Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Ist f(x) sinnlos, wenn x nicht aus dem Definitionsbereich ?
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Ist f(x) sinnlos, wenn x nicht aus dem Definitionsbereich ?
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-08-31


Hallo allerseits,
angenommen es ist irgendeine rechtseindeutige Relation f Teilmenge
von A x B definiert.
Unter der Definitionsmenge D(f) der Relation f versteht man die Menge aller a aus A, für die es ein b aus B gibt mit (a,b) aus A x B, also die Projektion von f auf A.
Dann gibt es die Vereinbarung:
=======================================
Sei x aus D(f). Dann wird definiert:
f(x) = y :<==> (x,y) aus A x B
=========================================

edit:
Richtig muß es heißen:
=======================================
Sei x aus D(f). Dann wird definiert:
f(x) = y :<==> (x,y) aus f
=========================================



Frage:
Annahme: x aus A und x nicht aus D(f).
Ist dann die folgende Zeichenfolge:
f(x) = y
kein mathematisches Objekt, sondern ein "mathematisch sinnloses" fehltgeformtes Gebilde, das  in der Mathematik keine Bedeutung hat, wie z.B: ein Tintenklecks, ein Gedicht, Fragen, Bilder, Filme, Gemälde, usw.

mfg
cx








Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8812
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, carlox,

ich wüsste ja gerne, in welchem Zusammenhang die Frage auftaucht.

Was ist z.B. mit <math>\arcsin 14= y</math>? Reell nimmt der Sinus nur Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an.

Wally
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-31


2017-08-31 18:23 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo, carlox,

ich wüsste ja gerne, in welchem Zusammenhang die Frage auftaucht.

Was ist z.B. mit <math>\arcsin 14= y</math>? Reell nimmt der Sinus nur Werte zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> an.

Wally

14 ist nicht Element aus dem Definitionsbereich von arcsin.
Also ist die Zeichenfolge
<math>\arcsin 14= y</math>
m.M. nach mathematisch sinnlos und kein mathematisches Objekt.

mfg
cx




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4380
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-31


Man muss hier wohl zwischen dem Term <math>f(x)</math> und einer Formel wie z.B. <math>f(x) = y</math>, in der <math>f(x)</math> vorkommt, unterscheiden.

Der Term <math>f(x)</math> ist tatsächlich nicht mit Sinn zu füllen, wenn <math>x</math> nicht aus <math>D(f)</math> kommt. Aber die Formel <math>f(x) = y</math> kann man, so schlage ich vor, als eine Abkürzung für <math>(x,y) \in f</math> (du hast dich hier im Startbeitrag verschrieben, <math>(x,y) \in A \times B</math> ist zu schwach) sehen. Insofern ist <math>f(x) = y</math> dann immer wohlgeformt, wird aber nur dann erfüllt sein, wenn <math>x \in D(f)</math> gilt.

Ich kann mich dunkel an eine Situation aus der Logik erinnern, wo diese Erweiterung sinnvoll war.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2320
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-08-31


Ich würde die Ausdrücke nicht als sinnlos, sondern entweder als falsch (<math>\frac{0}{0}=1</math>) oder zumindest als unbestimmt (<math>\frac{0}{0}=\frac{0}{0}</math>) betrachten.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4380
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-08-31


@DerEinfaeltige: In der Prädikatenlogik sind nur gewisse Ausdrücke erlaubt, man sagt "wohlgeformt". Alle anderen kann man durchaus als sinnlos bezeichnen, wie z.B.

<math>x = = x_1 (</math>
 
Erst wenn ein Ausdruck wohlgeformt ist, kann man ihn als falsch oder wahr beurteilen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-31


2017-08-31 18:59 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Man muss hier wohl zwischen dem Term <math>f(x)</math> und einer Formel wie z.B. <math>f(x) = y</math>, in der <math>f(x)</math> vorkommt, unterscheiden.

Der Term <math>f(x)</math> ist tatsächlich nicht mit Sinn zu füllen, wenn <math>x</math> nicht aus <math>D(f)</math> kommt. Aber die Formel <math>f(x) = y</math> kann man, so schlage ich vor, als eine Abkürzung für <math>(x,y) \in f</math> (du hast dich hier im Startbeitrag verschrieben, <math>(x,y) \in A \times B</math> ist zu schwach) sehen. Insofern ist <math>f(x) = y</math> dann immer wohlgeformt, wird aber nur dann erfüllt sein, wenn <math>x \in D(f)</math> gilt.

Du definierst also:
<math>f(x) = y</math> :<==> <math>(x,y) \in f</math>
Dies erzeugt m.M. nach einen Widerspruch:

es sei
<math>a \not \in D </math>
also gilt für alle b aus B:
<math>(a,b) \not \in f</math>   (G1)
Es gilt:
f(a) = f(a)
Dann gilt nach deiner Definition:
<math>(a,f(a)) \in f</math>
im Widerspruch zu (G1)



mfg
cx






Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2320
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-08-31


2017-08-31 19:04 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
@DerEinfaeltige: In der Prädikatenlogik sind nur gewisse Ausdrücke erlaubt, man sagt "wohlgeformt". Alle anderen kann man durchaus als sinnlos bezeichnen, wie z.B.

<math>x = = x_1 (</math>
 
Erst wenn ein Ausdruck wohlgeformt ist, kann man ihn als falsch oder wahr beurteilen.


Der Begriff "wohlgeformt" ist mir bekannt.
Ich kenne ihn allerdings in der Bedeutung "syntaktisch korrekt", was <math>f(a)=b</math> mMn. unabhängig vom Kontext ist.
<math>x==x_1(</math> ist zumindest in der Sprache der Terme bereits syntaktisch falsch und dementsprechen meinetwegen tatsächlich sinnlos.


Was ich oben lese:

Wir haben eine partielle Funktion, die "undefiniert" zurückgibt und stellen diese in Äquivalenzrelation zu einem anderen Ausdruck.

Entweder gibt die Äquivalenzrelation einen Wahrheitswert zurück (mutmaßlich falsch) oder sie wirft ebenfalls "undefiniert" zurück.

Das wäre jedenfalls das übliche Vorgehen in der Programmierung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6443
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-08-31


Nach meinem Verständnis stellt "f(x)=y" eine wohlgeformte Aussage dar, die -- unabhängig von y -- falsch ist, wenn x nicht in D(f) liegt.

Die Intension dahinter besteht darin, dass ich die Äquivalenzumformung "(x,y) liegt in f genau dann wenn f(x)=y ist" auch dann verwenden können möchte, wenn x nicht in D(f) liegt. Die Aussage "(x,y) liegt in f" ist in diesem Fall wohlgeformt (und falsch), also sollte das genauso für die Aussage "f(x)=y" gelten.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4380
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-08-31


2017-08-31 19:41 - carlox in Beitrag No. 6 schreibt:
Es gilt:
f(a) = f(a)
 
Wieso? Ich habe nur gesagt, was <math>f(a) = y</math> bedeudetet, und nach dieser Bedeutung gilt <math>f(a) = f(a)</math> eben nicht (wie du auch festgestellt hast). Die Gleichung <math>t = t</math> gilt für jeden Term <math>t</math>, aber ich habe <math>f(a)</math> auch nicht als Term definiert. Ich habe dir aber Recht, dass man hier vorsichtig sein muss, wenn man die genannte Erweiterung vornimmt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-01


Kitaktus sagt:
"Nach meinem Verständnis stellt "f(x)=y" eine wohlgeformte Aussage dar, die -- unabhängig von y -- falsch ist, wenn x nicht in D(f) liegt."

Triceratops sagt:
"...und nach dieser Bedeutung gilt <math>f(a) = f(a)</math> eben nicht (wie du auch festgestellt hast). Die Gleichung <math>t = t</math> gilt für jeden Term <math>t</math>, aber ich habe <math>f(a)</math> auch nicht als Term definiert."

carlox sagt:
"wenn x nicht aus D ist, ist f(x) mathematisch sinnlos."

Welche Meinung ist korrekt?

Es muß doch irgendwo geregelt sein, was richtig ist.
Wir befinden uns doch in einem Beweiskalkül (welcher?), wo
das alles geregelt ist und mit dem man dann entscheiden kann, welche Meinung korrekt ist.

Wer weiß da weiter?

mfg
cx



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6443
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-09-01


2017-09-01 08:30 - carlox in Beitrag No. 10 schreibt:
Kitaktus sagt:
"Nach meinem Verständnis stellt "f(x)=y" eine wohlgeformte Aussage dar, die -- unabhängig von y -- falsch ist, wenn x nicht in D(f) liegt."

Triceratops sagt:
"...und nach dieser Bedeutung gilt <math>f(a) = f(a)</math> eben nicht (wie du auch festgestellt hast). Die Gleichung <math>t = t</math> gilt für jeden Term <math>t</math>, aber ich habe <math>f(a)</math> auch nicht als Term definiert."

carlox sagt:
"wenn x nicht aus D ist, ist f(x) mathematisch sinnlos."

Welche Meinung ist korrekt?

Es muß doch irgendwo geregelt sein, was richtig ist.
Wir befinden uns doch in einem Beweiskalkül (welcher?), wo
das alles geregelt ist und mit dem man dann entscheiden kann, welche Meinung korrekt ist.

Wer weiß da weiter?

mfg
cx


Ich bin kein Experte von "Beweiskalkülen". Vielleicht hat man da (aus welchen Gründen auch immer) andere Festlegungen getroffen. Das kann sein.

Ich kann hier nur meine Meinung kund tun.
Die drei unterschiedlichen Sichtweisen sind nicht so unvereinbar, wie sie scheinen.
Liegt a nicht in D(f), so ist f(a) "nicht definiert", nehme ich irgendein b aus B, so kann ich durchaus feststellen, dass dieses b eindeutig _nicht_ f(a) ist.
Zugegeben kann man sich auch ein "Kalkül" konstruieren, in dem diese Aussage (f(a)=b) selbst schon als unzulässig angesehen wird. Ich sehe allerdings nicht, warum man sich diese Einschränkung auferlegen sollte.

Die Aussage "f(a)=f(a)" hat eine andere Qualität. Hier sind beide Seiten "nicht definiert". Der Impuls "f(a)=f(a)" als wahre Aussage für alle a aus A zu betrachten ist durchaus vorhanden. Spätestens bei einem von a verschiedenen a' stellt sich dann aber die Frage, ob f(a)=f(a') gilt, wenn weder a noch a' in D(f) liegen.
Intuitiv würde ich sagen, man könnte "f(a)=f(a)" als wahre Aussage ansehen, sehe aber nicht, welche Vorteile das bringt und die möglichen Nachteile kann ich auf die Schnelle nicht überblicken.

Die Aussage "f(x) ist sinnlos, wenn x nicht in D(f) liegt" ist mir zu schwammig. Was bedeutet "sinnlos"? Ist damit etwas anderes gemeint als "nicht definiert"?
Ist die Aussage: "Wenn x nicht in D(f) liegt, dann ist der Term f(x) nicht definiert." sinnlos, weil (für manche x) schon der Term "f(x)" sinnlos ist?

An der Meinung eines Experten wäre ich auch interessiert.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4380
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-09-01


2017-09-01 08:30 - carlox in Beitrag No. 10 schreibt:
Welche Meinung ist korrekt?
 
Ich sehe da gar keinen Widerspruch. Ich verweise noch einmal auf Beitrag No. 3 und den Unterschied zwischen Aussage und Term. () Auch in Beitrag No. 9 habe ich etwas dazu geschrieben – leider ohne Reaktion.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2652
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2017-09-01


@carlox: Ein Grund für die Verwirrung ist deine (?) Definition:

2017-08-31 18:05 - carlox im Themenstart schreibt:
Sei x aus D(f). Dann wird definiert:
f(x) = y :<==> (x,y) aus f

Damit wird streng genommen die Aussage "<math>f(x) = y</math>" definiert, ohne dass die Teile der Formel (insbesondere "<math>f(x)</math>") dadurch eine Bedeutung erhalten. Die Voraussetzung <math>x \in D(f)</math> steht zwar da, ist aber unnötig, weil <math>(x,y)\in f</math> für alle <math>(x,y)\in A</math> eine sinnvolle Aussage ist.

Dass du explizit nach dem Sinn der Zeichenfolge "<math>f(x)=y</math>" (und nicht "<math>f(x)</math>") gefragt hast, erweckte (zumindest für mich) den Anschein, dass das auch deine Intention war.

Tatsächlich wolltest du aber mit dieser Definition implizit den Term "<math>f(x)</math>" definieren. Das kann man machen, man sollte es aber klar sagen. Außerdem funktioniert das nur wegen der angenommenen Rechtseindeutigkeit von <math>f</math>. Und die Voraussetzung <math>x\in D(f)</math> ist hier erforderlich.

Bessere Version:

Sei <math>x\in D(f)</math>. Dann sei <math>f(x)</math> das (wegen <math>x\in D(f)</math> existierende und wegen der Rechtseindeutigkeit von <math>f</math> einzige) Element <math>y\in B</math> mit <math>(x,y)\in f</math>.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-01


(2017-09-01 09:43 - Kitaktus in <a
Die Aussage "f(x) ist sinnlos, wenn x nicht in D(f) liegt" ist mir zu schwammig. Was bedeutet "sinnlos"? Ist damit etwas anderes gemeint als "nicht definiert"?
Ist die Aussage: "Wenn x nicht in D(f) liegt, dann ist der Term f(x) nicht definiert." sinnlos, weil (für manche x) schon der Term "f(x)" sinnlos ist?

An der Meinung eines Experten wäre ich auch interessiert.

mathematisch sinnlos bedeutet nicht definiert, kein mathematisches Objekt, sondern ein "mathematisch sinnloses" fehltgeformtes Gebilde, das  in der Mathematik keine Bedeutung hat, wie z.B: ein Tintenklecks, ein Gedicht, Fragen, Bilder, Filme, Gemälde, usw.

Man könnte den Begrff "definierte mathematische Zeichenfolgen" definieren
mit eine induktiv definierten Menge.
 

mfg
cx


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4380
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2017-09-01


@darkhelmet: Was du am Ende hingeschrieben hast, ist aber streng genommen (also im Sinne der formalen Logik) gar keine Definition, nur die sprachliche und gewollte Umschreibung. Tatsächlich ist <math>f(x) = y \Leftrightarrow (x,y) \in f</math> die richtige Definition. Das erklärt aber auch erst einmal nur, wie <math>f(x)</math> in elementaren Gleichungen zu ersetzen ist. In komplizierteren Gleichungen muss man dann Hilfsvariablen einführen. Also <math>f(x) = f(x")</math> bedeutet zum Beispiel <math>\exists y ((x,y) \in f \wedge (x",y) \in f)</math>. Zur Erinnerung: Als Fundierung wird üblicherweise das System ZFC genutzt, welche die minimalistische Sprache <math>\{\in\}</math> besitzt, die gar kein Funktionssymbol besitzt. Alles, was über <math>\in</math> und logischen Symbolen hinausgeht, sind Spracherweiterungen / Abkürzungen. So ist etwa <math>(x,y) \in f</math> ebenfalls eine Abkürzung für eine längere Formel.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-01


2017-09-01 10:39 - Triceratops in <a Ich sehe da gar keinen Ich verweise noch einmal auf Beitrag No. 3 und den Unterschied zwischen Aussage und Term. ( schreibt: Auch in Beitrag No. 9 habe ich etwas dazu geschrieben – leider ohne Reaktion.

Vorausgesetzt x ist nicht aus D(f) sind für mich die folgenden Zeichenfolgen:
f(x)
bzw.
f(x) = y
keine mathematischen Objekte und mathematisch nicht definiert.
Sie sind mathematisch so sinnlos wie ein Tintenklecks oder ein Musikstück.

mfg
cx



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
egf
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.03.2008
Mitteilungen: 552
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2017-09-01


2017-09-01 10:56 - carlox in Beitrag No. 16 schreibt:
2017-09-01 10:39 - Triceratops in <a Ich sehe da gar keinen Ich verweise noch einmal auf Beitrag No. 3 und den Unterschied zwischen Aussage und Term. ( schreibt: Auch in Beitrag No. 9 habe ich etwas dazu geschrieben – leider ohne Reaktion.

Vorausgesetzt x ist nicht aus D(f) sind für mich die folgenden Zeichenfolgen:
f(x)
bzw.
f(x) = y
keine mathematischen Objekte und mathematisch nicht definiert.
Sie sind mathematisch so sinnlos wie ein Tintenklecks oder ein Musikstück.

mfg
cx
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]

Ich glaube ich würde dann davon sprechen, dass entsprechendes x nicht Element eines _Modells_ der entsprechenden Formel ist, anstatt von "kein mathematisches Objekt" zu sprechen (sofern der Term zunächst mal wohlgeformt ist).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2652
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2017-09-01


2017-09-01 10:54 - Triceratops in Beitrag No. 15 schreibt:
@darkhelmet: Was du am Ende hingeschrieben hast, ist aber streng genommen (also im Sinne der formalen Logik) gar keine Definition, nur die sprachliche und gewollte Umschreibung. Tatsächlich ist <math>f(x) = y \Leftrightarrow (x,y) \in f</math> die richtige Definition.

Ich denke, im Sinne der formalen Logik ist die Definition einer Abkürzung wie <math>f(x)</math> ohnehin etwas metamathematisches, muss also auch keiner bestimmten Form genügen.

Aber das können wir vermutlich nicht vollständig klären, ohne genau zu festzulegen, von welcher Logik wir sprechen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-02


gelöscht.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2320
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2017-09-02


Rein interessehalber:
Was bedeutet denn in PL1 die Schreibweise "a = b" und ist eine Formel mit diesem Symbol auch dann wohlgeformt, wenn sie unerfüllbar ist?


PS.: Ich lehne den Begriff "sinnlos" übrigens ab, da die Information, dass auf einer Seite einer Gleichung kein Objekt eines bestimmten Typs steht, durchaus sehr nützlich sein kann.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-02


2017-08-31 18:59 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:

Der Term <math>f(x)</math> ist tatsächlich nicht mit Sinn zu füllen, wenn <math>x</math> nicht aus <math>D(f)</math> kommt. Aber die Formel <math>f(x) = y</math> kann man, so schlage ich vor, als eine Abkürzung für <math>(x,y) \in f</math> (du hast dich hier im Startbeitrag verschrieben, <math>(x,y) \in A \times B</math> ist zu schwach) sehen. Insofern ist <math>f(x) = y</math> dann immer wohlgeformt, wird aber nur dann erfüllt sein, wenn <math>x \in D(f)</math> gilt.

Ich kann mich dunkel an eine Situation aus der Logik erinnern, wo diese Erweiterung sinnvoll war.

1)
So wie ich dich verstanden habe, meinst du, daß wir die Freiheit haben, eigene Konventionen festzulegen.
D.h. wir hätten da also einen mathematischen Spielraum, den man konfigurieren kann, wie es mir gerade so in den Sinn kommt.
Aber ist dies nicht alles irgendwo geregelt, was ich mathematisch machen bzw. nicht machen darf?
Wir befinden uns doch alle in einem Beweiskalkül (vermutlich ZFC), wo das alles geregelt ist.
Wo habe ich da dann meinen mathematischen Spielraum?
Den einzigen Spielraum (an den ich mich ein wenig erinnern kann), sind die konservativen, definitorischen Erweiterungen (aus der Prädikatenlogik 1. Stufe).
Konservativ bedeutet m.M. nach, daß die Menge der beweisbaren Sätze nicht vergrößert wird.
Insbesondere darf das durch die Definitionserweiterung veränderte Beweiskalkül nicht inkonsistent werden.
Frage:
Muß man dann nicht noch beweisen, daß die (speziell deine und meine -> siehe unten) Definitionserweiterung konservativ ist?

2)
Ich nehme mir mal jetzt auch das Recht aus, Konventionen festzulegen :-)
cx-Konvention1_1:
wenn x aus A (x darf also auch nicht aus D(f) sein) dann sind alle Terme (unter Term verstehe ich den in der Prädikatenlogik 1. Stufe verwendeten Begriff) , in denen f(x) vorkommt mathematisch sinnvolle Zeichenfolgen (also mathematische Objekte).
Ebenso sind dann alle Formeln (unter Formel verstehe ich den in der Prädikatenlogik 1. Stufe verwendeten Begriff), in denen f(x) vorkommt mathematisch mathematisch sinnvolle Zeichenfolgen (also mathematische Objekte).

cx-Konvention1_2)
wenn x aus A und x nicht aus D(f), dann sind alle Formeln, in denen f(x) vorkommt per Definitionem falsch.

3)
Angenommen, ich verändere cx-Konvention1_2) zu
cx-Konvention1_2_Version1)
wenn x aus A und x nicht aus D(f), dann sind alle Formeln, wie folgt nach ihrem Wahrheitswert zu bewerten:
Kommt in einer Formel F eine atomare Formel T = T vor, in der in T auch f(x) vorkommt, so hat T = T den Wahrheitswert wahr.
Kommt f(x) in einer atomaren Formel nicht in der o.g. Form vor, dann ist F falsch.
Also wäre eine Formel F, die folgende atomaren Formeln enthalten würde, falsch:
g(f(x)) = f(x)    wobei g ein Funktionszeicnen ist
R(f(x))             wobei R eine Relationszeichen ist
Formeln der folgenden Form wären dann wahr:
f(x) = f(x)
g(f(x)) = g(f(x))
g(f(x)) = g(f(x))  AND  g(f(x)) = g(f(x))     -->     g(f(x)) = g(f(x))

4)
Ich lege jetzt wieder eine neue Konvention fest:
cx-Konvention2_1:
wenn x aus A und x nicht aus D(f), dann ist f(x) kein mathematisches Objekt.
Zusätzlich wird noch festgelegt:
Alle Zeichenfolgen, in denen dann f(x) vorkommt sind keine mathematischen Objekte, also keine mathematisch sinnvolle Zeichenfolgen (also syntaktisch nicht wohlgeformt) bzw. Syntaxmüll.
Speziell ist dann f(x) = f(x) kein mathematisches Objekt.

5)
Wer garantiert mir, daß ich mir durch meine Konventionen keinen Widerspruch fange, d.h. mein Beweiskalkül inkonsistent wird ?
Deswegen finde ich, das Problem "Freiheit der Konventionen" nicht trivial.

mfg
cx



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-03


2017-09-02 09:30 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 20 schreibt:
Rein interessehalber:
Was bedeutet denn in PL1 die Schreibweise "a = b" und ist eine Formel mit diesem Symbol auch dann wohlgeformt, wenn sie unerfüllbar ist?

PS.: Ich lehne den Begriff "sinnlos" übrigens ab, da die Information, dass auf einer Seite einer Gleichung kein Objekt eines bestimmten Typs steht, durchaus sehr nützlich sein kann.

Wenn a und b jeweils Variablen in einer Sprache der PL1 sind, dann ist a und b jeweils auch ein Term.
Dann ist a=b eine atomare Formel (Primformel), also eine Formel, also eine wohlgeformte Symbolkette (Syntax)
Das ist völlig unabhängig davon, ob sie unerfüllbar ist (Semantik).
Das eine ist die Syntax und das andere die Semantik.

Alles was syntaktisch nicht wohlgeformt ist, ist "Syntaxmüll" und mathematisch sinnlos.
Deswegen kannst du diesen Begriff nicht ablehnen.
Die Syntaxregeln filtern durch die damit induktiv definierten Mengen der Terme und Formeln eben gerade die Symbolketten heraus, über die sich lohnt weiter nachzudenken. Alles andere, was nicht herausgefiltert wird, ist Syntaxmüll, der weggeworfen wird.

Wenn man die von einem Volltrunkenen formulierten Sprachversuche auf einem Blatt Papier notiert, dann sind diese Symbolketten mathematisch sinnlos, genauso mathematisch sinnlos wie die Symbolketten auf einem Wahlplakat.

mfg
cx
 





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2320
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2017-09-03


2017-09-03 09:09 - carlox in Beitrag No. 22 schreibt:

Die Syntaxregeln filtern durch die damit induktiv definierten Mengen der Terme und Formeln eben gerade die Symbolketten heraus, über die sich lohnt weiter nachzudenken. Alles andere, was nicht herausgefiltert wird, ist Syntaxmüll, der weggeworfen wird.


Sprachen werden normalerweise nicht über "Filter" definiert, sondern über ein Alphabet und Ersetzungsregeln.

Zum Beispiel könnte man eine Sprache der "NaivenTerme" salopp so formulieren:

- Jedes Konstanten/Variablensymbol ist ein "NaivenTerm"
- Jeder geklammerte "NaivenTerm" ist ein "NaivenTerm"
- Jedes n-stelliges Verknüpfungs- oder Funktionensymbol mit n Termen als Argumenten ist ein "NaivenTerm"

Diese Sprache ist entscheidbar und trennt Syntax von Semantik.
Ich könnte diese Sprache mit etwas Geduld wohl sogar sauber formal niederschreiben.

Ich würde dann weiterhin die "NaivenGleichungen" einführen.
Diese haben die Form <math>x=y</math>, wobei <math>x,y</math> "NaivenTerme" sind.
Es gilt dann:
1. <math>x=\perp \rightarrow f</math>
2. <math>1=1 \rightarrow w</math>
3. <math>0=1 \rightarrow f</math>
4. <math>x=y \rightarrow f(x)=f(y) </math>, falls <math>f</math> eine Äquivalenzumformung ist
5. was keiner der vorangehenden Regeln genügt ist unbestimmt

(Fehler und Irrtümer vorbehalten)


Dieses Prinzip scheint dir jedoch nicht zu passen.
Also definiere mal ganz sauber, was du unter Termen und Ausdrücken verstehst.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1081
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-04


(2017-09-03 11:03 - DerEinfaeltige in <a
Also definiere mal ganz sauber, was du unter Termen und Ausdrücken verstehst.

Hallo DerEinfaeltige,
>
>Ich könnte diese Sprache mit etwas Geduld wohl
>sogar sauber formal niederschreiben.
>
1)
Du meinst die Terme bzw. Formeln aus PL1.
Das ist interessant. Du mußt dann die Grammatik angeben, die diese Sprache erzeugt. Allerdings gehören dazu auch noch die Quantoren.
Man muß dann zeigen, daß die induktiv definierte Menge der Formeln bzw. Terme aus der PL1 die gleiche Menge von Wörtern erzeugt, wie deine Grammatik.

2)
Allerdings kann man dann nicht mehr so einfach die Semantik angeben, wie in deinem Beispiel. Probleme machen die Quantoren.

3)
>
>Also definiere mal ganz sauber, was du unter
>Termen und Ausdrücken verstehst.
>
Die aus der PL1.
Die Semantik, also z.B. die Interpretation eines Funktionszeichens bzw. Relationszeichens wird dann mit ZFC formuliert.
Und da weiß ich eben nicht, ob f(x)=y etwas mathematisch sinnvolles ist, wenn x nicht aus D(f), bzw. ob man da eine Konvention als Definitionserweiterung machen kann.
Da braucht man einen Experten aus der axiomatischen Mengenlehre (ZFC).

mfg
cx












Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
carlox hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
carlox wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]