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Mathematik » Differentialgleichungen » Feder Masse System
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Universität/Hochschule Feder Masse System
Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-07


Hallo,

ich habe folgendes mathematisches Problem und komme einfach auf keinen grünen Pfad.

Aufgabenstellung:

Bei t(0) wird das Seil getrennt.

Gegeben:

Feder: L(0), C
Masse: m
Hub: w

Gesucht:
a) Prallgeschwindigkeit
b) Zeit t(1) wenn die Masse den Anschlag berührt





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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-07


Hallo Molf,
und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

was hast du dir denn schon für Gedanken gemacht? Bzw. wo bist du stecken geblieben? Wenn du postest, wie weit du schon gekommen bist, dann helfen wir dir sicherlich "über den Berg" :)

Beste Grüsse aus dem sonnigen Harz
gonz




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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-08


Für den Aufgabenteil a) bin ich wie folgt vorgegangen:

Prallgeschwindigkeit:

Potentielle Federenergie = Kinetische Energie

Potentielle Federenergie:
<math>f(x) = L(0) * c

U(x) = -\int \limits_{0}^{x} F(x`)dx` = \frac{1}{2} c * L(0)^2

</math>

Kinetische Energie:
<math> W_{kin} = \frac{1}{2} * m * v^2

W_{kin} = \frac{1}{2} * c * L(0)^2 = \frac{1}{2} * m * v^2

v = \sqrt{\frac{(c * L(0)^2)}{m}}

</math>

Ist der Ansatz da einigermassen richtig?

Danke und Grüsse
Molf



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-08


Ja :)

Also. Für a) reicht ein Energieansatz. Dabei sind allerdings drei Terme für die Energie zu berücksichtigen: Die in der Feder gespeicherte Energie (du nennst sie U), die Energie die in der Bewegung steckt (W_kin), und die Hubenergie, die davon abhängt, wie hoch sich die Masse über dem Boden befindet.

Du musst allerdings mit den Werten für die Strecke aufpassen. Ich nehme an, dass L(0) die anfängliche Ausdehnung der Feder ist, das heisst dein Wert für die Federenergie kann nicht nur von L(0) abhängen, sonst wäre auch die Energie konstant.

Du musst dir irgendeinen Nullpunkt für die Höhe, in der sich die Masse befindet, suchen, und diese einheitlich in allen drei Formeln verwenden. Klassischerweise würde ich diesen Wert x nennen, und mir überlegen, von wo aus er in welche Richtung gemessen wird. Das, und wo L(0) zu finden ist, könntest du ggf. auch noch in deine an sich schon recht informative Skizze einzeichnen.

Hilft dir das weiter?

Grüsse
gonz




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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-08-08


Hallo
 wahrscheinlich ist doch L(0) die Länge der Feder, solange keine Masse dran hängt? und L(0)=h?
dann hat die Masse am Anfang nur die pot. Energie mgh,
an der Stelle w dann mg(h-w)+ c/2w^2+m/2v^2
man sollte also wissen, was mit L(0) gemeint ist.
Dein Ansatz sieht so aus. als hätte die Masse die Feder schon um L(0) gedehnt, dann passiert nichts, wenn man den Faden durchschneidet.
bis dann, lula
 



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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-08-08


Ich habe auch über L(0) gerätselt. Wäre schön, wenn wir mal die Originalaufgabe sehen könnten; ich bin sicher, dass dort L(0) beschrieben oder eingezeichnet erscheint.



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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-08


Hallo Zusammen,

besten Dank für die Antworten:

L(0) = ungespannte Länge der Feder

L(1) = gespannte Länge der Feder

L(2) = L(1) - h = vorgespannte Länge


Hier die aktualisierte Skizze (diesmal per Hand)










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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-08


Mein Ansatz zu der nun korrekten Fragestellung a) lautet:

Federenergie:

<math> U = \frac{1}{2} * c * {L_2}^2 </math>

Kinetische Energie:

<math> W_{kin} = \frac{1}{2} * m * v^2 </math>

Potentielle Energie:

<math> W_{pot} = m * g * h </math>


Potentielle Energie + Federenergie = Kinetische Energie

<math> m * g * h + \frac{1}{2} * c * {L_2}^2 = \frac{1}{2} * m * v^2 </math>

<math> v = \sqrt{2 * g  * h + \frac{c * {L_2}^2}{m} </math>

Liege ich damit in der richtigen Richtung oder was ist falsch?


Danke und Liebe Grüsse
Molf



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-08-08


Das kann ja wohl nicht stimmen. Wie groß ist die Energie einer ungespannten Feder? Sie ist gleich null.

Du musst die Spannenergie für L_2 ausrechnen !!

Gruss Dietmar



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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-08


Der Ansatz für Aufgabe b) ist wie folgt:

Federkraft Zeitpunkt t=0

<math> F(0) = (L_1-L_2)*c </math>


Auslenkung: <math> y = (L_1-L_2)</math>


<math> m * \ddot{y}= -F = - c * (L_1-L_2) </math>

 
<math> \ddot{y} * m + c * (L_1-L_2) = 0 </math>


<math> \ddot{y} + \frac{c}{m} * (L_1-L_2) = 0 </math>



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-08-08


Warum machst du nicht für  a) eine richtige Energiebilanz. Die aus Beitrag 7 ist definitiv falsch. Legst du deinen Nullpunkt auf deine untere Ebene und nimmst an , dass m eine Punktmasse ist, dann erhältst du:

fed-Code einblenden



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-08-09


Hallo
 bitte poste doch den wirklichen Originaltext der Aufgabe. So wie du schreibst ist es recht unrealistisch mit dem Faden. trägt der Faden anfangs das Gewicht, oder hängt es an der Feder, hat diese etwa gedehnt, und wird von der restlichen Dehnung durch den Faden abgehalten?
L(1) "gespannte Länge der Feder" heisst was? durch was gespannt?
bis dann, lula


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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-08-09


Hallo Lula,

Du hast Recht. Die beiden Zeichnungen sind verwirrend.

Ich sehe es so.

1. Die Masse ist eine Punktmasse und befindet sich h über dem Boden.
2. Die ungedehnte Feder hat die Länge L_0 (nicht in seiner Zeichnung), liegt
   natürlich oberhalb L_2

3. Szenario 1. Die Feder hat die maximale Ausdehnung erreicht. Die Kugel hängt
   mit vollem Gewicht an der Feder und der Faden trägt nichts. Beim
   Durchschneiden des Fadens passiert nichts.  

4. Szenario 2. Die Feder hat die maximale Ausdehnung noch nicht erreicht. Die
   Kugel hängt mit einem Teil ihres Gewichtes  an der Feder und der Faden
   trägt ein Teil des Gewichtes der Kugel. Beim Durchschneiden des Fadens gibt
   es nun 2 Möglichkeiten. 1. die Kugel erreicht den Boden, 2. die Kugel
   erreicht den Boden nicht.
 
5. Last not least: L_0 = L_2. der Faden trägt alles, die Feder ist nicht
   ausgedehnt usw.

Gruss Dietmar  

@molf123: hast du dir die Aufgabe selbst ausgedacht ? Dann musst du auch präzise formulieren.



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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-10


Hallo Zusammen,

ich entschuldige mich für die ungenaue Formulierung der Fragestellung. Ich habe sie selber nur mündlich mit einer mehr oder minderen Skizze überliefert bekommen. Habe aber nochmal nachgehackt und jetzt sollte es klarer sein.

Das System befindet in Ruhe (keine Bewegung), und die Feder ist gespannt (siehe Bild rechts).
Man durchschneide die Schnur und die Nadel fängt an sich von L2 nach L1 zu bewegen (siehe Bild links).
Wie gross ist die Geschwindigkeit bei L1 und die Zeit t, die die Nadel bis dahin braucht.
Was nach der Berührung passiert ist nicht relevant.





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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2017-08-10


Hallo,

L_1 brauchst du nicht: L_2 + h = L_1.  Wenn du jetzt noch L_0 einzeichnest, dürfte die Energiebilanz in meinem Beitrag 10 stimmen.

Um t zu ermitteln, kommst du m.E. nicht um das Lösen einer Dgl herum.

Gruss Dietmar



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-08-10


yep,

wobei man natürlich auch das bekannte Ergebnis hernehmen kann, dass die Schwingung eines ungedämpften Federpendels eine Sinuskurve ergibt, und muss nur noch deren Parameter bestimmen. Das heisst es reicht eigentlich die Kenntnis der Differentialrechnung (um aus dem Ort die Geschwindigkeit zu ermitteln und damit aus den Anfangsbedingungen die konkreten Parameter der Sinuskurve und aus diesen den gesuchten Zeitpunkt des Auftreffens).

Grüsse aus dem mal wieder verregneten Harz
gonz



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2017-08-10


@gonz: Du hast Recht. Dazu gibt es jede Menge im Internet, unter anderem hier:



@molf123:

Damit kannst du die relevanten Szenarien aus meinem Beitrag 12 behandeln.

Gruss Dietmar

 



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-08-10


ein guter Anfang: Der Sinus schwingt um den y Wert L_0 + m*g/c von oben betrachtet.

Jetzt legst du noch dein Koordinatensystem geeignet und legst los.

Gruss Dietmar



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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-01


Hallo Zusammen,

ich melde mich mal wieder zu Wort. Es ist eine Weile vergangen doch die Frage ist noch immer aktuell.

Habe nochmals eine simplere Skizze angefertigt und den Energiesatz angewendet um Fragestellung a) zu lösen.

Meine Lösung findet ihr hier:

hier

Könntet Ihr bitte mal drüber schauen.

Danke und Grüsse und ich mach mich mal an den zweiten Teil ran.

Molf123



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Molf123
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Hallo Zusammen,

beim zweiten Teil der Aufgabestellung hänge ich voll in den Seilen.

Ich kenne die Schwingungsdauer der ungedämpften harmonischen Schwingung:

fed-Code einblenden

Das heisst hiermit könnte ich die Zeitdauer einer kompletten Schwingung berechenen. Wie weiss ich nun aber wieviel % die Punktmasse beim Aufprall von einer kompetten Schwingung zurückgelegt hat?

Danke und Grüsse
Molf123



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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-04


Hallo Liebe Community,

kann mir niemand auf die zweite Fragestellung einen Ansatz oder Hilfe geben???

Danke und Grüsse
Molf



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2017-11-04


Beim Teil a) hast du ja offensichtlich meinen Ansatz aus Beitrag 10 genommen.
Wenn du dich nicht verrechnet hast, wird v stimmen.

Du solltest dir noch überlegen, unter welchen Bedingungen die Masse überhaupt unten ankommt.

Wie ich dir in Beitrag 17 gesagt habe, stellst du die Schwingungsgleichung für Teil b) auf, natürlich mit vernünftigen Anfangsbedingungen.

Gruss Dietmar



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2017-11-05


Du hast eine reine Kosinus Schwingung.

Zum Zeitpunkt t=0 ist die Auslenkung = l_0. Die Frequenz und die Schwingungsdauer hast du auch.

Damit kannst du zunächst die Schwingungsgleichung hinschreiben, d.h. du hast damit eine Auslenkungsfunktion in Abhängigkeit von der Zeit.
Damit kannst du dann leicht die Zeit bis zum Aufprall bestimmen.

Gruss Dietmar
 



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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-05


Hallo Dietmar,

vielen Dank für die Antwort.

Ich versuche es mal:

fed-Code einblenden

Grüsse
Molf



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2017-11-05


Hallo
  dein h ist doch nicht maximal + oder -1?
Gruß lula


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Molf123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-06


Hallo Lula,

ich denke h ist maximal + bzw. - 1 x h, weil ja die Masse wohl oder übel den Anschlag berührt?

Grüsse
Molf



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-07


Hallo Zusammen,

könnte dieser Ansatz stimmen:

<math>x(t) = \hat{x} * cos(\sqrt(C/m)) * t</math>

für <math>\hat{x}</math> kann ich die Amplitude 2mg/C einsetzen und dann nach t auflösen?




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2017-11-07


Die Klammersetzung in Deiner Kosinus Funktion stimmt nicht.

Wie kommst du auf die Amplitude = 2mg/C ?


Gruss Dietmar



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2017-11-07


Hallo
 wie groß die Amplitude ist kommt doch auf L2-L_0 an? damit kennst du die Beschleunigung  am Anfang, und die Geschwindigkeit am Anfang,
bis dann ,lula


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