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Strukturen und Algebra » Gruppen » Wie erkenne ich die uneigentlichen Symmetrien?
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Universität/Hochschule J Wie erkenne ich die uneigentlichen Symmetrien?
Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-07-21


Nabend,

ich schaue mir gerade die Symmetrien bei den Platonischen Körpern an.
Was ich ganz gut nachvollziehen kann, sind die Drehsymmetrien (also die eigentlichen Symmetriegruppen).

Aber was ich überhaupt nicht kapiere, ist, wie man dann sieht, welche uneigentlichen Symmetrien man noch hinzufügen muss, damit man die uneigentliche Symmetriegruppe bekommt.

Beispiel: Isokaeder.
Ich weiß, dass es 60 eigentliche Symmetrien (Drehungen) gibt.
Wie weiß man nun, wie die restlichen 60 uneigentlichen aussehen?

(Insgesamt müssen es ja 120 Symmetrien sein.)




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Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-22


Hallo,

ich habe mir Folgendes überlegt.

Wenn ich mich richtig informiert habe, so bilden die reinen Drehungen die sogenannte Punktgruppe erster Art, ich nenne sie <math>P_1</math> während die anderen Symmetrieabbildungen, zusammen mit den Elementen aus <math>P_1</math>, die Punktgruppe zweiter Art bilden, die ich <math>P_2</math> nenne. Das heißt <math>P_1</math> ist eine Untergruppe von <math>P_2</math>.

Die Abbildungen in <math>P_1</math>, also die Drehungen, sind orientierungserhaltend, d.h. <math>det p_1=1</math> für alle <math>p_1\in P_1</math>. Die Abbildungen in <math>P_2</math> sind dies nicht, also <math>det p_2=-1</math> für alle <math>p_2\in P_2</math>.

So, jetzt seien <math>F,G\in P_2</math> beliebig und <math>FP_1</math> und <math>GP_1</math> die Linksrestklassen, dann gilt wegen <math>det F=det G=-1</math> doch für beliebiges <math>p_1\in P_1</math>:

<math>det (F^{-1}Gp_1)=det(F^{-1})det(G)det(p_1)=1</math>, d.h. <math>F^{-1}Gp_1\in P_1</math>, d.h. <math>F^{-1}GP_1\subset P_1</math> und somit <math>GP_1\subset FP_1</math>.

Analog: <math>G^{-1}FP_1\subset P_1</math> und <math>FP_1\subset GP_1</math>.

Das heißt: <math>FP_1=GP_1</math>.

Das wiederum bedeutet, dass es neben der Linksrestklasse <math>eP_1=P_1</math> nur eine weitere Linksrestklasse in <math>P_2</math> gibt.
(Diese ist darum auch die einzige Rechtsrestklasse neben <math>P_1</math>.)

Mit anderen Worten, der Index <math>(P_1:P_2)</math> ist 2.

Folgerung: <math>P_2</math> besteht aus <math>P_1</math> sowie der Linksrestklasse <math>SP_1</math> für irgendein beliebig gewähltes <math>S\in P_2</math>.

Beispiel Platonische Körper:

Für alle Platonischen Körper bis auf das Tetraeder könnte man als S einfach die Punktspiegelung  bzgl. des Mittelpunkts nehmen.

Für das Tetraeder könnte man als <math>S</math> irgendeine Spiegelung an einer Ebene, die durch eine Kanten und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante geht, nehmen.










Kann mir das bitte jemand bestätigen oder korrigieren? Mein Algebrawissen ist nicht gerade sehr groß und es ist lange her...

Danke und VG




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Schokopudding hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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