Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Riemannsche Summen » Riemann'sche Summen
Autor
Universität/Hochschule Riemann'sche Summen
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
  Themenstart: 2017-08-10

Hallo zusammen! Im Forster gibt es einen Satz über Riemann'Sche Summen, wozu ich Fragen habe: \ Sei f: [a,b] \to \IR eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann existiert zu jedem \epsilon > 0 ein \delta > 0, sodass für jede Wahl Z von Teilpunkten und Stützstellen der Feinheit \mu(Z) \le \delta gilt \| int(f(x), x, a, b) - S(Z,f) \| \le \epsilon. Beweis: Sind \phi, \psi Treppenfunktionen mit \phi \le f \le \psi, so gilt offenbar für alle Zerlegungen Z S(Z,\phi) \le S(Z,f) \le S(Z,\psi). Daraus folgt, dass es genügt, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist. Sei also f bzgl. der Unterteilung a = t_0 < t_1 < ... < t_m = b definiert. Da f beschränkt ist, existiert M := sup{|f(x)|: x \in [a,b]} \in \IR_+. Sei Z:= (( x_k )_(0 \le k \le n), ( \xi_k )_(1 \le k \le n)) irgendeine Unterteilung mit Stützstellen des Intervalls [a,b] und F \in \tau[a,b] die durch F(a) = f(a) und F(x) = f( \xi_k ) für x_(k-1) < x \le x_k (1 \le k \le n) definierte Treppenfunktion. Dann gilt S(Z,f) = int(F(x), x, a, b), also \| int(f(x), x, a, b) - S(Z,f) \| \le int(|f(x) - F(x) \|, x, a, b). Die Funktionen f und F stimmen auf allen Teilintervallen \] x_(k-1), x_(k) \[ überein, für die [x_(k-1), x_(k)] keinen Teilpunkt t_j enthält. Daraus folgt, dass |f(x) - F(x)| auf höchstens 2m Teilintervallen \] x_(k-1), x_(k) \[ der Gesamtlänge 2m \mu(Z) von 0 verschieden sein kann. ... Um nun zu meinen Fragen zu kommen: 1) Wieso folgt aus \ S(Z,\phi) \le S(Z,f) \le S(Z,\psi). dass es genügt, den Satz für den Fall zu beweisen, dass f eine Treppenfunktion ist? 2) Den Teil \ Die Funktionen f und F stimmen auf allen Teilintervallen \] x_(k-1), x_(k) \[ überein, für die [x_(k-1), x_(k)] keinen Teilpunkt t_j enthält. Daraus folgt, dass |f(x) - F(x)| auf höchstens 2m Teilintervallen \] x_(k-1), x_(k) \[ der Gesamtlänge 2m \mu(Z) von 0 verschieden sein kann. verstehe ich komplett nicht. Ich wäre für jede Antwort von euch zum Verständnis dankbar! Viele Grüße, X3nion


   Profil
ReimerBruechmann
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 57
Wohnort: Deutschland
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-10

Hallo X3nion, ich verstehe die Zusammenhänge zum Riemann-Integral auch nicht. Es wird nämlich für das Darbouxsche Integral eine Unter- und Obersumme gebildet. Konvergiert dann für jede (!) Zerlegungsnullfolge die Untersumme gegen die Obersumme, so konvergiert die Summe und das Darbouxsche Integral existiert. Beim Riemann-Integral nimmt man auch eine Zerlegungsnullfolge $(x_k)_k$. Weiter nimmt man auf den einzelnen Intervallen $[x_k,x_{k+1}]$ einen beliebigen Zwischenwert $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]$ und summiert: $S(f,(x_k)_k,(\xi_k)_k):=\sum_k f(\xi_k)\cdot(x_{k+1}-x_k)$. Konvergiert nun die Summe für jede (!) Zerlegungsnullfolge $(x_k)_k$ und jeden Zwischenvektor $(\xi_k)_k$, so existiert das Riemann-Integral. Die Integrierbarkeit des Darbouxschen und Riemannschen Integrals ist für stückweise stetige Funktionen gegeben. Die Integrale haben dann den gleichen Wert. Dabei nutzt man wesentlich die Stetigkeit der Funktion f(x) aus: für jedes $\epsilon>0$ existiert ein $\delta>0$, so dass $\vert f(x_1)-f(x_2)\vert<\epsilon$ für $\vert x_1-x_2\vert<\delta$ ist. Gruß Reimer


   Profil
X3nion
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1051
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-14

Hallo ReimerBruechmann, ich bedanke mich für deine erläuternde Antwort! Mir ist zwischenzeitlich der Satz und die Idee dahinter klar geworden :-) Viele Grüße, X3nion


   Profil
X3nion hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]