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Physik » Schwingungen und Wellen » Interpretation von Fouriertransformationen bei Zeit und Frequenzabhängigen Funktionen
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Autor
Universität/Hochschule J Interpretation von Fouriertransformationen bei Zeit und Frequenzabhängigen Funktionen
Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-26


Hallo,

ich verstehe die Fouriertransformation und deren Interpretation nicht ganz.

Gegeben sei eine periodische Funktion in der Zeit <math>f(t)</math>.
In einem Experiment wird jetzt die Fouriertransformierte dieser Funktion "gemessen" (bzw. bestimmt). Zu sehen ist ein Graph einer Frequenzabhängigen Funktion mit mehreren "Peaks" bei verschiedenen Frequenzen.
Was mich daran so ein bisschen stört ist, dass die Fouriertransformation einer reellen Funktion doch i.A. eine Funktion ist die Werte in <math>\mathbb{C}</math> annimmt oder?

Bei Wikipedia de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Analysis#Anwendungen gibt es eine Animation die die Herkunft dieser "Peaks" erklären soll, ähnlich wie in diesem Bild (der Wikipedia-Link wird irgendwann verschwinden, daher noch das Bild...):


Die Idee ist wohl, dass man die Reihenzerlegung betrachtet
<math>f(t) = \frac{a_0}{2} + (\sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos (kt) + b_k \sin (kt) )</math>
wobei
<math>a_k = \frac{1}{\pi} \int_{[-\pi,\pi]} f(t) \cos (kt) \mathrm{d}t</math>,
<math>b_k = \frac{1}{\pi} \int_{[-\pi,\pi]} f(t) \sin(kt) \mathrm{d}t</math>.

Was ich jetzt gerne hätte, ist dass ich diese "Peaks" beim einsetzen der Reihendarstellung in die Fouriertransformation direkt "sehe":

<math>\^{f}(\omega) = \mathcal{F} ( f(t)) (\omega) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)}} \int_{\mathbb{R}} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} =
\frac{1}{\sqrt{(2\pi)}}  \sum_{k=0}^{\infty} \int_{\mathbb{R}} (a_k \cos (kt) + b_k \sin (kt)) (\cos (\omega t) - \mathrm{i} \sin (\omega t)
)</math>,
wobei <math>b_0 = 0</math>.

Frage 1: Wie sind diese Graphen (im Bild oder in der Animation) zu verstehen? (Denn die Fouriertransformierte einer reellen Funktion ist ja im Allgemeinen komplex oder?)

Frage 2: Wie kann man (vielleicht sogar mit einer konkreten Rechnung?) diese "Peaks" erklären?


Viele Grüße,
Sebastian



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rlk
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-27


Hallo Sebastian,
bei periodischen Funktionen spricht man meist von Fourierreihen, die Fouriertransformation ist eine Erweiterung für nichtperiodische Funktionen.

Ob die Koeffizienten der Fourierreihe reell oder komplex sind, hängt von der verwendeten Basis ab. Mit den Basisfunktionen $e^{i k t},k\in\IZ$ erhält man die Fourierreihe
$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{i k t}$$ Eine andere Möglichkeit ist die Form
$$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}\cos\left(kt-\varphi_{k}\right)$$ Die reelle Folge $A_k$ nennt man das Amplitudenspektrum der Funktion $f$, sie wird in Deinem Bild für Teilsummen der Fourierreihe des $2\pi$-periodischen Rechtecksignals
$$f(t)=\begin{cases}
1 & 0<t<\pi \\
-1 & \pi<t<2\pi
\end{cases}
$$ dargestellt.

Servus,
Roland


[Verschoben aus Forum 'Physik' in Forum 'Schwingungen und Wellen' von rlk]



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-27


Hallo Roland,

jetzt verstehe ich es! Diese Graphen mit den "Peaks" im Bild stellen gar nicht die fouriertransformierte Funktion dar, sondern das Amplitudenspektrum.
Top! Vielen Dank!

Viele Grüße,
Sebastian



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