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Universität/Hochschule Asymptoten einer DGL / Phasenportrait
Lebowski
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  Themenstart: 2017-06-19

Hallo zusammen, bin gerade dick im Lernstress für meine Prüfung übermorgen und habe in einem Protokoll folgende Aufgabe gefunden: Löse y''+2y'+y= cos (x) Gut, hab dann erst die homogene Lösung berechnet und dann die partikuläre mit Typ der rechten Seite. Da kommt dann raus y=(c_1)e^(-t)+(c_2)te^(-t) + 1/2 sin x Der Ansatz lautet ja Acos(x) + B cos (x) Frage des Professors: Warum lösbar, wenn wir nur eine Bedingung und zwei Unbekannte haben? Ich versteh diese Frage nicht :D Gut weiter geht's: Man soll nun das Phasenportrait zur homogenen DGL zeichnen. Da ich einen doppelten negativen Eigenwert habe, vermute ich mal, dass da ein stabiler Knoten rauskommt. Jetzt steht im Protokoll: Wie kommt man auf Asymptoten (1,lamda) und wie leitet man diese her? Warum gilt das? Diese Frage verstehe ich auch nicht so richtig... Ich hätte, um das Phasenportrait zu zeichnen, das ganze in ein System umgewandelt und dann ein paar Punkte eingesetzt. Das ist aber ausdrücklich nicht erwünscht. Habt ihr eine Ahnung, wie das gemacht wird und wie die Antwort auf die Fragen lauten könnte?


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haerter
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-20

Hallo Lebowski, \quoteon Der Ansatz lautet ja Acos(x) + B cos (x) Frage des Professors: Warum lösbar, wenn wir nur eine Bedingung und zwei Unbekannte haben? Ich versteh diese Frage nicht :D \quoteoff Ich würde die Frage so verstehen, dass man erklären soll, dass sin und cos immer zusammen betrachtet werden sollen und es darum auch zwei Bedingungen gibt. Bei der cos-Bedingung steht dann rechts eben "=0". Man könnte auch komplex rechnen, dann hätte man ja auch zwei Terme und müsste einen Ansatz mit zwei Unbekannten wählen. \quoteon Man soll nun das Phasenportrait zur homogenen DGL zeichnen. Da ich einen doppelten negativen Eigenwert habe, vermute ich mal, dass da ein stabiler Knoten rauskommt. Jetzt steht im Protokoll: Wie kommt man auf Asymptoten (1,lamda) und wie leitet man diese her? Warum gilt das? \quoteoff Ich weiß nicht ganz, was Du unter einem stabilen Knoten verstehst, aber das Phasenportrait sieht unterschiedlich aus je nachdem, ob die Eigenwerte verschieden oder gleich sind. Insbesondere haben alle Lösungen für $t\to\infty$ die selbe Tangentialrichtung, während bei unterschiedlichen Eigenwerten auch Lösungen existieren, die aus Richtung des anderen Eigenvektors auf den Ursprung zulaufen. In einer mündlichen Prüfung würde ich vermutlich dazu raten, nicht nur zu sagen "Ich verstehe die Frage nicht", sondern ein paar Überlegungen anzustellen und dann mit "aber vielleicht verstehe ich Ihre Frage auch nicht richtig" dem Prüfer die Gelegenheit zur Präzisierung zu geben. Viele Grüße, haerter Viele Grüße, haerter


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Lebowski
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-20

Hallo haerter! \quoteon(2017-06-20 10:57 - haerter in Beitrag No. 1) Ich würde die Frage so verstehen, dass man erklären soll, dass sin und cos immer zusammen betrachtet werden sollen und es darum auch zwei Bedingungen gibt. Bei der cos-Bedingung steht dann rechts eben "=0". \quoteoff Das könnte tatsächlich die Antwort auf die Frage sein. Danke! \quoteon(2017-06-20 10:57 - haerter in Beitrag No. 1) Ich weiß nicht ganz, was Du unter einem stabilen Knoten verstehst, aber das Phasenportrait sieht unterschiedlich aus je nachdem, ob die Eigenwerte verschieden oder gleich sind. \quoteoff Das sind die Bilder, die ich aus einem Skript habe für einen Knoten http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47396_WIN_20170620_111431.JPG \quoteon(2017-06-20 10:57 - haerter in Beitrag No. 1) Insbesondere haben alle Lösungen für $t\to\infty$ die selbe Tangentialrichtung, während bei unterschiedlichen Eigenwerten auch Lösungen existieren, die aus Richtung des anderen Eigenvektors auf den Ursprung zulaufen. \quoteoff Jetzt haben wir ja einen doppelten Eigenwert, dh. auch nur eine Tangentialrichtung? Und wie kommt man auf die Tangente? Bzw. warum ist die Asymptote (1, lambda)? Hab das ganze Skript durch, aber finde dazu einfach nichts. Und natürlich hast du Recht und ich würde wohl nicht sagen, dass ich die Frage nicht verstehe :D Danke für deine Hilfe!


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haerter
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-06-20

Hallo, die Bilder sind nicht falsch, aber auch nicht sehr präzise. Auf die Schnelle habe ich einen passenden Link gefunden: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/steinmetz/Klassifikation.jpg vielleicht hilft das etwas weiter. Es ght um die "(In-)stabilen 1-tangentialen Knoten", wobei ich persönlich diese Bezeichnung noch nie gehört hatte... Viele Grüße, haerter


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