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Lineare Algebra » Eigenwerte » zeige die Diagonalisierbarkeit
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Universität/Hochschule zeige die Diagonalisierbarkeit
rusMat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-06-13


Ich grüße alle ganz herzlich !
Ich habe folgende Aufgabe gegeben,  die wahrscheinlich simpel ist,  mich aber damit in Schwierigkeiten setze :(

Sei f:V -> V ein endliches  Endomorphismus über dem Körper K. Diese ist durch die Eigenschaft gegeben: f^(3) = f.

Ich soll zeigen,  dass f diagonalisierbar ist.

Ich bitte sie um Hilfe

Grüße,  rusMat



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-13


Hallo!

Post doch bitte was du dir schon überlegt hast. Was konntest du mit der gegebenen Eigenschaft bereits anfangen?

Und eine Frage: Gibt es für den Körper K vielleicht noch eine Einschränkung?

mfg


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Die Beherrschung der Arithmetik, Herr Kollege, ist keine Frage der Überheblichkeit, hätte ich gedacht.

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rusMat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-14


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rusMat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-14


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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-06-14


Die Idee ist okay, aber du solltest es sauber formulieren.

1) Verwende die Begriffe Minimalpolynom bzw. charakteristisches Polynom.
2) Mache deutlich, wo K=R eingeflossen ist, meine Frage zielt darauf ab, dass die Aussage nicht für alle Körper gilt.

mfg


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rusMat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-17


Hallo,


Also Char.Pol. zerfällt vollständig, und die EW´s sind paarweise verschieden. Dementsprechend ist das Min.Pol. dann min(f) = f(f-1)(f+1), das Heißt die Jordannormalform die Blöcke auf der Hauptdiagonale Kästchen 1x1 hat, also es ist dann eine Diagonalmatrix.


Vielen Dank



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rusMat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-17


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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-06-17


Deine Notation ist mir etwas fremd, aber im Grunde hast du richtig argumentiert. Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren, damit ist f diagonalisierbar.

mfg


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
tepsi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-04


Errata: Die hier aufgestellte Folgerung ist offensichtlich falsch, danke zippy !

Hallo mir ist ein Zwischenschritt noch nicht klar, der denk ich ganz besonders wichtig ist:

 "Aus <math>\displaystyle f(f^2-id)=0 </math> folgt die Gestalt des charakteristisches Polynom <math>\displaystyle X_f(x)=x*(x+1)(x-1)  </math>"
 mit <math>\displaystyle X_f(x)=^{def} det(xE-A) </math>
(Wobei A die Matrixdarstellung des Endomorphismus ist)

Könnt ihr mir da einen Tipp geben ?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-04


2020-06-04 18:53 - tepsi in Beitrag No. 8 schreibt:
"Aus $\displaystyle f(f^2-id)=0$ folgt die Gestalt des charakteristisches Polynom $\displaystyle X_f(x)=x*(x+1)(x-1)$"

Diese Aussage ist offensichtlich falsch, wie das Gegenbeispiel $f=\rm id$ zeigt.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-04


@tepsi: Woher stammt denn das Zitat? Nicht aus dem Thread. Du scheinst dich aber immerhin auf dieselbe Aufgabe zu beziehen...


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⊗ ⊗ ⊗



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tepsi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-04


Hallo, stimmt, das sieht man sofort.

Das Zitat stammt aus Beitrag No. 6, jedoch habe ich den Beitrag falsch wiedergegeben.

Ich frage direkt nach.
Wie kommt man von der Zerlegung der Gleichung $$f^3=f$$ auf die Aussagen über das Minimalpolynom, genauer: wieso kann man aus der Zerlegung der Gleichung folgern, dass das char. Polynom in Linearfaktoren zerfällt ?

Das ist sicher sehr einfach, nur sehe ich die Verbindung nicht.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-04


2020-06-04 19:34 - tepsi in Beitrag No. 11 schreibt:
Wie kommt man von der Zerlegung der Gleichung $f^3=f$ auf die Aussagen über das Minimalpolynom

Aus $f^3=f$ folgt $p(f)=0$ für $p=T^3-T$.

Das Minimalpolynom von $f$ ist ein Teiler von $p$. Da $p$ in unterschiedliche Linearfaktoren zerfällt, hat das Minimalpolynom somit dieselbe Eigenschaft.

Und daraus folgt schon – ohne Rückgriff auf das charakteristische Polynom – die Diagonalisierbarkeit von $f$.



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tepsi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-06-04


stimmt dann allgemein etwa:
ein Polynom $p$, welches mit dem Einsetzungshomomorphismus $p(A)$ null wird, ist durch das Minimalpolynom teilbar ?

Gibt es dazu etwa einen Satz, den ich vielleicht genauer ansehen sollte?

∞-dank zippy und ligning



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zippy
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2020-06-04 20:03 - tepsi in Beitrag No. 13 schreibt:
Gibt es dazu etwa einen Satz, den ich vielleicht genauer ansehen sollte?

Das Minimalpolynom $m$ von $f$ ist in einem doppelten Sinne minimal:
1. Minimalität in Bezug auf den Grad: Es gibt kein Polynom $p\ne0$ mit $p(f)=0$, das einen kleineren Grad als $m$ hat.
2. Minimalität in Bezug auf die Teilbarkeit: Jedes Polynom $p$ mit $p(f)=0$ ist ein Vielfaches von $m$.

[$2\Rightarrow1$ ist offensichtlich, $1\Rightarrow2$ folgt aus Division mit Rest.]



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