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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktion konstant (F2001)
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Universität/Hochschule J Holomorphe Funktion konstant (F2001)
Bai
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  Themenstart: 2017-07-06

Hi, ich würde gerne die folgende Examensaufgabe mit Hilfe dieses Forums lösen: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/40795_f2001.png Zu a): Ich bin mir fast sicher, dass das etwas mit dem Maximumsprinzip zu tun hat. Dieses sagt, dass für ein Gebiet U eine holomorphe Funktion $f: U\to\IC$ konstant ist, falls es einen Punkt $p\in U$ gibt, sodass $|f(p)|=\max\{|f(z)|:z\in U\}$ ist. Im reellen wäre der Fall klar: Das Einheitsintervall ist kompakt und f nach Voraussetzung stetig, nimmt dort also sein Maximum an. Im Komplexen weiß ich nicht, wie ich argumentieren kann. Und vor allem weiß ich nicht genau, weshalb es wichtig ist, dass f keine Nullstellen besitzt. Ich hatte auch eventuell überlegt, dass man die Funktion $g:=1/f$ definieren kann, die wegen der Nullstellenfreiheit holomorph ist, und für diese dann zeigt, dass sie beschränkt ist. Damit wäre ich aber wieder beim alten Problem. Zu b) und c) mache ich mir Gedanken, wenn ich die a) habe. Grüße EDIT: Ich lese gerade Folgerung 2.3.13 in "Grundkurs Funktionentheorie" von Fritzsche, in der es heißt, dass $|f|$ auf dem Abschluss eines beschränkten Gebietes sein Maximum annimmt. Wegen des Maximumprinzips kann das nicht in U liegen. Das sollte der Beweis sein. Ich durchdenke das nochmal und antworte ggf selbst.


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-06

Das reicht noch nicht. Da f keine Nullstellen hat, ist auch 1/f holomorph und Du kannst darauf das Maximumsprinzip anwenden.


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Bai
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

Alles klar! Ich denke mal über die b) nach und melde mich dann nochmal.


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Bai
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

Meine b) wäre: Es ist $e^f$ stetig, holomorph und nullstellenfrei. Auf dem Rand $\partial K_1(0)$ ist dann $\Re (f)$ konstant, also auch $c:=\exp(\Re( f))$. Damit ist wegen $|e^{i\cdot \Im(f)}|=1$ also $|e^f|=c$, nach a) also $\exp\circ f$konstant. Damit auch f.


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Ex_Senior
  Beitrag No.4, eingetragen 2017-07-06

Das ist es. c) dürfte trivial sein.


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Bai
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

Jup, ich nehme die Identität.


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digerdiga
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  Beitrag No.6, eingetragen 2017-07-06

Hey, Könnt ihr mir mal bitte auf die Sprünge helfen wo hier der Beweis für a) ist? Es ist doch nirgends die Rede davon, dass f ein Maximum in U hat, sondern lediglich, dass f konstant auf dem Rand ist. Woraus folgt also nun, dass f konstant ist?


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Ex_Senior
  Beitrag No.7, eingetragen 2017-07-06

Das haben wir auch nicht ausformuliert. Die Beweisskizze: Falls f ein Maximum in U hat, ist f konstant. Falls nicht, hat 1/f ein Maximun und ist daher konstant. Hier wird ausgenutzt, dass f keine Nullstellen hat.


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Bai
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

Hi, ich habe das so verstanden: Stetige Funktionen $f: \overline{K_1(0)}\to\IC$, die holomorph auf $K_1(0)$ sind, nehmen ihr Maximum auf dem Rand an. Die Funktion $1/|f|$ nimmt also auf dem Rand ihr Minimum an, das Maximum, das es auf der Kompakten Menge $\overline{K_1(0)}$ geben muss, wird also auf dem Inneren angenommen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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digerdiga
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  Beitrag No.9, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 22:01 - TomTom314 in Beitrag No. 7) Das haben wir auch nicht ausformuliert. Die Beweisskizze: Falls f ein Maximum in U hat, ist f konstant. Falls nicht, hat 1/f ein Maximun und ist daher konstant. Hier wird ausgenutzt, dass f keine Nullstellen hat. \quoteoff Ah. :-) OK ja danke! D.h. der Satz gilt nicht wenn f Nullstellen hat?


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digerdiga
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  Beitrag No.10, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 22:01 - Bai in Beitrag No. 8) Hi, ich habe das so verstanden: Stetige Funktionen $f: \overline{K_1(0)}\to\IC$, die holomorph auf $K_1(0)$ sind, nehmen ihr Maximum auf dem Rand an. Die Funktion $1/|f|$ nimmt also auf dem Rand ihr Minimum an, das Maximum, das es auf der Kompakten Menge $\overline{K_1(0)}$ geben muss, wird also auf dem Inneren angenommen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.] \quoteoff Was nicht sein kann und daher muss f konstant sein?


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Bai
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 22:09 - digerdiga in Beitrag No. 10) Was nicht sein kann und daher muss f konstant sein? \quoteoff Doch, das kann sein und ist so. Deswegen greift auch das Maximumprinzip, das ich im Themenstart erwähnt habe. \quoteon(2017-07-06 22:05 - digerdiga in Beitrag No. 9) D.h. der Satz gilt nicht wenn f Nullstellen hat? \quoteoff Ja, weil 1/f dann nicht holomorph ist.


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Ex_Senior
  Beitrag No.12, eingetragen 2017-07-06

Noch ein Kommentar zu #7 ,#8. Bai und ich haben leicht unterschiedliche Varianten des Maximumsprinzips verwendet, d.h. bei mir: Falls $|f|$ im Inneren ein lokales Maximum hat, so ist f konstant. Was Du verwenden kannst, hängt von Deiner Vorlesung ab. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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digerdiga
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  Beitrag No.13, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 22:22 - Bai in Beitrag No. 11) \quoteon(2017-07-06 22:09 - digerdiga in Beitrag No. 10) Was nicht sein kann und daher muss f konstant sein? \quoteoff Doch, das kann sein und ist so. Deswegen greift auch das Maximumprinzip, das ich im Themenstart erwähnt habe. \quoteon(2017-07-06 22:05 - digerdiga in Beitrag No. 9) D.h. der Satz gilt nicht wenn f Nullstellen hat? \quoteoff Ja, weil 1/f dann nicht holomorph ist. \quoteoff Hä? :-( Aber 1/f ist holomorph und dann muss auch 1/|f| sein Maximum auf dem Rand annehmen? Oder was ist deine Aussage?


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digerdiga
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  Beitrag No.14, eingetragen 2017-07-06

Apropos Maximumsprinzip: Ich habe hier folgenden Satz aus dem Beweis: Sei $z_0 \in U$ und $V \subseteq U$ eine offene Umgebung von $z_0$. Nach dem Satz von der Gebietstreue enthält f(V) eine ganze Kreisscheibe mit Mittelpunkt $w_0 = f(z_0)$. In einer solchen gibt es aber offenbar immer Punkte vom Betrag $>|w_0|$... So offenbar ist mir das irgendwie nicht, wieso ist das so?


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Bai
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 22:34 - digerdiga in Beitrag No. 13) Aber 1/f ist holomorph und dann muss auch 1/|f| sein Maximum auf dem Rand annehmen? Oder was ist deine Aussage? \quoteoff Ja, den Gedanken hatte ich auch. Ich habe, wie gesagt, nur das in meinem Funktionenbuch gefundene Theorem verwendet. Es steht zwar schon im Edit des Themenstarts, aber ich zitiere es hier nochmal sauber: Sei $G\subset\IC$ ein beschränktes Gebiet, $f: \overline{G}\to\IC$ stetig und holomorph auf $\IC$, so nimmt $|f|$ sein Maximum auf dem Rand von $G$ an. Nach diesem Satz kann |f| mit den Voraussetzungen aus der Aufgabe also gar nicht auf dem Inneren sein Maximum annehmen. Vielleicht hat der von dir getätigte Einwand etwas mit der Stetigkeit zu tun.


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digerdiga
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  Beitrag No.16, eingetragen 2017-07-06

Also sagst du jetzt, dass |f| im Inneren ein echtes Minimum annimmt?


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Bai
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

Zumindest ein lokales.


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digerdiga
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  Beitrag No.18, eingetragen 2017-07-06

Aber dazu sagte TomTom in #7 doch schon, dass das nicht geht...


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Ex_Senior
  Beitrag No.19, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 22:48 - Bai in Beitrag No. 15) Nach diesem Satz kann |f| mit den Voraussetzungen aus der Aufgabe also gar nicht auf dem Inneren sein Maximum annehmen. \quoteoff Hier muss ich noch ein paar Haare spalten. Das Maximum kann im Inneren angenommen werden, ist aber nie größer als auf dem Rand. Dieses ist gerade bei einer konstanten Funktion der Fall. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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Bai
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 23:03 - digerdiga in Beitrag No. 18) Aber dazu sagte TomTom in #7 doch schon, dass das nicht geht... \quoteoff Das sehe ich nicht, $1/|f|$ kann doch nur ein Maximum haben, wenn $|f|$ ein Minimum hat.


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digerdiga
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  Beitrag No.21, eingetragen 2017-07-06

|f| hat ein Maximum, das auf dem Rand angenommen wird. (D.h. nur für ein z0 auf dem Rand gilt f(z)<=f(z0) für alle z aus dem Abschluss - so jedenfalls versteh ich das Maximumsprinzip) Prinzipiell könnte also |f| ein echtes Minimum im Inneren haben. Da aber f keine Nullstellen hat und 1/f damit holomorph ist muss auch 1/|f| sein Maximum auf dem Rand annehmen... Beides ist nur vereinbar mit |f|=konstant. Das war TomToms Argument. Wobei ich mich gerade noch frage, wäre dann nicht eine reine Phase trotzdem erlaubt? Wobei die wäre nicht holomorph, oder? PS: Vllt fällt euch ja noch was zu #14 ein?


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Ex_Senior
  Beitrag No.22, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 23:19 - digerdiga in Beitrag No. 21) ... vereinbar mit |f|=konstant. Das war TomToms Argument. Wobei ich mich gerade noch frage, wäre dann nicht eine reine Phase trotzdem erlaubt? \quoteoff Das das ist auch Bais Argument. Die Frage |f|=konstant => f konstant ist berechtigt. Der Offenheitssatz, Satz von der Gebietstreue liefert im Zweifel die Antwort. Zu #14, Existenz des Punktes. Nimm w0 + r mit r pos. reell.


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digerdiga
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  Beitrag No.23, eingetragen 2017-07-06

\quoteon(2017-07-06 23:43 - TomTom314 in Beitrag No. 22) \quoteon(2017-07-06 23:19 - digerdiga in Beitrag No. 21) ... vereinbar mit |f|=konstant. Das war TomToms Argument. Wobei ich mich gerade noch frage, wäre dann nicht eine reine Phase trotzdem erlaubt? \quoteoff Das das ist auch Bais Argument. \quoteoff Kannst du mir dann vllt nochmal erklären was er meinte? \quoteon Die Frage |f|=konstant => f konstant ist berechtigt. Der Offenheitssatz, Satz von der Gebietstreue liefert im Zweifel die Antwort. Zu #14, Existenz des Punktes. Nimm w0 + r mit r pos. reell. \quoteoff hm...ja. schon..


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Ex_Senior
  Beitrag No.24, eingetragen 2017-07-06

Sei c der Wert von |f| auf dem Rand. Dann gilt nach dem Maximumsprinzip $|f|\leq c$ Da 1/f holomorph ist, gilt analog $1/|f|\leq 1/c$ Macht zusammen |f|=c.


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digerdiga
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  Beitrag No.25, eingetragen 2017-07-07

\quoteon(2017-07-06 23:56 - TomTom314 in Beitrag No. 24) Sei c der Wert von |f| auf dem Rand. Dann gilt nach dem Maximumsprinzip $|f|\leq c$ Da 1/f holomorph ist, gilt analog $1/|f|\leq 1/c$ Macht zusammen |f|=c. \quoteoff DER Wert? Gibt es also nur einen Wert auf dem Rand? Könnte es nicht einen Wert $c_1$ auf dem Rand geben für den gilt: $|f| \leq c_1$ und auch einen Wert $c_2$ so dass $|f|\geq c_2$ ? Ich stell mir das so vor, dass |f| auf der einen Seite maximal wird und dann an der anderen Seite (wenn ich mir das als Funktion geplottet in R^2 vorstelle) sein Minimum annimmt?!?! OK: das war nicht die Aufgabenstellung aber das wäre ja möglich, ne?


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Ex_Senior
  Beitrag No.26, eingetragen 2017-07-07

Der Wert! Laut Aufgabe ist |f| auf dem Rand konstant.


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digerdiga
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  Beitrag No.27, eingetragen 2017-07-07

Das hatte ich schon wieder vergessen :-( und ist wohl auch der springende Punkt hier!


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digerdiga
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  Beitrag No.28, eingetragen 2017-07-07

\quoteon(2017-07-06 23:43 - TomTom314 in Beitrag No. 22) \quoteon(2017-07-06 23:19 - digerdiga in Beitrag No. 21) ... vereinbar mit |f|=konstant. Das war TomToms Argument. Wobei ich mich gerade noch frage, wäre dann nicht eine reine Phase trotzdem erlaubt? \quoteoff Das das ist auch Bais Argument. Die Frage |f|=konstant => f konstant ist berechtigt. Der Offenheitssatz, Satz von der Gebietstreue liefert im Zweifel die Antwort. Zu #14, Existenz des Punktes. Nimm w0 + r mit r pos. reell. \quoteoff wobei -1+I*1+r mit r positiv ist kleiner?! r negativ würde gehen...


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Ex_Senior
  Beitrag No.29, eingetragen 2017-07-07

Mein Fehler. w0*(1+r) mit r>0 hinreichend klein liefert einen passenden Punkt.


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Bai hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Bai hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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