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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Injektionen in der Kategorie der Endomorphismen von Set
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Universität/Hochschule J Injektionen in der Kategorie der Endomorphismen von Set
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-16


Es sei <math>\circlearrowright</math> die Kategorie der Endomorphismen von der Kategorie der Mengen. Objekte sind also Paare <math>(X, \alpha)</math> mit <math>X</math> Menge und <math>\alpha: X\to X</math> Funktion in Set. Ein Homomorphismus <math>f:(X,\alpha)\to (Y, \beta)</math> in dieser Kategorie muss <math>f\circ\alpha = \beta \circ f</math> erfüllen.

Ich will Folgendes beweisen:
Es sei <math>(X, \alpha)</math> irgendein Objekt in <math>\circlearrowright</math> und <math>(Y, \beta)</math> ein Objekt in <math>\circlearrowright</math> derart, dass <math>\beta</math> ein Automorphismus in der Kategorie der Mengen ist. Weiterhin sei <math>f</math> ein <math>\circlearrowright</math>-Homomorphismus <math>(X, \alpha)\to (Y, \beta)</math>, der injektiv ist: Für alle <math>(T, \gamma)</math> und alle <math>x_1, x_2: (T, \gamma)\to (X, \alpha)</math> gilt <math>fx_1=fx_2\implies x_1 = x_2</math>. Dann ist <math>\alpha</math> injektiv.

Ich habe mir bereits Folgendes gedacht:
Es sei <math>T</math> irgendeine Menge und <math>x,x":T\to X</math> Funktionen mit <math>\alpha x = \alpha x"</math>. Es gilt <math>\beta f=f\alpha</math>. Multiplizieren wir <math>\beta^{-1}</math>, was deswegen existiert, weil <math>\beta</math> ein Automorphismus ist, von links an diese Gleichung, erhalten wir: <math>f = \beta^{-1}f\alpha</math>. Also gilt <math>fx = fx"</math>. Ich hatte nun die Idee, dass man aus <math>T</math> nun einen Endomorphismus <math>(T,\gamma)</math> bastelt derart, dass sich <math>x</math> und <math>x"</math> als <math>\circlearrowright</math>-Homomorphismen <math>(T, \gamma)\to (X, \alpha)</math> auffassen lassen. Dann könnte man die Voraussetzung verwenden, dass <math>f</math> injektiv ist, und folgern, dass <math>x=x"</math>. Aber da komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?



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xiao_shi_tou_
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2017-09-16 15:34 - asdfusername im Themenstart schreibt:
 Weiterhin sei <math>f</math> ein <math>\circlearrowright</math>-Homomorphismus <math>(X, \alpha)\to (Y, \beta)</math>, der injektiv ist: Für alle <math>(T, \gamma)</math> und alle <math>x_1, x_2: (T, \gamma)\to (X, \alpha)</math> gilt <math>fx_1=fx_2\implies x_1 = x_2</math>.

Die obige Bedingung besagt a priori nur, dass <math>f</math> ein Monomorphismus sein soll, nicht aber, dass <math>f</math> injektiv sein soll.

EDIT: Die Folgerung <math>f</math> injektiv, <math>\beta</math> bijektiv <math>\Rightarrow \alpha</math> injektiv ist recht trivial. Vermutlich moechtest du also voraussetzen, dass <math>f</math> ein Monomorphismus ist?!

Verstehe ich etwas falsch?

lg Daniel
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-09-16


Lemma: Sei <math>G</math> ein Monoid und <math>f : X \to Y</math> ein Morphismus von <math>G</math>-Mengen (Wikipedia). Wenn <math>f</math> ein Monomorphismus ist, dann ist <math>f</math> injektiv.

Beweis: Seien <math>x,y \in X</math>. Es gibt dann <math>G</math>-Homomorphismen <math>x",y" : G \to X</math> mit <math>x"(1)=x</math> und <math>y"(1)=y</math>. Wenn <math>f(x)=f(y)</math>, dann gilt <math>f \circ x" = f \circ y"</math>. Weil <math>f</math> ein Monomorphismus ist, folgt <math>x"=y"</math>. Das bedeutet <math>x=y</math>. <math>\square</math>

Für das Monoid <math>G=(\mathds{N},+,0)</math> ist die Kategorie der <math>G</math>-Mengen isomorph zur Kategorie der Endomorphismen von der Kategorie der Mengen.

Also: Ein Monomorphismus ist hier einfach ein injektiver Homomorphismus.
 
Ist nun <math>f : (X,\alpha) \to (Y,\beta)</math> ein injektiver Homomorphismus, und <math>\beta</math> injektiv, so folgt aus <math>f \alpha = \beta f</math> sofort, dass <math>f \alpha</math> und daher auch <math>\alpha</math> injektiv ist.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-16


@Triceratops: Danke. Was ist eine <math>G</math>-Menge?

@xiao_shi_tou_: Der Begriff "injektiv" wird in der Kategorientheorie gelegentlich so definiert, wie ich es hingeschrieben habe. "Monomorphismus" ist dann ein Synonym. Ich habe also vorausgesetzt, dass <math>f</math> ein Monomorphismus in <math>\circlearrowright</math> ist, und nicht, dass <math>f</math> eine Injektion in der Kategorie der Mengen ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-17


2017-09-16 16:17 - Triceratops in Beitrag No. 2 schreibt:
Beweis: Seien <math>x,y \in X</math>. Es gibt dann <math>G</math>-Homomorphismen <math>x",y" : G \to X</math> mit <math>x"(1)=x</math> und <math>y"(1)=y</math>.

Warum?


Wenn <math>f(x)=f(y)</math>, dann gilt <math>f \circ x" = f \circ y"</math>.

<math>f \circ x" = f \circ y"</math> bedeutet, dass für alle <math>g\in G</math> gilt <math>(fx")(g) = (fy")(g)</math>. Aber wir wissen doch nur von <math>g=1</math>, dass das gilt, oder?


Für das Monoid <math>G=(\mathds{N},+,0)</math> ist die Kategorie der <math>G</math>-Mengen isomorph zur Kategorie der Endomorphismen von der Kategorie der Mengen.

Die Frage wird eig. in einem viel elementareren Kontext gestellt, in dem der Leser noch keine Ahnung von "G-Mengen" oder allg. "Gruppen" und "Monoiden" hat. Deswegen würde ich mich freuen, wenn du deinen Beweis sozusagen in die elementareren Begriffe übersetzen könntest, ohne "G-Mengen" zu verwenden.


Also: Ein Monomorphismus ist hier einfach ein injektiver Homomorphismus.

Gilt also Folgendes? Jeder Monomorphismus in <math>\circlearrowright</math> ist injektiv (im Sinne von <math>f(x)=f(y)\implies x = y</math>)?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-17


1) <math>x"(g) = g x</math>, man hat keine andere Wahl.
2) Das folgt aus der Eindeutigkeit, oder aus der Definition in 1).
3) Ja, aber man muss schon das Objekt <math>(\mathds{N},S)</math> mit <math>S(n)=n+1</math> verwenden. Wenn <math>(X,\alpha)</math> ein Objekt der Kategorie ist, und <math>x \in X</math>, so bekommt man (genau) einen Morphismus <math>(\mathds{N},S) \to (X,\alpha)</math> mit <math>0 \mapsto x</math>, nämlich <math>n \mapsto \alpha^n(x)</math>. Jetzt argumentiere man wie oben.
4) Ja, genau das schreibe ich.



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