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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Kann man das Finden von Linksinversen als Auswahl von einer Menge formulieren?
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Universität/Hochschule J Kann man das Finden von Linksinversen als Auswahl von einer Menge formulieren?
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-07-18


Es seien <math>A, B, C</math> Mengen und <math>g:B\to C</math>, <math>h:A\to C</math> Funktionen. Für jedes <math>a\in A</math> hat man die Menge <math>X_a:=\{b\in B\mid g(b)=h(a)\}\subseteq B</math>. Das liefert uns eine Funktion <math>X:A\to \mathcal P(B)</math>, die gegeben ist durch <math>a\mapsto X_a</math>. Jetzt gilt Folgendes: Eine Funktion <math>f:A\to B</math> erfüllt <math>g\circ f = h</math> genau dann, wenn <math>f(a)\in X_a</math> für alle <math>a\in A</math>.

Ich frage mich, ob das auch in der folgenden, ähnlichen, Situation gilt: Seien <math>f:A\to B</math> und <math>h:A\to C</math> gegeben. Gibt es eine Funktion <math>X:B\to \mathcal P(C)</math> derart dass für alle <math>g:B\to C</math> die Aussage <math>g\circ f=h</math> genau dann gilt, wenn <math>g(b)\in X_b</math> für alle <math>b\in B</math>?



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-18


Gibt es, aber die <math>X_b</math> dürfen dann höchstens ein Element haben. Also vermutlich nicht das, was du meinst.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-07-18


Teilergebnis: Die Antwort ist Ja, wenn <math>f</math> injektiv ist. Definiere nämlich <math>X_b = h(f^{-1}(b))</math> für <math>b \in f(A)</math> und <math>X_b = C</math> sonst. Ist <math>g : B \to C</math> eine Funktion, so gilt genau dann <math>g(b) \in X_b</math> für alle <math>b \in B</math>, wenn <math>g(f(a)) \in X_{f(a)} = \{h(a)\}</math> für alle <math>a \in A</math>. Wenn <math>f</math> nicht injektiv ist, ist <math>X_{f(a)}</math> größer als <math>\{h(a)\}</math>, sodass man sich etwas anderes überlegen muss. Vermutlich gibt es i.A. keine solche Funktion <math>X</math>.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-18


2017-07-18 18:57 - darkhelmet in Beitrag No. 1 schreibt:
Gibt es, aber die <math>X_b</math> dürfen dann höchstens ein Element haben. Also vermutlich nicht das, was du meinst.

Warum?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-07-18


Ok, es gilt doch allgemein.

Wir unterscheiden zwei Fälle:

1) Es gilt <math>f(a)=f(a") \Rightarrow h(a)=h(a")</math> für alle <math>a,a" \in A</math>. In diesem Fall gilt <math>h(f^{-1}(f(a))=\{h(a)\}</math> für alle <math>a \in A</math>, sodass man die Methode aus Beitrag No. 2 verwenden kann.

2) Es gilt nicht <math>f(a)=f(a") \Rightarrow h(a)=h(a")</math> für alle <math>a,a" \in A</math>. In diesem Fall kann es gar keine Funktion <math>g : B \to C</math> geben mit <math>g \circ f = h</math>. Außerdem ist <math>A</math> und damit auch <math>B</math> nichtleer. Wir definieren nun <math>X_b = \emptyset</math> für alle <math>b \in B</math>. Dann gibt es keine Funktion <math>g : B \to C</math> mit <math>g(b) \in X_b</math> für alle <math>b \in B</math>.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-07-18


Man kann die Fallunterscheidung auch von <math>b</math> abhängig machen:

<math>X_b=h\big(f^{-1}(b)\big)</math>, wenn diese Menge einelementig ist,
<math>X_b=C</math>, wenn <math>f^{-1}(b)=\emptyset</math> (in Beitrag No. 1 vergessen),
und <math>X_b=\emptyset</math> sonst.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-19


Danke!



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