibrationen/...) in Abhängigkeit von x und t beschreibt? ... Viele Grüße CE


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In einem wissenschaftlichen Artikel (Guided wave dispersion curves for a bar with an arbitrary cross-section, a rod and rail example) habe ich das Folgende gefunden: http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/31462_123abc.jpg Bei mir ist N(x,y) = 1 erstmal. Viele Grüße CE


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-21

In einem Paper (On the study of vibration of a supported railway rail using the semi-analytical finite element method - Wenxu Li. Richard A. Dwight. Tieling Zhang.) habe ich das Folgende gefunden: http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/31462_123bvc.jpg ... Viele Grüße CE


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