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Mathematik » Differentialgleichungen » Nicht minimierendes Funktional
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Universität/Hochschule J Nicht minimierendes Funktional
automorphismus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-17


Hallo,

ich möchte gerne zeigen, dass das Funktional

<math>G(f)=\int_0^1 ((f"(x)^2-1)^2+f(x)^2)dx</math>

kein Infimum auf <math>C^1((0,1))</math>

annimmt.

Ich hatte bisher zwei Ideen:

1.) Berechne <math>G(f+\phi)-G(f)</math> und zeige, dass dies kleiner <math>0</math> ist, d.h. es gibt für jedes <math>f</math> eine Variation die kleiner ist. <math>\phi\in C^1_c((0,1))</math>

2.) Berechne die Ableitung <math>\frac{d}{dt}G(f+t\phi)|_{t=0}</math> und zeige, dass dies ungleich <math>0</math> ist.

Würde gerne wissen, ob ich an einem Ansatz weiter arbeiten sollte. Würde mich natürlich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!

Viele Grüße,
automorphismus



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-17


Fäält die Aufgabe vom Himmel oder gehört die zu einer Vorlesung?

Das sieht irgendwie nach Euler-Lagrange-Gleichung aus,

Wally



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-10-17


Hi!

Also dein Weg Nr. 2 wird vermutlich nicht klappen, da das Funktional, so wie es mir scheint, die notwendige Bedingung für ein lokales Minimum erfüllt: Picard-Lindelöff wird wohl bestätigen, dass die Euler-Lagrange-Gleichung <math>2f"(x)(f"(x)-1)-f(x)=0</math> eine Lösung auf <math>C^1((0,1))</math> hat, nur ist die, laut WolframAlpha, alles andere als schön zum Rechnen. :(

Der naive Ansatz bleibt also, zu zeigen, dass die zweite Variation <math>\delta^2 G\bigg |_{f^*}(\eta)\le 0\quad\forall \eta</math>, wobei <math>f^*(x)</math> die Nullstelle der ersten Variation ist und <math>\eta</math> die Randbedingungen erfüllt. Die zweite Variation dieses Funktionals kann man allgemein auch noch ausrechnen:

<math>\delta^2 G\bigg |_{f}(\eta)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} \bigg|_{t=0}G(f+t\eta)=4\int\limits_0^1\mathrm dx \left((2(f"(x)\eta"(x))^2+f(x)\eta(x)^2)+(f"(x)-1)f"(x)\eta"(x)^2 \right)</math>
(ohne Gewähr)

In den Spaß aber jetzt f* einzusetzen wird ziemlich unübersichtlich. Es ist schon schwer, überhaupt einen algebraisch geschlossenen Ausdruck für die Integrationskonstanten zu bekommen, weil die Lösung aus Lambert-W's besteht. Das dann analytisch zu integrieren kann man dann erst recht vergessen. :(
Vielleicht kennt jemand einen netten Trick, der einem das explizite Rechnen erspart?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-18


Hallo,
ich glaube eher, dass es hier sehr konkret um dieses spezielle Beispiel geht und Du überlegen solltest, wie eine Funktion aussieht, die einen kleinen Wert liefert.

Viele Grüße,
haerter


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 - Linus Pauling



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-10-18


2017-10-18 06:13 - haerter in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,
ich glaube eher, dass es hier sehr konkret um dieses spezielle Beispiel geht und Du überlegen solltest, wie eine Funktion aussieht, die einen kleinen Wert liefert.

Hi!

Genau das habe ich in meinem Post ja probiert. Die Extremstelle des gegebenen Funktionals suchen, um dann anhand eines gewählten <math>\eta</math> zu zeigen, dass die zweite Variation kleinergleich 0 ist (kein Minimum).



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Härter hat schon Recht - gar keine Extremstelle suchen, aber für jedes <math>\varepsilon>0</math> eine Funktion <math>f</math> angeben mit <math>G(f)<\varepsilon</math>.

Ich würde zunächst nach einer stetigen, stückweise differenzierbaren Funktion mit dieser Eigenschaft suchen und die dann entsprechend abwandeln.

Wally
\(\endgroup\)


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automorphismus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-18


Ok, also ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht und glaube eine Funktion gefunden zu haben:

Man nimmt eine Dreiecksfunktion

Dann hebt sich auf jedenfall schonmal die Ableitung mit der 1 weg.

Nun möchte ich solche Dreiecke über das Intervall iterieren. Da die Steigung  im Betrag stets 1 bleiben soll, schrumpft der erste Summand und auch Das Integral über das Quadrat dieser Funktion müsste schrumpfen.

Ein Problem ist noch, dass die Funktion ja nicht <math>C^1</math> ist sondern nur stückweise stetig?

Mittels Fouriertransformation sollte sich diese aber doch beliebig genau annähern lassen? D.h. für ein epsilon wählt man erst die Iteration klein genug und lässt anschließend diese Funktion mittels Fouriertransformation beliebig genau approximieren.

Was sagt ihr dazu?



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automorphismus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-18


Sei <math>n\in 2 \mathbb{N}</math>.

Definiere <math>f_n:(0,1)\longrightarrow \mathbb{R}</math> durch

<math>f_n(x):=\begin{cases}
x-\frac{k}{n} & \text{ falls } x\in(\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}] \text{ und } k\in 2 \mathbb{N}\cap\{1,\ldots, n-2\}\\
-(x-\frac{k}{n}) & \text{ falls } x\in(\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}] \text{ und } k\in  2 \mathbb{N}-1\cap\{1,\ldots, n\}
\end{cases}</math>

(Mal unter Annahme, dass <math>u</math> am Punkt <math>1</math> definiert ist. Man passe die Definition entsprechend an oder man denke an die Einschränkung <math>f_n|_{(0,1)}</math>.  😁 )

Das würde ich jetzt gerne in "glatt" haben.  😄



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automorphismus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-18


Gibt's nicht irgendeinen Satz, der besagt, dass jede stetige, stückweise differenzierbare Funktion eine Fourierentwicklung hat, die sich beliebig dieser Funktion annähert?  😄

Könnte man dann nicht den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und schließen, dass das Integral gleich dem Integral über die stückweise diffbaren Funktion ist?



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-18


Hi,
naja, es gibt sogenannte 'Mollifier' = Weichmacher. Mir schwebt vor, dass die auch "Glättungskerne" heißen. Du kennst evtl. das Beispiel von den Taylorreihen her, dass sowohl die konstante Nullfunktion als auch

<math>f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x}\right)\text{ fr } x>0, \text{sonst }0</math>

in 0 unendlich oft differenzierbar sind mit allen Ableitungen 0. Daraus kann man sich jetzt was basteln, indem man setzt

<math>g(x) = \exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)</math>

für x zwischen 1 und -1, sonst 0. Mit a^2-x^2 statt 1-x^2 kann man das Ding von -a bis a laufen lassen. Meistens wird in der Definition verlangt, dass das Integral darüber gleich Eins sein soll, dann muss man noch entsprechende Korrekturfaktoren einfügen.
Durch weitere Manipulationen mit Konstanten kann man solche Teile so an die Undifferenzierbarkeitsstellen einfügen, dass plötzlich eine unendlich oft differenzierbare Funktion besteht, mit Abweichung kleiner als (jedem beliebigen) epsilon.

Hoffe das stimmt alles so, habe mit diesem Thema noch nicht allzu lange zu tun und muss mich noch etwas reinarbeiten...

Grüße,
sibelius84



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automorphismus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-18


Ok, ich glaube einen Satz gefunden zu haben:




Quelle: Otto Forster, Analysis 1, S.321, Auflage 12:

Es sei <math>f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{C}</math> eine stetige periodische Funktion, die stückweise stetig differenzierbar ist, d.h. es gebe eine Unterteilung

<math>0=t_0<t_1<\ldots<t_r=2\pi</math>

von <math>[0,2\pi]</math>, so dass <math>f|_{[t_{k-1},t_{k}]}</math> für <math>k=1,\ldots, r</math> stetig differenzierbar ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von <math>f</math> gleichmäßig gegen <math>f</math>.




Das Intervall <math>[0,2\pi]</math> kommt wohl daher, dass bei der Fourierentwicklung der Faktor <math>2\pi</math> meistens nicht im Exponenten der Exponentialfunktion steht. Schreibt man diese dort hinein sollte sich das Intervall auf <math>[0,1]</math> zurückziehen?



Zur Aufgabe:

Nun hätte man also einen Satz mit dem man eine differenzierbare Funktion erhält die gleichmäßig stetig gegen die oben konstruierte Funktion konvergiert.

Eine Majorante ist natürlich sehr leicht anzugeben, z.B. eine konstante Funktion. Alle diese Funktionen sind, da stetig, Borel-messbar und die Fourier-Reihe konvergiert Lebesguemaß-fast überall gegen die oben konstruierte Funktion. Mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz hat ist dann das Integral gleich.

Jetzt muss man nur noch das Integral berechnen, aber das ist wohl leicht. Der erste Summand fällt weg. Beim zweiten Summand wird man kleiner gleich <math>\frac{1}{n^2}</math>.

Jetzt fehlt noch die Eigenschaft, dass kein Minimierer existiert?

Offensichtlich konvergiert <math>f_n</math> gegen die Nullfunktion. Die Nullfunktion eingesetzt in das Integral der Aufgabenstellung ergibt jedoch <math>1</math>. Hat das was damit zu tun?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-10-18


Hallo automorphismus,

2017-10-18 21:37 - automorphismus in Beitrag No. 8 schreibt:
Gibt's nicht irgendeinen Satz, der besagt, dass jede stetige, stückweise differenzierbare Funktion eine Fourierentwicklung hat, die sich beliebig dieser Funktion annähert?  :-)

Könnte man dann nicht den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und schließen, dass das Integral gleich dem Integral über die stückweise diffbaren Funktion ist?

Das ist ein Ansatz, der funktionieren sollte, aber ich bin mir nicht so sicher, wieviel Glattheit man braucht. Für die gleichmäßige Konvergenz braucht man vermutlich so etwas wie stückweise <math>C^2</math> und für die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen dann noch mehr. Die Glattheit wirkt sich ja auf das Abklingverhalten der Fourierkoefizienten aus und dieses wiederum auf die Konvergenz der (abgeleiteten) Reihe.
Vielleicht weiß das jemand aus dem Stegreif, ansonsten kannst Du es bestimmt recherchieren.

Viele Grüße,
haerter

P.S.: Noch ein Kommentar zu einem anderen möglichen Lösungsweg:
Viele Profis (Leute, die über partielle DGL o.ä. forschen) würden wohl Dein Beispiel aus Beitrag No.7 nehmen und sagen "und das kann man dann glätten, ohne dass sich G dabei sehr vergrößert". Sie würden aber sehr wahrscheinlich keine explizite Funktionenfolge hinschreiben. Allenfalls würden sie abschätzen, auf welchen (sehr kleinen) Intervallen man Deine Funktionen (ich nenne sie mal <math>f_n</math>, weil sie ja eigentlich noch von <math>n</math> abhängen) abändern könnte und wie groß die Änderung von <math>f_n</math> und <math>f_n"</math> in diesen Intervallen maximal ist. Dann könnte man die Auswirkung auf <math>G(f_n)</math> abschätzen und zeigen, dass immer noch <math>G(f_n)\to 0</math> gilt.  

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2017-10-18


Hallo,

das mit dem Minimum sollte kein Problem sein, denn
<math>G(u)=G_1(u)+ G_2(u)</math> wobei beide Anteile nicht negativ sind.
<math>G_1(u)=0</math> nur für <math>u=0</math>, da ist aber <math>G_2(u)>0</math> und schon ist man fertig.
Da muss man gar nicht die Minimalfolge oder irgendeinen Grenzwert bemühen.

Viele Grüße,
haerter


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2017-10-18 22:23 - haerter in Beitrag No. 12 schreibt:

das mit dem Minimum sollte kein Problem sein, denn
<math>G(u)=G_1(u)+ G_2(u)</math> wobei beide Anteile nicht negativ sind.
<math>G_1(u)=0</math> nur für <math>u=0</math>, da ist aber <math>G_2(u)>0</math> und schon ist man fertig.
Da muss man gar nicht die Minimalfolge oder irgendeinen Grenzwert bemühen.

Ok, das fällt mir auch gerade auf und wenn ich die Aufgabenstellung so nochmal durchlese wird mir klar, dass man vielleicht garnicht mehr dazu hätte sagen müssen.

Meine oben konstruierte Funktion <math>f_n</math> zeigt jedoch eventuell noch, dass das Infimum <math>0</math> wirklich existiert, d.h., dass man eine Integralfolge gefunden hat die gegen <math>0</math> konvergiert.

Wenn dann aber, wie du schreibst, das Infimum <math>0</math> (durch eine stetig differenzierbare Funktion ! ) angenommen werden soll, so muss <math>f=0</math> gelten, wegen des zweiten Summanden. Im ersten Summanden erhalten wir dann aber ein positives Integral.



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