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Physik » Elektrodynamik » Coulomb-Gesetz und Lorentz-Kraft
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Universität/Hochschule Coulomb-Gesetz und Lorentz-Kraft
digerdiga
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  Themenstart: 2017-09-29

Die Maxwell Gleichungen machen ja eigentlich nur eine Aussage darüber wie Ladungen Felder (E und B) erzeugen. Beispielsweise erhält man aus $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ Coulombs Law für eine Punktladung q? $\vec{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \vec{e}_r$. Wobei, ist das überhaupt Coulombs Law oder macht dieses tatsächlich nur die Aussage, dass die Kraft die auf eine Ladung Q im Feld E wirkt $\vec{F} = Q \cdot \vec{E}$ ist. Ein Kraftgesetz sollte als solches ja nicht in den Maxwell Gleichungen stecken. Analog ist es ja auch bei Magnetfeldern. Aus den Maxwell Gleichungen lässt sich das B Feld berechnen, welches eine bewegte Ladung erzeugt. Um daraus das Amperesche Gesetz herzuleiten, benötige ich ja trotzdem noch die Lorentz-Kraft, die man nicht aus den Maxwell-Gleichungen erhält. Danke


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Tirpitz
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-29

Hallo! Ja, das siehst du so ganz korrekt. Für die klassische Elektrodynamik benötigst du die Maxwellgleichungen und entweder die Lorentzkraft oder die Faraday'sche Flussregel (also $U=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Phi(t)$) mit $\Phi(t)=\int\limits_{\Sigma(t)}B(t)$. Mit der Einen kannst du dann jeweils unter Verwendung der Maxwellgleichungen (und im letzteren Fall mit der Leibniz-Integralformel $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{\Sigma(t)}B(t)=\int\limits_{\Sigma(0)}(\dot B-\mathrm d\circ\iota_v B-\iota_v \mathrm dB)$) die Formel der Anderen herleiten. Grüße


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digerdiga
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29

Hey, Vielleicht war das nicht ganz eindeutig von mir. Ich meinte https://de.wikipedia.org/wiki/Amp%C3%A8resches_Kraftgesetz also nicht das Amperesche Induktionsgesetz. Oder ist die Lorentzkraft tatsächlich äquivalent zur Induktion? Also ich kann das eine aus dem anderen herleiten? Wenn ja wie? \quoteon $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{\Sigma(t)}B(t)=\int\limits_{\Sigma(0)}(\dot B-\mathrm d\circ\iota_v B-\iota_v \mathrm dB)$ \quoteoff Was ist denn $\iota_v$ hier? Inklusion? Soll das das Reynolds-Transporttheorem sein? Muss auf der rechten Seite die Fläche nicht trotzdem noch t-abhängig sein? In https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_transport_theorem gibt es nur 2 Terme. PS: gelöscht, da es sich wohl um $\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \int_{A(t)} \vec{B}\cdot {\rm d}\vec{A} = \int_{A(t)} \dot{\vec{B}} \cdot {\rm d}\vec{A} + \oint_{\partial A(t)} \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \cdot {\rm d}\vec{s} + \int_{A(t)} \left(\vec{\nabla} \cdot \vec{B}\right) \vec{v} \cdot {\rm d}\vec{A}$ handelt. Vielleicht abschließend nochmal zur Interpretation. Obige Gleichung unter Verwendung von $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ und $\dot{\vec{B}} = - \vec{\nabla} \times \vec{E}$ führt mit Hilfe des Stokesschen Satzes auf $-\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \phi = \int_{\partial A(t)} \left( \vec{v} \times \vec{B} + \vec{E} \right) \cdot {\rm d}\vec{s}$ Wenn ich jetzt noch nichts von der Lorentz-Kraft weiß, aber Faraday als bekannt voraussetze womit also durch $-\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \phi = U$ eine Spannung (Energie pro Ladung) an den Klemmen erzeugt wird, dann muss entlang des geschlossenen Weges eine Kraft pro Ladung auf die Ladungsträger wirken die ich dann als Lorentzkraft identifiziere?! Wenn ich umgekehrt Faraday nicht kenne aber die Lorentzkraft, und die Contour (und damit der Leiter) bewegt sich im Feld, dann wirkt wegen der Lorentzkraft auf die bewegten Ladungen eine Kraft die zur Ladungstrennung führt. Im Gleichgewicht ist dann Coulombkraft= Lorentzkraft und diese Ladungstrennung bemerke ich als Potential/Spannung an den Klemmen => Faraday.


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Tirpitz
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-29

Hallo, ja, die 0 ist mir da fälschlicherweise reingerutscht. Das Reynolds-Transporttheorem kannte ich noch nicht, das sollte aber das Selbe wie das Leibnizintegral sein. $\iota_v$ ist das innere Produkt aus dem lokalen Geschwindigkeitsvektor, den ein Punkt der sich durch den veränderlichen Fluss bewegenden Fläche hat und einer 3-Form. Einer der drei Terme verschwindet wegen $\mathrm dB=0$ (Maxwell-Gesetz, Magnetfeldlinien haben keinen Rand). Wenn du jetzt annimst, dass entlang der Kontur der sich bewegenden Fläche Ladungsträger liegen, dann ergibt das Integral genau die elektromotorische Kraft, aus der du dir dann die Lorentzkraft definierst (also über das Integral Arbeit = Kraft mal Weg).


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digerdiga
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29

Hab nochmal einiges ergänzt.


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Tirpitz
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  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-29

Hallo. Ja, so verstehe ich das Induktionsgesetz und seinen Zusammenhang mit der Lorentzkraft. Der Aspekt, der zu vielen Verwirrungen führt, ist, dass eben die EMK nur dann gleich der Zeitableitung des Flusses ist, wenn der Rand der betrachteten Fläche der Aufenthaltsort der Ladungsträger ist. In der Richtung "Lorentz-Kraft => Faraday-Gesetz" ist das offensichtlich, da die Lorentzkraft nur auf Ladungsträger wirken kann, aber in der anderen Richtung muss man sehr aufpassen, was für eine Fläche man sich aussucht. Das berühmteste Paradox ist wohl das mit dem rotierenden Zylinder.


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digerdiga
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29

Du meinst wahrscheinlich https://de.wikipedia.org/wiki/Unipolarmaschine https://de.wikipedia.org/wiki/Faradaysches_Paradoxon https://de.wikipedia.org/wiki/Unipolarinduktion Befindet sich die Scheibe vollständig im Magnetfeld? Warum ist dann im letzten Link $\frac{{\rm d}\alpha}{{\rm d}t} \neq 0$ ??? Ist nicht immer der gleiche Anteil im Magnetfeld und damit ändert sich die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche doch nicht!?!? Ist dann der entsprechende Bereich nur die Grenzlinie bei der die Scheibe das Magnetfeld verlässt bzw. wieder eintritt?!?!? Wie meintest du deinen Satz bzgl. der Contour angewandt auf dieses Beispiel???


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Tirpitz
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  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-29

Der Abschnitt über Wirbelfelder aus deinem letzten Link ist falsch (siehe auch die Diskussionsseite des Artikels). Die vermeindliche Lösung lässt sich wie folgt zusammenfassen: 1. Das Induktionsgesetz lautet $\int\limits_{\partial \Sigma(t)}E(t)=\int\limits_{\Sigma(t)}\dot B$. 2. Offensichtlich ist $\dot B=0$, also ist auch $E=0$. 3. Weil man aber in das mit dem Stab bewegte Inertialsystem boosten kann, in dem $E'\simeq E +v\times B=0$ gilt, sieht man, dass es doch $E\neq 0$ sein muss. Diese Argumentation ist offensichtlich falsch. Das vollständige Induktionsgesetz lautet $\int\limits_{\partial \Sigma(t)}(E(t)-\iota_v B) =\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{\Sigma(t)}B(t)$. Es wird in der Literatur regelmäßig der $v\times B$-Term (im Englischen "motional EMF") unter den Tisch fallen gelassen bzw. die Zeitableitung einfach unters Integral gezogen. Es erstaunt mich immer wieder, wie viele Physiker noch nicht einmal das Induktionsgesetz verstanden haben. Beachtet man diese Tatsache, dass wird auch Aussage Nummer 2 nichtig. Nummer 3 macht argumentativ dann aber auch keinen Sinn, weil es implizit behauptet, die Maxwell-Theorie macht eine falsche Vorhersage, die durch die SRT korrigiert wird. Tatsächlich bedingen SRT und Maxwelltheorie einander. Und die Tatsache, dass da kein Ist-Gleich steht und das Ergebnis nur bisauf den Lorentzfaktor $\gamma$ stimmt, sollte dann sowieso stutzig machen, denn auch in der SRT bleibt die Formel der Lorentzkraft die Selbe. Was sich ändern muss (!) ist das newton'sche Bewegungsgesetz (bzw. allgemein die Definition der Kraft). Weiter habe ich den Artikel nicht gelesen, er ist es nicht wert.


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digerdiga
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29

Ich verstehe das Integral $\oint_{\partial A(t)} \vec{E} \cdot {\rm d}\vec{s} = -\int_{A(t)} \dot{\vec{B}} \cdot {\rm d}\vec{A}$ folgendermaßen: Im Bezugssystem indem der Leiter sich mit v nach rechts bewegt ist in der Tat $\dot{\vec{B}}=0$ und daher $\oint_{\partial A(t)} \vec{E} \cdot {\rm d}\vec{s} = 0$. Allerdings muss man das geschlossene Integral auch komplett auswerten und hat daher $U_0 + \vec{E}\cdot \vec{L} = 0$ $U_0 = vBL$ http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/15542_Unipolarinduktion.png Oder ist der Beitrag an den Klemmen weil Luft dazwischen ist Null? Wie stell ich mir so Klemmen eigentlich richtig vor?? Wenn ich 2 Klemmen habe liegt dazischen doch nicht wirklich ein E-Feld an, oder? Wenn man die in der Hand hat merkt man davon doch gar nichts? Oder liegt das daran, dass der Abstand L so groß ist und U=E*L konstant ist, so dass E entsprechend klein ist? Im übrigen gilt auch mit dem von dir als allgemeines Induktionsgesetz bezeichnet $-\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \phi = \int_{\partial A(t)} \left( \vec{v} \times \vec{B} + \vec{E} \right) \cdot {\rm d}\vec{s} = U_0 + 0 + (vBL - vBL) + 0 = U_0 = vBL$


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Tirpitz
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  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-03

\quoteon(2017-09-29 22:44 - digerdiga in Beitrag No. 8) Ich verstehe das Integral $\oint_{\partial A(t)} \vec{E} \cdot {\rm d}\vec{s} = -\int_{A(t)} \dot{\vec{B}} \cdot {\rm d}\vec{A}$ folgendermaßen: \quoteoff Dieses Integral ist falsch. Ich hole mal etwas weiter aus und wiederhole die wesentlichen Punkte. Du kannst die induzierte Spannung über zwei Wege berechnen, je nach dem, was du als Axiom annimmst (Lorentzkraft oder Flussregel, s.u.). Beide sind mathematisch jedoch äquivalent, du brauchst also nur eine von beiden. Um diesen Zusammenhang zu sehen, musst du, wie bereits erläutert, zwei der Maxwellgleichungen, den Satz von Stokes und das Reynolds-Transporttheorem/die Cartan-Formel für Lie-Ableitungen berücksichtigen:
  1. $\mathrm dB=0$
  2. $\mathrm dE=-\dot B$
  3. $\int\limits_{\Sigma}\mathrm d\omega=\int\limits_{\partial\Sigma}\omega$
  4. $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{\Sigma(t)}\omega(t)=\int\limits_{\Sigma(t)}\left(\dot \omega(t)+\mathcal L_v\omega(t)\right)$ mit Cartan-Formel $\mathcal L_v\omega=\mathrm d\circ\iota_v\omega+\iota_v\circ\mathrm d\omega$ und $\Sigma(t)=\phi_t(\Sigma_0), \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\bigg|_{t=t_0}\phi_t(p)=v(p)\bigg|_{t=t_0}$ mit $\phi_0=\text{id}, \phi_t\circ\phi_s=\phi_{t+s}$ (also $\phi_t$ ist der Fluss des Geschwindigkeits-Vektorfeldes $v$, das am Rand der betrachteten Fläche entscheidend ist.
Punkt 1 & 2 sind experimenteller Fakt und als physikalisches Axiom hinzunehmen, 3 & 4 sind rein mathematischer Natur. Das Phänomen der Induktion braucht nun, wie bereits gesagt, eine zusätzliche Annahme: Entweder 1. Du nimmst axiomatisch hin, dass $F=q(E-\iota_vB)$, die sog. Lorentzkraft, auf Ladungen mit Geschwindigkeit $v$ wirkt, sodass du die induzierte (Umlauf-)Spannung gemäß Arbeitsintegral (duale Paarung aus Kraftform und Weg) à la $W=-\oint\limits_{\partial A(t)}F$ und $U_\text{ind}=\frac{W}{q}$ ausrechnest. Eingesetzt bedeutet das $U_\text{ind}=-\oint\limits_{\partial A(t)}\left(E-\iota_vB\right)$. Wenn du willst, kannst du anhand der Punkte 1-4 nun die faradaysche Flussregel herleiten. Oder 2. Du nimmst die faradaysche Flussregel, $U_\text{ind}(t)=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{A(t)}B(t)$ (in Worten: die induzierte Spannung in einem Leiter zum Zeitpunkt t ist die zeitliche Änderung des mag. Flusses durch eine Fläche, die zum Zeitpunkt t durch den Leiter berandet wurde) als weiteres Axiom an. Mithilfe der Punkte 1-4 kannst du daraus nun die Formel der Lorentzkraft herleiten. Hierbei ist es unerheblich, ob die Flussänderung durch eine Änderung der durchflossenen Fläche oder durch die Stärke der mag. Flussdichte hervorgerufen wurde. Die Erstere schlägt sich im Term $\iota_vB$ nieder (motional emf), die Letztere im $E$-Term (transformer emf). Soweit erst einmal ganz theoretisch. Ich hoffe, jetzt ist so in etwa klar, welche physikalischen Annahmen man wählt und was mathematischer Natur ist. Im nächsten Posting werde ich dein konkretes Beispiel mal ausrechnen, einmal über Weg 1 und dann über Weg 2.



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digerdiga
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-03

Hey, \quoteon Dieses Integral ist falsch. \quoteoff Was soll an diesem Integral falsch sein? Die Maxwell-Gleichung stimmt laut experimenteller Fakt (wie du sagst) und desweiteren kann ich diese Gleichung einfach über die Fläche einer Contour integrieren. Allerdings darf man sie halt nicht so interpretieren, wie das die meisten tun.


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Tirpitz
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  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-03

\quoteon(2017-10-03 13:27 - digerdiga in Beitrag No. 10) Hey, \quoteon Dieses Integral ist falsch. \quoteoff Was soll an diesem Integral falsch sein? \quoteoff Vergleiche doch nur einmal die Einheiten. Auf der linken Seite hast du Volt, auf der Rechten Teslaquadratmeter, a.k.a. Voltsekunden.


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index_razor
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  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-03

Unter dem Integral auf der rechten Seite steht die Zeitableitung von B. Damit stimmen die Einheiten (Teslaquadratmeter pro Sekunde). Es wurde einfach $d E = -\dot{B}$ über eine Fläche integriert und dann auf der linken Seiten den Satz von Stokes angewendet.


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Tirpitz
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  Beitrag No.13, eingetragen 2017-10-03

Ah, entschuldige, ich nehme das in dem Fall zurück. Erst bei ganz scharfen Hinsehen erkenne ich den Punkt über dem B, der bei mir vom g des darüberstehenden Wortes "Integral" überdeckt wurde. Edit: Die Rechnung ist aber m.E. trotzdem nicht richtig. Er berechnet dort eben nur, dass die "transformer emf" gleich 0 ist. Sein vBL-Term fällt gewissermaßen vom Himmel, den kann er nur mit dem vollständigen Induktionsgesetz ableiten.


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Tirpitz
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  Beitrag No.14, eingetragen 2017-10-03

Okay und jetzt wie versprochen die Beispielrechnung: Wir haben also einen rechteckigen Metallrahmen in der x-y-Ebene, der in z-Richtung durch das homogene B-Feld $B=B_0\mathrm dx\wedge\mathrm dy$ durchflossen wird und auf seiner positiven y-Seite offen ist. Der leitende Rahmen umrandet die Fläche $A_0:=\{(x,y,0):x\in [0,L],y\in [0,y_0]\}$ zum Zeitpunkt $t=0$. Der Koordinatenursprung sei $o$ mit $x(o)=y(o)=z(o)=0$. Ein auf dem Rahmen beweglicher, leitender Bügel schließt den Stromkreis bei $y(t=0)=y_0$ und wandert mit konstanter Geschwindigkeit $\mathbf v=v\hat{\mathbf e}_y$. Diese Bewegungung kann man mit dem Fluss1 $\phi_t(p)=o+\begin{pmatrix}x(p)\\y(p)\left(1+\frac{vt}{y_0}\right)\\z(p)\end{pmatrix}$ modellieren, dessen zugehöriges Vektorfeld $\mathbf V(p)=\frac{vy(p)}{y_0+vt}\mathbf{\hat e}_y$ lautet, welches, ausgewertet beim Bügel, genau $v\hat{\mathbf e}_y$ und an der gegenüberliegenden Seite zu jedem Zeitpunkt 0 ergibt. So, jetzt wird die Lorentzkraft gemäß der Option 1 entlang der geschlossenen Leiterschleife integriert: $U_\text{ind}=-\oint\limits_{\partial A(t)}\left(E-\iota_\mathbf VB\right)$. Da hier nirgendwo die Rede von einem E-Feld war, bleibt nur $\begin{equation*} U_\text{ind}=\oint\limits_{\partial A(t)}\iota_\mathbf VB=\oint\limits_{\partial A(t)}B(\mathbf V,\cdot)=B_0\oint\limits_{\partial A(t)}(\mathrm dx\wedge\mathrm dy)(\mathbf V,\cdot)=\\ =-\frac{vB_0}{y_0+vt}\oint\limits_{\partial A(t)}y\mathrm dx \end{equation*} $, wobei ich $\partial A(t)$ mit den Wegstücken $\gamma_1(s)=o+s(y_0+vt)\mathbf{\hat e}_y, \gamma_2(s)=o+(y_0+vt)\mathbf{\hat e}_y+sL\mathbf{\hat e}_x$ $\gamma_3(s)=o+(1-s)(y_0+vt)\mathbf{\hat e}_y+L\mathbf{\hat e}_x$ und $\gamma_4(s)=o+(1-s)L\mathbf{\hat e}_x$ parametrisiere ($s\in [0,1]$), also einmal gegen den Uhrzeigersinn gemäß des rechtshändigen Koordinatensystems. Wenn man jetzt die 1-Formen integriert, sieht man, dass $\int\limits_{\gamma_i}y\mathrm dx=0$ für $i\in\{1,3,4\}$. Es verbleibt $\int\limits_{\gamma_2}y\mathrm dx=L(y_0+vt)\int\limits_0^1\mathrm ds=L(y_0+vt)$. Jetzt noch einsetzen, dann ist die induzierte Spannung auch tatsächlich $U_\text{ind}=-vB_0L$. Jetzt sollten sich deine Fragen bzgl. der Klemmen beantworten: wie weit sie z.B. auseinander sind oder ob da Luft oder sonstwas darin ist, ist für die Spannung unerheblich, da das Integral entlang ihres Weges eh immer 0 ist. Zusammenfassend kann man wohl sagen, dass dies der eher ätzende Weg ist, die induzierte Spannung auszurechnen. Mit der Flussregel geht's viel bequemer. 1: Mein "Fluss" $\phi_t$ ist keiner. Zwar gilt tatsächlich $\phi_0(p)=p\quad\forall p\in\mathbb{R}^3$, aber leider nicht $\phi_t\circ\phi_s=\phi_{t+s}$, obwohl $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_t\bigg|_{t=t_0}=v(\phi_{t_0})$ erfüllt ist. Ich frage mich aber auch so schon länger, wo genau die Lie-Ableitung diese letzte Anforderung an $\phi_t$ benötigt. Im Beweis, dass $\mathcal L_V\omega:=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\bigg|_{t=0}\phi_t^*\omega=(\iota_V\circ\mathrm d+\mathrm d\circ\iota_V)\omega$ gilt, taucht diese Anforderung m.E. nirgends auf, und obige Rechnung klappt ja auch gut ohne. Weiß da jemand was? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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Tirpitz
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Okay, jetzt noch schnell Weg 2 mit der Flussregel. Wir haben den selben Fluss des Vektorfeldes $\phi_t$ wie vorher und $A(t):=\phi_t(A_0)$. Jetzt berechnet man $U_\text{ind}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Phi(t)$ mit $\Phi(t):=\int\limits_{A(t)}B$. Anhand des Transformationssatzes folgt: $\int\limits_{A(t)}B=\int\limits_{\phi_t(A_0)}B=\int\limits_{A_0}\phi_t^*B=B_0\left(1+\frac{vt}{y_0}\right)\int\limits_{A_0}\mathrm dx\wedge\mathrm dy=B_0\left(1+\frac{vt}{y_0}\right)\int\limits_0^{y_0}\mathrm d\hat y\int\limits_0^L\mathrm d\hat x$, also $\Phi(t)=B_0L(y_0+vt)$ und damit $U_\text{ind}=-vB_0L$. Das geht sehr viel angenehmer von der Hand. Aber man muss hierbei eben immer Acht geben, dass die Integrationsfläche auch wirklich durch die Leiter berandet wird, ansonsten bekommt man diese ganzen paradoxen Ergebnisse. Wenn man die Lorentzkraft integriert, muss man sich von vornherein darüber Gedanken machen, hier nicht.


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  Beitrag No.16, eingetragen 2017-10-03

\quoteon(2017-10-03 18:12 - Tirpitz in Beitrag No. 13) Edit: Die Rechnung ist aber m.E. trotzdem nicht richtig. Er berechnet dort eben nur, dass die "transformer emf" gleich 0 ist. Sein vBL-Term fällt gewissermaßen vom Himmel, den kann er nur mit dem vollständigen Induktionsgesetz ableiten. \quoteoff Ich glaube ich verstehe nicht ganz worüber ihr euch uneinig seid. Die letzte Gl. aus Beitrag 8 scheint unter den dort genannten Voraussetzungen das richtige auszusagen, wenn man alles zwischen dem ersten und dem letzten "=" ignoriert, was für mich aussieht wie Addition und Subtraktion von lauter Nullen. Das Argument vor der Skizze kann ich nicht ganz nachvollziehen. Es scheint bis auf das Vorzeichen wieder nur die letzte Gleichung zu stimmen. Geht es hier darum, was das in Beitrag 8 skizzierte Voltmeter anzeigt, also darum ob 1) $"U"=\frac{d}{d t}\Phi = vBL$ oder 2) $"U"=\int_{\partial A(t)} E = 0$? Wenn ich euch richtig verstehe, behauptet ihr ja beide, daß 1) stimmt. Oder geht es nur darum wie man die richtige Aussage 1) korrekt herleitet? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.] P.S. Oh, du schreibst deutlich schneller als ich.;-) Dann lese ich das jetzt mal in Ruhe...


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  Beitrag No.17, eingetragen 2017-10-03

\quoteon(2017-10-03 20:14 - index_razor in Beitrag No. 16) Ich glaube ich verstehe nicht ganz worüber ihr euch uneinig seid. [...] Wenn ich euch richtig verstehe, behauptet ihr ja beide, daß 1) stimmt. Oder geht es nur darum wie man die richtige Aussage 1) korrekt herleitet? \quoteoff Genau um Letzteres geht es mir und um klar zu machen, welche Axiome man für die klassische Elektrodynamik wählt (bzw. welche der Axiome äquivalent sind, i.e. Flussregel und Lorentzkraft). Er verwendet ein m.E. falsches Induktionsgesetz, um dann das richtige Ergebnis herzuleiten, weshalb ich die ganze Geschichte noch mal etwas detaillierter ausgeführt habe und zwar so, wie ich sie bisher verstehe. Diese ganzen Argumentationen, die versuchen, die Paradoxien des Induktionsgesetzes durch irgendwelche Lorentztransformationen zu beseitigen, finde ich widersinnig, da die ja ohnehin von einem falschen Induktionsgesetz ausgehen. Auch dagegen wollte ich etwas schreiben.


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-03

Ich muss deine vorigen Beiträge noch lesen, wollte aber auf den letzten dennoch schonmal antworten. Was man als Induktionsgesetzt bezeichnet ist letztlich irrelevant. Die Gleichung die du bemängelt hast ist ziemlich sicher korrekt. Allerdings wie du siehst ergibt diese in unterschiedlichen Fällen unterschiedliche Ergebnisse. Was letztlich zählt ist U0 (die Klemmenspannung), welches du aus der Contour-Integration erst extrahieren musst. Wenn du das Induktionsgesetz über die Faraday Regel mit E+vxB formulierst ist halt immer sichergestellt, dass das Contourintegral U0 ergibt. Das Ergebnis ist im Wesentlichen ja in Form der elektrischen Eigen-Feldstärke formuliert, so dass es Lorentzinvariant ist, wenn man die Maße entsprechend mittransformiert. Inwiefern vBL vom Himmel fällt ist mir völlig schleierhaft. Du entscheidest dich für das Laborsystem und führst die Contourintegrale mit den korrekten Werten für E durch. Ich versteh auch nicht wo das Problem ist, E aus den Lorentz-Transformationsregeln zu benutzen? E+vxB ist doch letzlich nichts anderes als E' im bewegten System und dort =0. D.h. auch für den anderen Weg habe ich quasi die spezielle Relativitätstheorie benutzt. Gleichung 2) von index-razor ist natürlich falsch. Diese Aussage habe ich aber auch nie getroffen!


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  Beitrag No.19, eingetragen 2017-10-03

\quoteon Was man als Induktionsgesetzt bezeichnet ist letztlich irrelevant. \quoteoff Nein, ist es nicht. Ich habe mittlerweile aber schon oft genug geschrieben, welche Formel die Induktion vollständig beschreibt. Nehmen wir Feynmans Worte: \quoteon So the "flux rule"—that the emf in a circuit is equal to the rate of change of the magnetic flux through the circuit—applies whether the flux changes because the field changes or because the circuit moves (or both). The two possibilities—"circuit moves" or "field changes"—are not distinguished in the statement of the rule. Yet in our explanation of the rule we have used two completely distinct laws for the two cases—$\mathbf v\times \mathbf B$ for "circuit moves" and $\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$ for "field changes". We know of no other place in physics where such a simple and accurate general principle requires for its real understanding an analysis in terms of two different phenomena. Usually such a beautiful generalization is found to stem from a single deep underlying principle. Nevertheless, in this case there does not appear to be any such profound implication. We have to understand the "rule" as the combined effects of two quite separate phenomena. We must look at the "flux rule" in the following way. In general, the force per unit charge is $\mathbf F/q=\mathbf E+\mathbf v\times \mathbf B$. In moving wires there is the force from the second term. Also, there is an E-field if there is somewhere a changing magnetic field. They are independent effects, but the emf around the loop of wire is always equal to the rate of change of magnetic flux through it. \quoteoff Siehe hier. Deine Gleichung ist nur die integrierte Maxwellgleichung. Aber wie Feynman auch schreibt (und ich hier vorgerechnet habe): sie alleine beschreibt nicht die zwei voneinander unabhängigen Effekte, die zur Induktion führen. Insbesondere erklärt deine Gleichung den Effekt gar nicht. Erst, weil du die Faraday-Regel bemühst, kommst du auf das richtige Ergebnis. Dies ist aber eine ganz eigene Aussage neben $\mathrm dE=-\dot B$! Und bzgl. deiner Lorentz-Trafo: was willst du damit erreichen? Ist es das, woher du dein ominöses $E=-v\times B$ beziehst? Der Zusammenhang gilt so aber nur im mit dem Bügel bewegten System, also $E'=\iota_v B'$, es gilt nicht $E=\iota_v B'$, sondern höchstens in guter Näherung, wenn v viel kleiner als c ist. Zum Effekt der Induktion ist keinerlei Bezugssystemwechsel erforderlich - man kann, ja man muss ihn, in einem einzigen Bezugssystem ausrechnen. Wenn du es in einem anderen Frame machen willst - bitte. Du wirst das selbe Ergebnis erhalten. Aber mit Lorentz-Transformationen der Felder hat die Induktion einfach nichts zu tun.


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-03

\quoteon So, jetzt wird die Lorentzkraft gemäß der Option 1 entlang der geschlossenen Leiterschleife integriert: $U_\text{ind}=-\oint\limits_{\partial A(t)}\left(E-\iota_\mathbf VB\right)$. Da hier nirgendwo die Rede von einem E-Feld war, bleibt nur $\begin{equation*} U_\text{ind}=\oint\limits_{\partial A(t)}\iota_\mathbf VB=\oint\limits_{\partial A(t)}B(\mathbf V,\cdot)=B_0\oint\limits_{\partial A(t)}(\mathrm dx\wedge\mathrm dy)(\mathbf V,\cdot)=\\ =-\frac{vB_0}{y_0+vt}\oint\limits_{\partial A(t)}y\mathrm dx \end{equation*} $, wobei ich $\partial A(t)$ mit den Wegstücken $\gamma_1(s)=o+s(y_0+vt)\mathbf{\hat e}_y, \gamma_2(s)=o+(y_0+vt)\mathbf{\hat e}_y+sL\mathbf{\hat e}_x$ $\gamma_3(s)=o+(1-s)(y_0+vt)\mathbf{\hat e}_y+L\mathbf{\hat e}_x$ und $\gamma_4(s)=o+(1-s)L\mathbf{\hat e}_x$ parametrisiere ($s\in [0,1]$), also einmal gegen den Uhrzeigersinn gemäß des rechtshändigen Koordinatensystems. Wenn man jetzt die 1-Formen integriert, sieht man, dass $\int\limits_{\gamma_i}y\mathrm dx=0$ für $i\in\{1,3,4\}$. Es verbleibt $\int\limits_{\gamma_2}y\mathrm dx=L(y_0+vt)\int\limits_0^1\mathrm ds=L(y_0+vt)$. Jetzt noch einsetzen, dann ist die induzierte Spannung auch tatsächlich $U_\text{ind}=-vB_0L$. \quoteoff Meiner Meinung nach ist das falsch. Es existiert im bewegten Leiter nunmal ein E-Feld, das sich genau mit vxB kompensiert, so dass das Integral überall Null ist. Das ist im wesentlichen das was ich mit der Invarianz unter Lorentz-Transformation meinte. In einem anderen IS wirst du das gleiche feststellen, da E'~E+vxB überall entlang des Leiters Null ist. In unterschiedlichen IS erhältst du bei der Integration dieses Ausdruckes immer nur U0 (im jeweiligen IS) als unbekannte Klemmenspannung die du ja noch erst suchst! Das Integral in diesem Teil kannst du daher alleine mit der Lorentzkraft gar nicht auswerten! Dies geschieht dann nunmal mit $-\dot{\phi}$ (oder halt mein erster Weg von dem du der Meinung bist er sei falsch) was man aber erst mit Maxwell- und Leibniz herleiten muss. In diesem Zusammenhang kann man die Gleichung $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\dot{\vec{B}}$ sehr wohl als Induktionsgesetz bezeichnen. Sie ist aber nur ein Teil der Wahrheit die man benötigt um die finale Gleichung in der schönen Faraday-Form zu bekommen. Du hast übrigens die Integration über die Klemmen vergessen (die gehören im geschlossenen Weg dazu!) Ich bin diesbzgl. immer noch der Auffassung, dass zwischen diesen ein E-Feld existiert (sprich Feldlinien von der einen zur anderen Klemme), das aber entsprechend klein (nur in der Nähe der Klemme sehr groß) ist. Die Spannung ist aber wegunabhängig und vorgegeben. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]


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Tirpitz
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  Beitrag No.21, eingetragen 2017-10-03

Du hast eine falsche Vorstellung davon, wie die Lorentz-Transformation der Felder funktioniert. Nur, weil der Bügel sich im Laborsystem bewegt, heißt das noch lange nicht, dass du jetzt das Labor-B-Feld lorentz-transformieren musst, um ein E-Feld im Leiter zu erhalten. Das ist sogar nonsense, weil du jetzt gestrichene und ungestrichene Felder durcheinanderwirfst. Im Laborsystem ist kein E-Feld vorhanden, nirgendwo. P.S.: Spezifiziere einmal bitte, was du mit "Klemme" meinst. Handelt es sich bei dir um einen Plattenkondensator, den du langsam auflädst?


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digerdiga
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-03

\quoteon(2017-10-03 22:35 - Tirpitz in Beitrag No. 21) Du hast eine falsche Vorstellung davon, wie die Lorentz-Transformation der Felder funktioniert. \quoteoff Mal ganz davon abgesehen, dass ich mir hier lediglich nicht vorstellen kann was diese Aussage bedeutet, anhand welcher Aussage glaubst du das denn so detailgetreu beurteilen zu können? Ich versuchs dann mal quantitativ, wenn meine Worte einfach als "falsche Vorstellung" abgestempelt werden: In einem nicht bewegten idealen Leiter ist das E-Feld Null und daher liefern diese keine Beiträge. Dahin gehen wir ja konform. Wie sieht es nun also mit dem bewegten Leiter aus? Diese Frage ist leider a-priori nicht direkt zu beantworten. Was wir suchen ist ein Potentialbeitrag in diesem Leiter, falls er existiert. Aus diesem Grunde versetzt man sich nun ins momentane Ruhsystem, da man so diesen Beitrag mittels der Eigen-Größen ausdrücken kann. ${\rm d}U = \frac{{\rm d}U'}{\gamma} = \frac{1}{\gamma} \vec{E}'\cdot {\rm d}\vec{r}' $. Da aber der ideale Leiter im Ruhsystem $\vec{E}'=0$ hat, gibt es auch hier keinen Beitrag zu ${\rm d}U$. Zusammenhang zur Lorentzkraft: ${\rm d}U = \frac{1}{\gamma} \vec{E}'\cdot {\rm d}\vec{r}' = \frac{1}{\gamma} \left( \vec{E}'_\parallel \cdot {\rm d}\vec{r}'_\parallel + \vec{E}'_\bot \cdot {\rm d}\vec{r}'_\bot \right) = \frac{1}{\gamma} \left( \vec{E}_\parallel \cdot \gamma {\rm d}\vec{r}_\parallel + \gamma \left( \vec{E}_\bot + \vec{v} \times \vec{B}\right) \cdot {\rm d}\vec{r}_\bot \right) = \left(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right) \cdot {\rm d}\vec{r}$ Wenn im Ruhsystem also die Leiter feldfrei sind, dann gilt auch das Verschwinden der Lorentzkraft und dies deckt sich mit dem 1. Teil den ich oben ausgeführt hatte. Das ist überhaupt nur der Grund, weshalb gerade E+vxB im Integral mit der Klemmenspannung identifiziert wird, so wie es die Faraday-Gleichung auch macht. Und ja die Klemmen sind dann sozusagen der Kondensator in den die geladenen Teilchen langsam gedrückt werden, so dass zwischen den Klemmen nun ein Feld herscht, quasi genau umgekehrt zum Coulomb-Feld im bewegten Leiter, denn das E-Feld im bewegten Leiter, welches gerade vxB kompensiert ist ja gerade das Coulombfeld im Gleichgewicht. \quoteon Nur, weil der Bügel sich im Laborsystem bewegt, heißt das noch lange nicht, dass du jetzt das Labor-B-Feld lorentz-transformieren musst, um ein E-Feld im Leiter zu erhalten. Das ist sogar nonsense, weil du jetzt gestrichene und ungestrichene Felder durcheinanderwirfst. Im Laborsystem ist kein E-Feld vorhanden, nirgendwo. \quoteoff Das Labor-B-Feld transformieren??? Die einzige Größe die ich transformiere ist das E-Feld im momentanen Ruhsystem, dass nunmal mit dem Labor-B-Feld zusammenhängt! Die Transformation für das B-Feld hab ich gar nicht erwähnt. Vielleicht kannst du ja mal weiter ausführen was genau ich deiner Meinung nach durcheinanderwerfe.


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  Beitrag No.23, eingetragen 2017-10-03

Nachtrag: Okay, lassen wir uns mal auf dein Spielchen mit der Lorentz-Transformation ein. Wir bewegen uns mit den Bügel, also mit $\mathbf v=v\mathbf{\hat e}_y$ relativ zum Laborsystem. Die Felder transformieren sich zu: $B'=\gamma B=\gamma B_0\mathrm dx\wedge\mathrm dy$ und $E'=\gamma\iota_\mathbf vB=-\gamma vB_0\mathrm dx$. Rechnen wir mal nach Flussregel (also Option 2). Wie groß hier $E'$ spielt gar keine Rolle, denn auch hier gilt nur $U_\text{ind}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\limits_{A'(t)}B'$, ohne irgendein E'. Es kommt haargenau das Selbe heraus, denn der Lorentzfaktor im $B'$-Feld wird durch den inversen Faktor in der Längenkontraktion kompensiert, da der Rahmen in y-Richtung nun gestaucht wird. Oder rechne halt Option 1 nach: das E'-Feld hebt sich im Ringintegral auf, es leistet keinen Beitrag zur Induktionsspannung, welche die gleiche im Laborsystem ist (so, wie es nach dem Relativitätsprinzip auch sein sollte). Die Lorentz-Transformation gibt dir keine Erklärung für die Größe der Induktionsspannung. Es wird oft im Internet behauptet, es ist aber einfach falsch. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]


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  Beitrag No.24, eingetragen 2017-10-03

\quoteon(2017-10-03 23:07 - digerdiga in Beitrag No. 22) In einem nicht bewegten idealen Leiter ist das E-Feld Null und daher liefern diese keine Beiträge. Dahin gehen wir ja konform. \quoteoff Es ist für die Induktion überhaupt nicht entscheidend, ob wir ideale Leiter oder sonstwas haben. Es geht um die Existenz von Ladungsträgern, auf die eine Lorentzkraft wirken kann. \quoteon(2017-10-03 23:07 - digerdiga in Beitrag No. 22) Wie sieht es nun also mit dem bewegten Leiter aus? Diese Frage ist leider a-priori nicht direkt zu beantworten. \quoteoff Ich glaube, du verstehst hier etwas falsch: Elektromagnetische Felder definieren dir kein Bezugssystem! Es gibt keine Bewegung "relativ" zu Feldlinien, d.h., du kannst überhaupt nicht von ruhenden oder bewegten Leitern sprechen, wenn du nur den Leiter und ein Feld hast, weil dir der relative Bezugspunkt fehlt. Ein EM-Feld hat je nach Inertialsystem bestimmte Stärken (in E- und B-Teil) und das war's. \quoteon Die Transformation für das B-Feld hab ich gar nicht erwähnt. Vielleicht kannst du ja mal weiter ausführen was genau ich deiner Meinung nach durcheinanderwerfe. \quoteoff Und genau das ist eben das Problem. Wenn du jetzt ein anderes Bezugssystem wählst, in dem dein Bügel ruht, dann hast du dort ein E-Feld, aber auch ein anderes B-Feld. Du kannst nicht einfach das B-Feld aus dem Ruhesystem benutzen. Vergiss deine ganze Argumentation mit den Lorentz-Transformationen. Sie ist einfach widersprüchlich. Und sie ist viel zu kompliziert, wenn du dafür Kondensatoren und sonstwas zur Erklärung benötigst. Ich habe dir den axiomatischsten Zugang gezeigt. An der Stelle bin ich auch mit dem Thema fertig.


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digerdiga
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-04

\quoteon Es ist für die Induktion überhaupt nicht entscheidend, ob wir ideale Leiter oder sonstwas haben. Es geht um die Existenz von Ladungsträgern, auf die eine Lorentzkraft wirken kann. \quoteoff Für die hiesige Diskussion in der wir detailliert auseinanderbrechen an welchem Streckensegment genau wieviel Potential abfällt kannst du das doch nicht einfach untern Tisch fallen lassen?!?!?! An einem idealen Leiter der sich nicht bewegt fällt nunmal keine Spannung ab, Ende! Und der Spannungsabfall an einem bewegten Leiter berechnet sich dann nunmal eben durch die negative Komponente der "Kraft" auf geladene Teilchen im Magnetfeld -vxB gegeben. Das einzige was hier bei konstanten Magnetfeldern gilt, ist "Energieerhaltung" also die Maxwell-Gleichung $\oint \vec{E} \cdot {\rm d}\vec{s} = 0$. In diesem Fall summieren sich Spannung an den Klemmen und Spannungsabfall am bewegten Leiter gerade zu Null! \quoteon Ich glaube, du verstehst hier etwas falsch: Elektromagnetische Felder definieren dir kein Bezugssystem! Es gibt keine Bewegung "relativ" zu Feldlinien, d.h., du kannst überhaupt nicht von ruhenden oder bewegten Leitern sprechen, wenn du nur den Leiter und ein Feld hast, weil dir der relative Bezugspunkt fehlt. Ein EM-Feld hat je nach Inertialsystem bestimmte Stärken (in E- und B-Teil) und das war's. \quoteoff Du willst mir sagen ich kann nicht - von einem von meinem Bezugssystem aus betrachtet - bewegenden Leiter sprechen? Das wird mir zu philosophisch! \quoteon Und genau das ist eben das Problem. Wenn du jetzt ein anderes Bezugssystem wählst, in dem dein Bügel ruht, dann hast du dort ein E-Feld, aber auch ein anderes B-Feld. Du kannst nicht einfach das B-Feld aus dem Ruhesystem benutzen. \quoteoff Nein ist es nicht, da ich nicht so wie du die Induktionsspannung an den Klemmen vom dem mitbewegten System aus berechnet habe. Ich habe B' nirgends benötigt! So gerade eben habe ich dies aber auch nochmal durchexerziert und komm aufs gleiche. Hätte mich auch gewundert, wenn was anderes herausgekommen wäre. \quoteon Vergiss deine ganze Argumentation mit den Lorentz-Transformationen. Sie ist einfach widersprüchlich. Und sie ist viel zu kompliziert, wenn du dafür Kondensatoren und sonstwas zur Erklärung benötigst. \quoteoff Sie ist überhaupt nicht kompliziert und mmn notwendig, wenn nicht jemand kommt und es überzeugend anders erklärt. Warum will man sich denn so gegen die SRT wehren? Wie würdest du sonst E im bewegten Leiter bestimmen??? Sie ist auch nicht widersprüchlich. Das erinnert mich an die Menschen die sagen die SRT ist quatsch weil 2 Boosts nicht wieder nen Boost ergeben... Ich benötige überhaupt keine Kondensatoren aber ziehe sie einfach gerne für ein vollständiges Bild mit hinein um die Sache für mich auch anschaulich abzuspeichern. \quoteon Ich habe dir den axiomatischsten Zugang gezeigt. \quoteoff Dafür Danke ich dir auch! Ich denke wohl, dass nur eine Drittmeinung noch hilfreich wäre.


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  Beitrag No.26, eingetragen 2017-10-04

\quoteon Du willst mir sagen ich kann nicht - von einem von meinem Bezugssystem aus betrachtet - bewegenden Leiter sprechen? Das wird mir zu philosophisch! \quoteoff Betrachten wir ein Bezugssystem, in dem wir ein Magnetfeld und einen bewegungslosen Draht haben. Was passiert? Genau, gar nichts: $F=q(E-\iota_vB)=0$, denn $E=0$ und $v=0$. Was hat das mit Induktion zu tun? Ebenso nichts. Jetzt wechseln wir den Frame, in dem sich der Draht mit einer Geschwindigkeit bewegt. Jetzt gibt es, nachdem wir das B-Feld lorentz-transformiert haben, ein elektrisches Feld $E'=\iota_v B'$. Die Lorentzkraft ist damit $F=q(E'-\iota_vB')=q(\iota_vB'-\iota_vB')=0$. Es passiert also wieder, wie zu erwarten war, nichts. Wenn du an deinen Draht ein Voltmeter hälst, wirst du keine Spannung messen. Die Situation ist aber eine ganz andere, wenn du zum Metallbügel einen relativ dazu bewegten Rahmen hinzufügst und damit eine Fläche einschließt. Jetzt kannst du kein Inertialsystem mehr finden, in dem überall am Rande der Fläche $q\iota_vB=0$. Du wertest das Ringintegral aus und findest eine Spannung, die alleine durch das B-Feld des Systems verursacht wurde, denn das E-Feld, welches aufgrund der Lorentz-Transformation des homogenen, zeitlich konstanten B-Feldes zu sehen ist, ist immer konservativ und damit im Ringintegral 0. Wenn du irgendwo ein elektrisches Wirbelfeld bekommst, hast du etwas falsch gemacht, denn das würde $\dot B\neq 0$ bedeuten. Es ist aber vollkommen egal, in welchen Lorentz-Frame du boostest - B bleibt raumzeitlich homogen.


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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-05

\quoteon(2017-10-04 10:49 - Tirpitz in Beitrag No. 26) Die Situation ist aber eine ganz andere, wenn du zum Metallbügel einen relativ dazu bewegten Rahmen hinzufügst und damit eine Fläche einschließt. Jetzt kannst du kein Inertialsystem mehr finden, in dem überall am Rande der Fläche $q\iota_vB=0$. \quoteoff Das ist korrekt! Allerdings kann ich für ein explizit ausgewähltes Randsegment noch ein IS finden in dem es ruht. Und genau das habe ich getan. Der Bügel der sich in dem ersten System bewegt, ruht nun im Lorentztransformierten System. Da dort dU'=0 gelten muss (nur an diesem Leiterstück!), gilt auch dU=0 an genau diesem Leiterstück im 1. IS. \quoteon Du wertest das Ringintegral aus und findest eine Spannung, die alleine durch das B-Feld des Systems verursacht wurde, denn das E-Feld, welches aufgrund der Lorentz-Transformation des homogenen, zeitlich konstanten B-Feldes zu sehen ist, ist immer konservativ und damit im Ringintegral 0. Wenn du irgendwo ein elektrisches Wirbelfeld bekommst, hast du etwas falsch gemacht, denn das würde $\dot B\neq 0$ bedeuten. Es ist aber vollkommen egal, in welchen Lorentz-Frame du boostest - B bleibt raumzeitlich homogen. \quoteoff Ich versteh zwar nicht was du mit konservativ in diesem Zusammenhang meinst, aber vxB * ds ist nicht unbedingt Null wenn v ungleich Null ist. Zudem scheinst du immer noch zu glauben, dass im 1. System in dem dort bewegten Leiter kein E-Feld vorherscht, so dass im transformierten System E' ~ vxB. Da irrst du aber, denn im 1. System existiert in dem bewegten Leiter, sowohl ein E als auch ein B-Feld, welche sich bei der Lorentztransformation ins Ruhsystem gerade so addieren, dass E'=0.


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Tirpitz
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  Beitrag No.28, eingetragen 2017-10-06

Hi! \quoteon Allerdings kann ich für ein explizit ausgewähltes Randsegment noch ein IS finden in dem es ruht. Und genau das habe ich getan. \quoteoff Ja, aber es ist für die Betrachtung vollkommen irrelevant, ob du so ein IS wählst oder ein anderes nimmst. Ich habe dir bereits gezeigt, dass du dadurch nur ein unterschiedliches, elektrisches Hintegrundfeld bekommst, das im Falle eines raumzeitlich homognen B-Feldes immer konservativ ist, d.h. $\oint\limits_\gamma E=0$. Es trägt zur Induktion in keinster Weise bei. Die Induktion in diesem Beispiel ist nicht auf die Wirkung elektrischer Felder zurückzuführen. \quoteon Der Bügel der sich in dem ersten System bewegt, ruht nun im Lorentztransformierten System. Da dort dU'=0 gelten muss (nur an diesem Leiterstück!) \quoteoff Das ist falsch. Du verwechselst hier scheinbar ganz fundamental eine induzierte Spannung mit einem Spannungsabfall. Es ist für die Betrachtung der Induktion erst einmal vollkommen egal, ob irgendwelche Ströme fließen (und damit Spannung abfällt), Fakt ist, dass, egal in welchem Bezugssystem du dich befindest, am einen Leiterstück eine Spannung $-\int\limits_\gamma E$, am anderen $+\int\limits_\gamma E$ anliegt (nicht abfällt). Es ist auch vollkommen egal, ob du Leiter hast oder die Elektronen durch ein Vakuum fliegen und durch eine Zwangsbedingung auf der Rechteck-Schleifenbahn gehalten werden. Was einzig zählt, ist die Existenz der Elektronen. \quoteon gilt auch dU=0 an genau diesem Leiterstück im 1. IS. \quoteoff Nein, denn in einem anderen IS hast du andere elektrische Felder. Invariant bleibt die Gesamtspannung aufgrund der inducer emf, denn die ist, wie bereits oben geschrieben, immer 0. Und damit für die Induktion irrelevant. \quoteon Zudem scheinst du immer noch zu glauben, dass im 1. System in dem dort bewegten Leiter kein E-Feld vorherscht \quoteoff Es gibt im Ruhesystem kein elektrisches Feld, nirgends. Wir geben die Felder in diesem System schließlich vor, nämlich $B=B_0\mathrm dx\wedge\mathrm dy$. Die Existenz eines (ungeladenen) Leiters, ob nun bewegt, relativ zum Ursprung, oder nicht, hat überhaupt keine Einfluss auf die Existenz eines elektrischen Feldes. Wenn du dich in ein System begibst, in dem der Leiter relativ zum Ursprung ruht, so hast du ein elektrisches Feld überall. Das hättest du aber auch ohne den Leiter. Woher soll das Feld also kommen? Es gibt nur 3 Möglichkeiten: Durch explizite Vorgabe (machen wir nicht), 2. Durch die Maxwellgleichen, also entweder die Anwesenheit von freien Ladungen bzw. ein zeitlich nicht konstantes B-Feld (haben wir nicht) oder 3. durch eine Lorentz-Trafo (hebt sich im geschlossenen Ringintegral vollständig auf, also irrelevant. Muss auch irrelevant sein). Versuche nicht, dir irgendein E-Feld aufgrund von Strömen in den Leitern zu basteln, die irgendwelche Kondensatoren aufladen - das Induktionsgesetz bedarf zu keiner Zeit ein ohmsches Gesetz oder irgendwelche Materialeigenschaften. So, jetzt habe ich endgültig genug zu dem Thema verfasst. Abschließend kann ich dich nur bitten, niemanden die Induktion anhand irgendwelcher Lorentz-Trafos zu erklären, weil es einfach Unsinn ist. Ich habe dir bereits vorgerechnet, wie man auf das experimentell bestätigte, richtige Ergebnis kommt.


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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-07

Das nennst du rechnen? Du hast dir da irgendwas zusammengefrickelt damit es mit deinem Ergebnis übereinstimmt! Rechnen nenn ich was anderes! Es wäre wirklich mal Zeit, dass hier jemand unabhängiges reine Luft macht. PS: Eine Frage nochmal bzgl. deiner Aussage mit den fliegenden Elektronen auf einer Bahn. Betrachtest du den (idealen!) Leiter geschlossen oder mit Klemmen? Bei deinen Elektronen kann ich mir nur sehr schwer Klemmen vorstellen, an denen die Spannung überhaupt anliegen kann...


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  Beitrag No.30, eingetragen 2017-10-07

\quoteon(2017-10-07 00:58 - digerdiga in Beitrag No. 29) Das nennst du rechnen? Du hast dir da irgendwas zusammengefrickelt damit es mit deinem Ergebnis übereinstimmt! Rechnen nenn ich was anderes! \quoteoff Vielen Dank für die Blumen. \quoteon Es wäre wirklich mal Zeit, dass hier jemand unabhängiges reine Luft macht. \quoteoff Ja, voll der miese Service hier. Wofür bezahlt man die eigentlich? Oh, wait. \quoteon PS: Eine Frage nochmal bzgl. deiner Aussage mit den fliegenden Elektronen auf einer Bahn. Betrachtest du den (idealen!) Leiter geschlossen oder mit Klemmen? \quoteoff Die elektromagnetische Induktion interessiert sich nicht dafür, ob irgendwelche Klemmen existieren. Klemmen sind rein ideell gewählte Punkte, zwischen denen du deine Spannung misst. Es sind die gewählten Grenzen im Wegintegral. \quoteoon Bei deinen Elektronen kann ich mir nur sehr schwer Klemmen vorstellen, an denen die Spannung überhaupt anliegen kann... \quoteoff Ja, weil du nicht verstanden hast, was der Unterschied zwischen elektrischer Spannung im Allgemeinen und dem Spannungsabfall in einem Stromkreis im Speziellen ist. Im freien elektromagnetischen Feld ohne Leiter und Klemmen gibt es nämlich auch elekrische Spannung. Für ein konservatives, elektrisches Feld ist die Spannung definiert als der Potentialunterschied, ganz allgemein ist die Spannung zwischen zwei Punkten A, B mit einem Weg $\gamma(0)=A$, $\gamma(1)=B$ definiert als $U(\gamma)=\int\limits_\gamma (E-\iota_vB)$.


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  Beitrag No.31, eingetragen 2017-10-07

\quoteon(2017-10-07 15:49 - Tirpitz in Beitrag No. 30) [...] ganz allgemein ist die Spannung zwischen zwei Punkten A, B mit einem Weg $\gamma(0)=A$, $\gamma(1)=B$ definiert als $U(\gamma)=\int\limits_\gamma (E-\iota_vB)$. \quoteoff Das, was man üblicherweise als Spannung zwischen zwei Punkten A und B bezeichnet, hängt nur von den beiden Punkten A und B ab. So eine Spannung kann man nicht für beliebige Situationen definieren, aber im Rahmen der quasistatischen Näherung (das ist der gleiche Rahmen, in dem man sich mit Stromkreisen im üblichen Sinne beschäftigt), ist es möglich. Wenn man sich beispielsweise die in Beitrag No. 8 skizzierten Leiterschleife anschaut, kann man die Klemmen auf der linken Seite (zwischen denen das Symbol $U_0$ eingezeichnet ist) als Punkte A und B wählen. Zwischen diesen Punkten existiert eine wohldefinierte Spannung, und diese Spannung kann man mit einem Voltmeter messen, das man mit den Klemmen A und B verbindet. Deine Spannungs-Definition hängt erstmal nicht nur von den beiden Punkten A und B ab, denn darin taucht auch noch eine Kurve $\gamma$ und ein Geschwindigkeitsfeld $v$ auf. Deine Aussage, dass die Spannung "ganz allgemein so definiert ist" scheint mir daher etwas irreführend zu sein. Grüße, dromedar


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\quoteon(2017-10-07 18:12 - dromedar in Beitrag No. 31) Das, was man üblicherweise als Spannung zwischen zwei Punkten A und B bezeichnet, hängt nur von den beiden Punkten A und B ab. So eine Spannung kann man nicht für beliebige Situationen definieren, aber im Rahmen der quasistatischen Näherung (das ist der gleiche Rahmen, in dem man sich mit Stromkreisen im üblichen Sinne beschäftigt), ist es möglich. \quoteoff Ein Definitionsstreit ist sicher nicht wirklich erkenntniserweiternd, aber diese Definition lehne ich ab, da sie nur für Potentialfelder anwendbar ist. In diesem Leiterschleife-Beispiel gibt es keine elektrischen Potentiale (bis auf Lorentz-Trafo, aber irrelevant). Trotzdem spricht man von induzierter Spannung. \quoteon(2017-10-07 18:12 - dromedar in Beitrag No. 31) Wenn man sich beispielsweise die in Beitrag No. 8 skizzierten Leiterschleife anschaut, kann man die Klemmen auf der linken Seite (zwischen denen das Symbol $U_0$ eingezeichnet ist) als Punkte A und B wählen. Zwischen diesen Punkten existiert eine wohldefinierte Spannung, und diese Spannung kann man mit einem Voltmeter messen, das man mit den Klemmen A und B verbindet. \quoteoff Nach deiner Definition von Spannung als wegunabhängige Potentialdifferenz ist das mitnichten wohldefiniert. Man kann (und sollte) hier nicht so tun, als hätte man es mit einem konservativen E-Feld zu tun. \quoteon(2017-10-07 18:12 - dromedar in Beitrag No. 31) Deine Spannungs-Definition hängt erstmal nicht nur von den beiden Punkten A und B ab, denn darin taucht auch noch eine Kurve $\gamma$ und ein Geschwindigkeitsfeld $v$ auf. Deine Aussage, dass die Spannung "ganz allgemein so definiert ist" scheint mir daher etwas irreführend zu sein. \quoteoff Irreführend ist höchstens deine Vorstellung davon, wie Spannung definiert ist. Dass die Spannung auch noch wegabhängig ist (die Abhängigkeit von Start- und Endpunkt ist in der Wegabhängigkeit eh inbegriffen), ist aber leider die Realität. Die induzierte Spannung wird mit effektivem Weg (im Sinne von "leistet einen endlichen Beitrag entlang des Wegintegrals") steigen, warum sonst wickelt man schließlich Spulen? Was findest du weniger irreführend? Auf der Definition von Spannung als reine Potentialdifferenz zu beharren und den Effekt der Induktion mit Begriffen wie "Induktionsspannung", "Ring-" bzw. "Umlaufspannung" (sollte ja immer Null sein nach dieser Definition) oder "elektromotorische Kraft" (würg) zu beschreiben? Die Amerikaner machen das so und fühlen sich mit dem Begriff der "electromotive force" wohl. Ich verwende den Begriff nur mit zugehaltener Nase, weil eben viele Menschen mit ihm wissen, was gemeint ist. Irreführend ist er trotzdem. Oder verallgemeinert man nicht lieber den Begriff der Spannung auf etwas, was im Falle konservativer Felder Potentialdifferenz ist, aber im allgemeinen Fall immer noch Gültigkeit behält: als duale Paarung von Feld und Weg, also als Wegintegral. Und weil Definitions-Streitigkeit wohl die einzige Art von Diskussion sind, wo Autoritätsargumente was zählen, hier mal die Definition von Wikipedia (deutsch): $U=\int\limits_\gamma E$ \quoteon Diese Spannungsdefinition gilt für alle elektrischen Felder, also sowohl für Wirbelfelder wie für wirbelfreie (Potential-)Felder. Bei Wirbelfeldern hängt die Spannung ${\displaystyle U_{\mathrm {AB} }$ im Allgemeinen vom Weg ab. \quoteoff Hier gestehen sie der Spannung immerhin schon Wegabhängigkeit zu, also der "transformer emf"-Anteil. Leider fehlt der "motional emf"-Teil. In vielen anderen Quellen, vor allem auf Schulniveau (dort, wo die Allermeisten zum ersten mal mit dem Begriff der Spannung Bekanntschaft machen) wird nur von Potentialunterschieden gesprochen. Auch in den Unis macht man das noch: http://www.tp4.ruhr-uni-bochum.de/vorlesungsskripte/edynV3.pdf \quoteon [...], wobei die Potentialdifferenz als Spannung bezeichnet wird. [...] \quoteoff Später: \quoteon 3. Experimentelle Fundamentalgesetz (Induktionsgesetz, Faraday-Gesetz): Die totale zeitliche Änderung des magnetischen Flusses erzeugt eine induzierte elektrische Randspannung U \quoteoff Das nennt der Dozent jetzt eben "Randspannung", obwohl es mit seiner Spannungsdefinition nichts zu tun hat. Die TU Dresden ist schon besser: https://www.physik.tu-dresden.de/~timm/personal/teaching/ed_w16/Elektrodynamik.pdf \quoteon $\mathcal E$ heißt elektromotorische Kraft. Diese Bezeichnung ist irreführend, da $\mathcal E$ schon einheitenmäßig keine Kraft ist, sondern eine Verallgemeinerung der Potentialdifferenz (Spannung) auf den Fall nicht konservativer Kräfte. Einleuchtendere Bezeichnungen für $\mathcal E$ sind Ringspannung und Umlaufspannung \quoteoff Leider sind die vorgeschlagenen Begriffe eben auch irreführend, weil sie suggerieren, man müsse immer um einen geschlossenen Weg integrieren. Wenn du willst, kannst du ja selber noch etwas recherchieren. Es ist mit dem Begriff der Spannung, wie so vieles in der Physik, alles verdammt veraltet und vom Ingenieurs-Sprech verunreinigt. Die Physikdidaktik macht da keinen guten Job, aber das ist man ja gewohnt. Elektrodynamik wird mit dem 150 Jahre alten Vektorkalkül unterrichtet, obwohl es in vielen Fällen unexakt und in den schlimmsten Fällen einfach nur falsch ist und Geometrieabhängigkeit suggeriert, wo keine ist. Aber durch diese verwirrende Auffassung von Spannung gibt es diese vollkommen verqueren Verständnisse von Induktion mit irgendwelchen Lorentz-Transformationen und Verwechselungen mit dem Spannungsabfall.


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dromedar
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  Beitrag No.33, eingetragen 2017-10-07

\quoteon(2017-10-07 19:09 - Tirpitz in Beitrag No. 32) In diesem Leiterschleife-Beispiel gibt es keine elektrischen Potentiale [...] \quoteoff Trotzdem gibt es eine wohldefinierte Spannung zwischen den Punkten A und B, die nicht von Kurven oder sonstwas abhängt. \quoteon(2017-10-07 19:09 - Tirpitz in Beitrag No. 32) Nach deiner Definition von Spannung als wegunabhängige Potentialdifferenz ist das mitnichten wohldefiniert. Man kann (und sollte) hier nicht so tun, als hätte man es mit einem konservativen E-Feld zu tun. \quoteoff Wenn wir uns wieder die Klemmen der Leiterschleife anschauen, dann liegen diese Klemmen in einem Gebiet, in dem das E-Feld konservativ ist. Mann kann also die Spannung ohne Probleme als ein Kurvenintegral definieren, dessen Wert nicht von der gewählten Kurve abhängt. Und das ist auch das Vorgehen für kompliziertere Situationen: Dort mag es zwar Gebiete geben, in denen B-Felder wüten und für eine nichtverschwindende Rotation des E-Felds sorgen, aber für die außerhalb dieser Gebiete liegenden Klemmen hat man bei einer kurvenunabhängigen Definition einer Spannung keine Probleme. Damit ist dann die Spannung zwischen Klemmen aber erstmal nur sauber definiert. Um diese Spannung aber wirklich auszurechnen, muss man die konservative Wohlfühlzone zwischen den Klemmen verlassen und sich möglicherweise auch mit nicht konservativen E-Felder herumschlagen. Diesen wesentlichen Unterschied zwischen der Definition und der konkreten Berechnung der Klemmenspannung sollte man nicht ignorieren. Schauen wir uns als Beispiel mal die Berechnung der Klemmenspannung bei unserer Leiterschleife an. Dazu betrachten wir die geschlossene Kurve 1. untere Klemme B zu oberer Klemme A 2. obere Klemme A längs des unbeweglichen oberen Leiters bis zum Auflagepunkt des beweglichen vertikalen Leiters 3. oberer Auflagepunkt bis unterer Auflagepunkt des vertikalen Leiters 4. unterer Auflagepunkt des vertikalen Leiters längs des unbeweglichen unteren Leiters bis zur unteren Klemme B Für drei der vier Kurvenstücke können wir die Beiträge zu einem Kurvenintegral über das E-Feld sofort hinschreiben: 1. $U_{AB}$ nach Definition der Klemmspannung. 2. 0, da idealer ruhender Leiter. 4. 0, da idealer ruhender Leiter. Für das 3. Kurvenstück muss man sich mit einem idealen bewegten Leiter beschäftigen. Dafür verwende ich die (schon von digerdiga vorgeschlagene) Transformation ins Ruhesystem des vertikalen Leiters. * Hier gilt: Das E-Feld im inneren des Leiters verschwindet. * Wenn man diese Aussage zurück ins Laborsystem transformiert, erhält man: Im vertikalen Leiter ist $E+v\times B=0$. Als Beitrag zum Integral ergibt sich daher: 3. $LvB$ Das Integral über die gesamte geschlossene Kurve ergibt 0, da die Zeitableitung des eingeschlossenen magnetischen Flusses verschwindet. Daher haben wir das Ergebnis $U_{AB}=-LvB$. \quoteon(2017-10-07 19:09 - Tirpitz in Beitrag No. 32) Dass die Spannung auch noch wegabhängig ist (die Abhängigkeit von Start- und Endpunkt ist in der Wegabhängigkeit eh inbegriffen), ist aber leider die Realität. \quoteoff Siehe oben: Aber nicht, solange man sich nur die Klemmen anschaut. \quoteon(2017-10-07 19:09 - Tirpitz in Beitrag No. 32) Die induzierte Spannung wird mit effektivem Weg (im Sinne von "leistet einen endlichen Beitrag entlang des Wegintegrals") steigen, warum sonst wickelt man schließlich Spulen? \quoteoff Siehe oben: Unterschied zwischen Definition und Berechnung. \quoteon(2017-10-07 19:09 - Tirpitz in Beitrag No. 32) Es ist mit dem Begriff der Spannung, wie so vieles in der Physik, alles verdammt veraltet und vom Ingenieurs-Sprech verunreinigt. \quoteoff Der einzige Punkt, der mir wichtig ist und der mich zu Beitrag No. 31 veranlasst hat: Solange man sich auf Spannungen beschränkt, die man wirklich messen kann (d.h. also auf Klemmspannungen) gibt es bei der Definition der Spannung keine Probleme. (Da Du oben Feynman zitiert hast: Die Trennung "kompliziert im Inneren, einfach an den Klemmen" findest Du auch im Kapitel "AC Circuits" der Feynman Lectures.)


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  Beitrag No.34, eingetragen 2017-10-08

\quoteon(2017-10-07 18:12 - dromedar in Beitrag No. 31) Wenn man sich beispielsweise die in Beitrag No. 8 skizzierten Leiterschleife anschaut, kann man die Klemmen auf der linken Seite (zwischen denen das Symbol $U_0$ eingezeichnet ist) als Punkte A und B wählen. Zwischen diesen Punkten existiert eine wohldefinierte Spannung, und diese Spannung kann man mit einem Voltmeter messen, das man mit den Klemmen A und B verbindet. Deine Spannungs-Definition hängt erstmal nicht nur von den beiden Punkten A und B ab, denn darin taucht auch noch eine Kurve $\gamma$ und ein Geschwindigkeitsfeld $v$ auf. \quoteoff Aber die von dem Voltmeter gemessene Spannung hängt ja eben auch nicht nur von A und B ab, sondern davon, was mit dem gegenüberliegenden Leitersegment passiert. Deswegen verstehe ich nicht, welche Relevanz es haben soll, daß das E-Feld um das Voltmeter herum konservativ ist. Die eigentliche Frage lautet doch, woher wir wissen, was das Voltmeter anzeigt. Sollten wir dafür nicht eine Definition von "Spannung" verwenden, die womöglich in allen Situationen genau diesen Wert ergibt?


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  Beitrag No.35, eingetragen 2017-10-08

dromedar, fang du doch bitte nicht auch noch damit an... \quoteon Trotzdem gibt es eine wohldefinierte Spannung zwischen den Punkten A und B, die nicht von Kurven oder sonstwas abhängt. \quoteoff Aber natürlich hängt deine gemessene Induktionsspannung von der Kurve sowie der Geschwindigkeit des Leiters ab. Willst du mir weißmachen, dass es für die gemessene Spannung egal ist, ob du die Klemmen an diese Einfach-gewickelte Rechteck-Schleife oder eine lange Spule hälst? Oder dass es egal ist, wie schnell du den Leiter bewegst? \quoteon Wenn wir uns wieder die Klemmen der Leiterschleife anschauen, dann liegen diese Klemmen in einem Gebiet, in dem das E-Feld konservativ ist. \quoteoff Mir ist schon klar, dass du am Ende immer sagen kannst: Es gibt eine Spannung U, egal, aus welchem Zauber-Apparat sie kommt. Also kann ich immer so tun, als ob es ein effektives konservatives E-Feld gäbe, sodass $U=\int\limits_a^b E_\text{eff}$. Aber damit hast du doch die Induktion nicht erklärt. Und der Versuch, es über Lorentz-Transformationen trotzdem zu schaffen, ist falsch. Die elektrische Spannung ist nicht einmal eine lorentz-invariante Größe. Sie kann es auch nicht sein, da sie, als Wegintegral ausgedrückt, über die Lorentzkraft definiert wird. (Dreier-)Kraft transformiert aber gemäß $F\to F'=\gamma F$, denn Newton #2 lautet $F=\frac{\mathrm d(m\gamma v)}{\mathrm dt}$. Die Bewegungsgleichungen sind deshalb auch wieder invariant, nicht aber die Kraft (oder Spannung). \quoteon Für das 3. Kurvenstück muss man sich mit einem idealen bewegten Leiter beschäftigen. Dafür verwende ich die (schon von digerdiga vorgeschlagene) Transformation ins Ruhesystem des vertikalen Leiters. \quoteoff Okay. In diesem transformierten System haben wir jetzt die Felder: $B'=\gamma B$ und $E'=\iota_v B'$, denn das E'-Feld resultiert rein aus der Transformation des externen B-Feldes $B=B_0\mathrdm dx\wedge\mathrm dy$. Jetzt gibst du aber vor, dass $E'=0$ in deinem (hier ruhenden) Leiterbügel gilt, weshalb, aus welchen ominösen Gründen auch immer, im Ruhesystem innerhalb des (hier sich bewegenden) Leiterbügels ein elektrisches Feld von $E=\iota_v B$ existieren muss, entgegen der Voraussetzung. Eine Längenkontraktion, die zu einer Ladungsdichte größer 0 führt, kann dafür nicht verantwortlich sein, da das Leiterstück senkrecht zur Bewegungsrichtung steht. Deine Festlegung ist vollkommen willkürlich. Und sie macht merkwürdigerweise vor dem anderen, in y-Richtung zeigenden Leiterstück halt, wo sich die Klemmen befinden. Dort soll im mitbewegten System selbstverständlich $E'=\iota_v B'$ gelten, damit im Ruhesystem dort $E=0$ gilt und dir keinen Beitrag zum Wegintegral gibt. Siehst du hier nicht die Willkür? Du kannst nicht einfach so Teile des E-Feldes lorentz-transformieren wo es dir gerade passt, damit das richtige Ergebnis herauskommt. Entweder ganz, also überall, oder garnicht. \quoteon Das Integral über die gesamte geschlossene Kurve ergibt 0, da die Zeitableitung des eingeschlossenen magnetischen Flusses verschwindet. \quoteoff Was? Du vergrößerst doch die ganze Zeit die von B durchflossene Fläche, ohne dabei die Stärke von B zu variieren und zwar in beiden Bezugssystemen. Die Zeitableitung des Flusses ist nicht 0, ich habe weiter oben doch sogar ausgerechnet, wie man aus der Zeitableitung die korrekte Spannung erhält.


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  Beitrag No.36, eingetragen 2017-10-08

\quoteon(2017-10-07 19:09 - Tirpitz in Beitrag No. 32) \quoteon(2017-10-07 18:12 - dromedar in Beitrag No. 31) Wenn man sich beispielsweise die in Beitrag No. 8 skizzierten Leiterschleife anschaut, kann man die Klemmen auf der linken Seite (zwischen denen das Symbol $U_0$ eingezeichnet ist) als Punkte A und B wählen. Zwischen diesen Punkten existiert eine wohldefinierte Spannung, und diese Spannung kann man mit einem Voltmeter messen, das man mit den Klemmen A und B verbindet. \quoteoff Nach deiner Definition von Spannung als wegunabhängige Potentialdifferenz ist das mitnichten wohldefiniert. Man kann (und sollte) hier nicht so tun, als hätte man es mit einem konservativen E-Feld zu tun. \quoteoff Moment, reden wir hier nicht über die Situation, daß im gesamten betrachteten Gebiet $dE = -\partial_t B = 0$? Damit haben wir doch ein konservatives Feld. Der Punkt ist doch eher der, daß die zugehörige Potentiadifferenz zwischen den beiden Klemmen null ist und nichts mit der tatsächlich angezeigten Spannung zu tun hat, oder nicht?


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  Beitrag No.37, eingetragen 2017-10-08

\quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) Aber natürlich hängt deine gemessene Induktionsspannung von der Kurve sowie der Geschwindigkeit des Leiters ab. Willst du mir weißmachen, dass es für die gemessene Spannung egal ist, ob du die Klemmen an diese Einfach-gewickelte Rechteck-Schleife oder eine lange Spule hälst? Oder dass es egal ist, wie schnell du den Leiter bewegst? \quoteoff Du vermischt wieder Definition und Berechnung der Spannung. Um zu definieren, was die Spannung zwischen den Klemmen ist, spielt all das, was Du aufzählst, keine Rolle. \quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) Aber damit hast du doch die Induktion nicht erklärt. \quoteoff Ich will nicht "die Induktion erklären". Ich will nur eine saubere Definition des Begriffes Spannung. \quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) Und der Versuch, es über Lorentz-Transformationen trotzdem zu schaffen, ist falsch. Die elektrische Spannung ist nicht einmal eine lorentz-invariante Größe. \quoteoff Ich transformiere nirgendwo eine Spannung und nehme erst recht nicht an, dass die Spannung ein Lorentz-Skalar ist. Meine Überlegung ist die Folgende: 1. Ich weiß, dass ein idealer Leiter in seinem Ruhesystem die Eigenschaft hat, dass das E-Feld in seinem Inneren verschwindet. 2. Ich möchte wissen, was die entsprechende Eigenschaft eines bewegten Leiters ist. Dazu begebe ich mich in dessen Ruhesystem. Dort gilt, wie wir ja schon wissen, $E'=0$ (ich bezeichne Größen im Ruhesystem mit einem Strich). 3. Diese Gleichung transformiere ich zurück ins Laborsystem (dabei transformiere ich E- und B-Felder, aber keine Spannung) und erhalte $E+v\times B=0$. Das ist die gesuchte Materialgleichung eines bewegten idealen Leiters. Kannst Du mir sagen, was Du an dieser Überlegung nicht verstehst bzw. was für Dich daran falsch aussieht? Du hast ja schon ein paar Punkte angesprochen, auf die ich gleich eingehen möchte: \quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) In diesem transformierten System haben wir jetzt die Felder: $B'=\gamma B$ und $E'=\iota_v B'$, denn das E'-Feld resultiert rein aus der Transformation des externen B-Feldes $B=B_0\mathrdm dx\wedge\mathrm dy$. \quoteoff Ich erhalte $E'=\gamma(E+v\times B)$. \quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) Jetzt gibst du aber vor, dass $E'=0$ in deinem (hier ruhenden) Leiterbügel gilt, weshalb, aus welchen ominösen Gründen auch immer, im Ruhesystem innerhalb des (hier sich bewegenden) Leiterbügels ein elektrisches Feld von $E=\iota_v B$ existieren muss, entgegen der Voraussetzung. \quoteoff Was Du "ominösen Gründe" nennst, ist eine der wesentlichen Eigenschaften eines ruhenden idealen Leiters: In seinem Inneren verschwindet das E-Feld. Willst Du diese Ausage ernsthaft bestreiten? \quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) Deine Festlegung ist vollkommen willkürlich. Und sie macht merkwürdigerweise vor dem anderen, in y-Richtung zeigenden Leiterstück halt, wo sich die Klemmen befinden. Dort soll im mitbewegten System selbstverständlich $E'=\iota_v B'$ gelten, damit im Ruhesystem dort $E=0$ gilt und dir keinen Beitrag zum Wegintegral gibt. \quoteoff Wie oben schon gesagt: Ich berechne in dem mitbewegten System kein Wegintegral. Ich schaue mir dort nur das ruhende Leiterstück an und transformiere dessen Materialgleichung $E'=0$ zurück ins Laborsystem und erhalte $E+v\times B=0$. \quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) Siehst du hier nicht die Willkür? Du kannst nicht einfach so Teile des E-Feldes lorentz-transformieren wo es dir gerade passt, damit das richtige Ergebnis herauskommt. Entweder ganz, also überall, oder garnicht. \quoteoff Wie oben schon gesagt: Ich berechne in dem mitbewegten System kein Wegintegral. \quoteon(2017-10-08 10:45 - Tirpitz in Beitrag No. 35) Was? Du vergrößerst doch die ganze Zeit die von B durchflossene Fläche, ohne dabei die Stärke von B zu variieren und zwar in beiden Bezugssystemen. Die Zeitableitung des Flusses ist nicht 0, ich habe weiter oben doch sogar ausgerechnet, wie man aus der Zeitableitung die korrekte Spannung erhält. \quoteoff Ich verwende die Maxwell-Gleichung $\displaystyle \ointop_{\gamma(t)} E\;{\rm d}s=- \intop_{\rm von\,\gamma(t)\,umrandete\;Fläche} {\partial B\over\partial t}\;{\rm d}A$ . Das Integral auf der rechten Seite verschwindet, weil ${\partial B\over\partial t}=0$ ist. Es spielt dabei überhaupt keine Rolle, dass wegen der Zeitabhängigkeit von $\gamma(t)$ $\displaystyle {{\rm d}\over{\rm d}t}\; \intop_{\rm von\,\gamma(t)\,umrandete\;Fläche} {\partial B\over\partial t}\;{\rm d}A\ne0$ ist.


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  Beitrag No.38, eingetragen 2017-10-08

Hi! \quoteon(2017-10-08 11:50 - index_razor in Beitrag No. 36) Moment, reden wir hier nicht über die Situation, daß im gesamten betrachteten Gebiet $dE = -\partial_t B = 0$? \quoteoff Da hast du Recht, aber man hat immer noch die Eichfreiheit $E=E_\text{konservativ}+\mathrm d\Psi$. Es steht mir frei, $\mathrm d\Psi=E_\text{konservativ}$ zu wählen und zu sagen, es gibt (im Ruhesystem) keine elektrischen Felder. Hätten wir noch irgendeine andere Maxwell-Gleichung, die uns die Existenz eines elektrischen Feldes aufzwingen würde, etwa $\rho=\mathrm d\epsilon_0\star E$, sähe die Sache sicher anders aus. Das einzige konservative elektrische Feld, was in digerdiga's Argumentation auftaucht, resultiert aus der Lorentz-Transformation, was hier auch einfach einer anderen Eichung $\Psi$ entspricht. \quoteon(2017-10-08 11:50 - index_razor in Beitrag No. 36) Damit haben wir doch ein konservatives Feld. Der Punkt ist doch eher der, daß die zugehörige Potentiadifferenz zwischen den beiden Klemmen null ist und nichts mit der tatsächlich angezeigten Spannung zu tun hat, oder nicht? \quoteoff Ja, da stimme ich dir zu. Im Ruhesystem sollte im bewegten Bügel eine Spannung $-vB_0L$ anfallen, aufgrund der Lorentzkraft/motional emf. Im mitbewegten System ist der Bügel in Ruhe und das Leiterstück, an dem die Klemmen sind, bewegt, sodass dort $\iota_vB'\neq 0$. Aber weil es jetzt ein elektrisches Feld $E'=\iota_v B'$ gibt, ist die Spannung dort (wieder) Null. Auf der Bügelseite wirkt jetzt nur noch das konservative $E'=\iota_v B'=\gamma\iota_v B$, die induzierte Spannung ist daher $-\gamma vB_0L$. Das ist nicht die Ruhespannung, Spannung ist nicht lorentzinvariant. Die am Ende von einem Messgerät angezeigte Spannung benötigt immer einen, wenn auch durch den Innenwiderstand sehr kleinen, Strom. Dass die angezeigte Spannung am Ende in beiden Inertialsystemen identisch ist, liegt daran, dass der induzierte Strom am Ende dem Newton'schen Gesetz gehorcht (im Sinne von $F=\dot p$, wobei $p=\gamma mv$), und das ist wiederum lorentz-invariant, also auch die Bewegungsfunktion der Elektronen, also auch der resultierende Strom. Das ohm'sche Gesetz ist mit der Newton'schen Bewegungsgleichung über das Drude-Modell verbunden. All das ist aber für die Erklärung der Induktion nicht sonderlich hilfreich, es macht alles nur komplizierter. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.36 begonnen.]


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Hi! \quoteon(2017-10-08 12:17 - dromedar in Beitrag No. 37) Du vermischt wieder Definition und Berechnung der Spannung. Um zu definieren, was die Spannung zwischen den Klemmen ist, spielt all das, was Du aufzählst, keine Rolle. \quoteoff Eine Definition, die keine Rechenvorschrift ist, ist keine Definition, sondern Axiom. Wo ist es mathematisch konsistent, eine Größe mathematisch wie A zu definieren, aber dann wie B berechnen zu müssen? \quoteon(2017-10-08 12:17 - dromedar in Beitrag No. 37) Meine Überlegung ist die Folgende: 1. Ich weiß, dass ein idealer Leiter in seinem Ruhesystem die Eigenschaft hat, dass das E-Feld in seinem Inneren verschwindet. 2. Ich möchte wissen, was die entsprechende Eigenschaft eines bewegten Leiters ist. Dazu begebe ich mich in dessen Ruhesystem. Dort gilt, wie wir ja schon wissen, $E'=0$ (ich bezeichne Größen im Ruhesystem mit einem Strich). 3. Diese Gleichung transformiere ich zurück ins Laborsystem (dabei transformiere ich E- und B-Felder, aber keine Spannung) und erhalte $E+v\times B=0$. Das ist die gesuchte Materialgleichung eines bewegten idealen Leiters. Kannst Du mir sagen, was Du an dieser Überlegung nicht verstehst bzw. was für Dich daran falsch aussieht? \quoteoff Was du also sagst, ist: Wir haben ein externes Feld $B_\text{ext}=B_0\mathrm dx\wedge\mathrm dy$ und $E_\text{ext}=0$. Im mitbewegten System liegt dann $B'_\text{ext}=\gamma B_\text{ext}$ und $E'_\text{ext}=\iota_v B'_\text{ext}$ vor. Weil du aber dort einen Leiter hast, legst du fest, dass dort $E'=0$ gelten soll. Es muss also innerhalb des Leiters ein Gegenfeld $E'_\text{gegen}$ aufgrund der Anordnung der Elektronen geben, sodass $0=E'=E'_\text{ext}-E'_\text{gegen}$, also $E'_\text{gegen}=\iota_v B'_\text{ext}$. Entspricht das soweit deiner Argumentation? Um jetzt $E$ im bewegten Leiter zu bekommen, muss lorentz-transformiert werden. Für die Rücktransformation gilt: $B=\frac{1}{\gamma} B'$, da $E'=0$ und $E=-\gamma\iota_v B'=-\gamma^2\iota_v B$, also $E=-\gamma^2 vB_0\mathrm dx$. Selbst, wenn du jetzt sagst, dass für $v\ll c\rightarrow \gamma\approx 1$, so ist diese Herleitung der induzierten Spannung nicht exakt und im Grunde einfach nur falsch. Meine Herleitung ist hingegen exakt. Wenn man im Internet recherchiert, findet man diese Herleitung über Lorentz-Trafos in verschiedenen Büchern. Aber überall wird erwähnt, dass das eigentlich nur nicht-relativistisch gilt, etwa hier. All diese Verrenkungen, um einen kaputten Begriff von Spannung zu retten? Hier noch die Lorentz-Transformationen für eine Bewegung in y-Richtung: $E'_x=\gamma(E_x+vB_z), E'_y=E_y, E'_z=\gamma(E_z-vB_x)$ und $B'_x=\gamma(B_x-\frac{v}{c^2}E_z), B'_y=B_y, B'_z=\gamma(B_z+\frac{v}{c^2}E_x)$. Die Rücktransformationen vertauschen + mit - und gestrichene mit ungestrichenen Größen.


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